21版：§5.1 平面向量的概念及线性运算（步步高）

§5.1平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：具有大小和方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行．
(5)相等向量：同向且等长的有向线段．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b ＋a；
结合律：(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c)
减法求a与b的相反向量
－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘求实数λ与向量a的
积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，
λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0
3.平行向量基本定理
如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb . 概念方法微思考
1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？ 提示 不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa . 2．如何理解数乘向量λa ？
提示 λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )
(3)若向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之亦成立．( √ ) 题组二 教材改编
2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →
＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b
解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →
＝b －a ，
BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →
＝－a －b .
3．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2OA →＋OC →＝2OD →＋OB →
，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 梯形
解析 ∵2OA →＋OC →＝2OD →＋OB →， ∴2(OA →－OD →)＝OB →－OC →，即2DA →＝CB →，
∴DA →∥CB →，且|DA →|＝12|CB →|，
∴四边形ABCD 是梯形． 题组三 易错自纠
4．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b . 若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件． 5．(多选)下列四个命题中，错误的是( ) A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若|a |＝|b |，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a |＝|b |
答案 ABC
6．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12
解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，
使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝1
2.
7．在△ABC 中，点E ，F 满足AE →＝12AB →，CF →＝2F A →，若EF →＝xAB →＋yAC →
，则x ＋y ＝ _____.
答案 －1
6
解析 依题意有EF →＝EA →＋AF →
＝－12AB →＋13AC →，
所以x ＝－12，y ＝13，所以x ＋y ＝－1
6
.
平面向量的概念
1．(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B ．若A ，B ，
C ，
D 是不共线的四点，且AB →＝DC →
，则ABCD 为平行四边形
C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b
D ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线 答案 ACD
解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B 正确，因为AB →＝D
C →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →
，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；
C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；
D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 故选ACD.
2．若a 0为单位向量，a 为平面内的某个向量，下列命题中： ①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0； ③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0， 假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D
解析 ①②③均为假命题． 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．
平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |
答案 A
解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →
＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →
|，
从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.
方法二 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.
∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.
命题点2 向量的线性运算
例2 (2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →
C.34AB →＋14AC →
D.14AB →＋34
AC → 答案 A
解析 作出示意图如图所示．
EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →
＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →
) ＝34AB →－14
AC →
.故选A. 命题点3 根据向量线性运算求参数
例3 (2019·江西省名校联考)在△ABC 中，BD →＝DC →，AP →＝2PD →，BP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )
A ．－13 B.13 C ．－12 D.12
答案 A
解析 因为BD →＝DC →，AP →＝2PD →， 所以AD →＝12AB →＋12AC →＝32
AP →，
33
所以BP →＝AP →－AB →
＝－23AB →＋13AC →，
因为BP →＝λAB →＋μAC →
，所以λ＝－23，μ＝13，
所以λ＋μ＝－1
3
.故选A.
思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
跟踪训练1 (1) (2020·北京海淀区模拟)如图，在等腰梯形ABCD 中，DC ＝1
2AB ，BC ＝CD ＝
DA ，DE ⊥AC 于点E ，则DE →
等于( )
A.12AB →－12AC →
B.12AB →＋12AC →
C.12AB →－14AC →
D.12AB →＋14
AC → 答案 A
解析 因为DC ＝1
2AB ，BC ＝CD ＝DA ，DE ⊥AC ，
所以E 是AC 的中点，
可得DE →＝12DA →＋12DC →＝12(DC →＋CA →)＋12DC →
＝DC →－12AC →＝12AB →－12
AC →
，故选A.
(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →
(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2
解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →
，
AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12
AB →，
所以AB →＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 2AB →＋⎝⎛⎭
⎫x 2＋y AD →， 所以⎩⎨⎧
x ＋y
2
＝1，x
2＋y ＝0，
解得⎩⎨⎧
x ＝43
，y ＝－2
3，
所以x －y ＝2.
平行向量基本定理的应用
例4 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →
(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明 (1)若m ＋n ＝1，
则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →
共线．
又∵BP →与BA →
有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →
， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.
故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →
， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →
＝0.
∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →
不共线，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1. 思维升华 利用平行向量基本定理解题的策略
(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →
共线． (3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.
(4)OA →＝λOB →＋μOC →
(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 跟踪训练2 (1)设两个非零向量a 与b 不共线． 若k a ＋b 与a ＋k b 共线，则k ＝________. 答案 ±1
解析 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .
又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.
消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.
(2)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交AB ，AC 所在直线于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 B
解析 方法一 连接AO ，
则AO →＝12(AB →＋AC →)
＝m 2AM →＋n 2
AN →， 因为M ，O ，N 三点共线， 所以m 2＋n
2＝1，所以m ＋n ＝2.
方法二 连接AO (图略)．
由于O 为BC 的中点，故AO →＝12(AB →＋AC →
)，
MO →＝AO →－AM →＝12(AB →＋AC →
)－1m
AB →
＝⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →， 同理，NO →＝12
AB →＋⎝⎛⎭⎫12－1n AC →. 由于向量MO →，NO →共线，故存在实数λ使得MO →＝λNO →， 即⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →＝λ⎣⎡⎦⎤12AB →
＋⎝⎛⎭⎫12－1n AC →. 由于AB →，AC →
不共线， 故得12－1m ＝12λ且1
2＝λ⎝⎛⎭⎫12－1n ， 消掉λ，得(m －2)(n －2)＝mn ， 化简即得m ＋n ＝2.。