人教版立体几何多选题同步练习

人教版立体几何多选题同步练习
一、立体几何多选题
1．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为2
3的等边三角形，侧棱长为43，则
（ ）
A ．直线1A C 与直线1B
B 之间距离的最大值为3
B ．若1A 在底面AB
C 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30
D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】
建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】
如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()
0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()
100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++
所以()()()
1
000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11
·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
即()()
000000230
0x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则
2
2
011222200009||||z A B n
d d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；
对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则()
11,3,211A 底面法向量()()
10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：
121133
sin |cos ,|6143
AA n θ==
=⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则
(
)()()
1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C
则()()1
3,3,0,0,23,43,AB AC ==-
设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则
1
1
15cos |cos ,|||||||
23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；
对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()
2
22324R =+=，所以2464S R ππ==.
故D 正确
故选：AD 【点睛】
向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.
2．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）
A ．AM 与D
B ''所成角的余弦值为
1010
B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B
C
D ''''-的截面面积为92
C ．四面体A C B
D ''的内切球的表面积为
3
π D ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使
MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||
AM D B AM D B AM D B ''
⋅''<>=
''为
AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，
22215
5
43
x y =
++⨯P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】
A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-，
10
cos ,10||||58
AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=
==''⨯，故正确.
B ：若N 为C
C '的中点，连接MN ，则有//MN A
D '，如下图示，
∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面， 而2,2,5MN AD AM D N ''=
===32
2
， ∴梯形的面积为132932222
S =
⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
∴118
848323
V =-⨯⨯⨯=
，而四面体的棱长都为22，有表面积为142222sin 8323
S π
=⨯⨯⨯⨯=，
∴若其内切圆半径为r ，则有1
8833
3r ⨯⋅=
，即33
r =，所以内切球的表面积为2443
r π
π=
.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且
MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，
构建如下空间直角坐标系，232(0,0,2),(2),(0,22,0)22
A M C '-
，若(,,0)P x y ，则232
(,,0),(0,22,2),(,,2)22
AM AC AP x y '=-
=-=-，
∴15
cos ||||512
AM AC MAC AM AC '⋅'∠=
=='⨯
222cos ||||
43
AP AC PAC AP AC x y '
⋅'∠=
='++⨯22215
5
43
x y =
++⨯，整理得22(102)9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.
故选：AB 【点睛】
关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.
3．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 内（含边界）一点．（ ） A ．若13A P P 点有且只有一个 B ．若12A P ，则点P 的轨迹是一段圆弧 C ．若1//A P 平面11B D C ，则1A P 2
D ．若12
A P 且1//A P 平面11
B D
C ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23
π
【答案】ABD 【分析】
选项A ，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上，1A P 2P 与B 或D 重合，利用12sin 60A P r =
︒，求出6
r =，进而求出面积.
对A 选项，如下图：由13A P =，知点P 在以1A 为球心，半径为3的球上，又因为P 在底面ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1A A ⊥底面ABCD ，知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧，半径为22112r A P A A =-=，则只有唯一一点C
满足，故A 正确；
对B 选项，同理可得点P 在以A 为圆心，半径为22111r A P A A =
-=的小圆圆弧上，在
底面ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确；
对C 选项，移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行，则点P 必在过1A 且与平面
11B D C 平行的平面内，由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD
上，则1A P 长的最大值为12A B =，则
C 不正确； 对选项
D ，由以上推理可知，点P 既在以A 为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD 上，即与B 或D 重合，不妨取点B ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆，利用2126622,,sin 60333
A B r r S r π
π=
=∴=∴==
︒.故D 正确.
故选：ABD
（1）平面截球所得截面为圆面，且满足222=R r d +（其中R 为球半径，r 为小圆半径，
d 为球心到小圆距离）；
（2）过定点A 的动直线平行一平面α，则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.
4．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）
A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11
B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线B
C 所成角可能为30︒
C ．平面1A BE 与平面11CD
D C 所成锐二面角的正切值为2
D ．设正方体棱长为1，则过点
E ，
F ，A 5 【答案】AC 【分析】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；
【详解】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，
1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．
取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；
设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=
1tan 3023
︒<=，所以B 错误；
平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11
111tan B C B FC C F
∠==22，所以C 正确；
因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为
6
2
，故D 错误. 故选：AC.
【点睛】
本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．
5．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是（ ）
A ．//OF 平面BCE
B ．BF ⊥平面ADF
C ．点A 到平面CDFE 的距离为
217
D ．三棱锥C BEF -5π 【答案】ABC 【分析】
由1EF OB ==，//EF OB ，易证//OF 平面BCE ，A 正确；
B ， 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直， 易证AD ⊥平面ABEF ，所以
AD BF ⊥，由线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，易证故B 正确.
C ，由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE 的距离为
7
，C 正确. D ，确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心，进一步可求其体积，可判断D 错误. 【详解】
解：1EF OB ==，//EF OB ，四边形OFEB 为平行四边形，所以//OF BE ，
OF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//OF 平面BCE ，故A 正确.
线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，
矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD ⊂平
面
ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，所以AD BF ⊥ AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =， 所以BF ⊥平面ADF ，故B 正确.
1OF OE EF ===，OFE △是正三角形，所以1EF BE AF ===， //DA BC ，所以BC ⊥平面ABEF ，BC BF ⊥，
BF =2CF ==，
DF ===
2AB CD ==，CDF 是等腰三角形，CDF 的边DF 上的高
==
1
2CDF S ==
△ //DA BC ，AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ， //BC
平面ADF ，点C 到平面ADF 的距离为BF = 11
1122
DAF S =⨯⨯=△，C DAF A CDF V V --=，
设点A 到平面CDFE 的距离为h ，
11
33ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，111323h ⨯=，
所以h =
，故C 正确. 取DB 的中点M ，则//MO AD ，1
2
MO =
，所以MO ⊥平面CDFE ，
所以2
1512ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭
所以M 是三棱锥C BEF -5
， 三棱锥C BEF -外接球的体积为3
344
55533V r ππ==⨯=⎝⎭
，故D 错误， 故选：ABC. 【点睛】
综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.
6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面
1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个
B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧
C ．若P
D ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2
D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94
π
【答案】ABD 【分析】
若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()313PD =，，则
12PD =P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为3=断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为3
2
=，可得D . 【详解】 如图：
∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =，又侧棱11AA =， ∴()
2
212213DB =
+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；
∵()313PD =∈，，11DD =，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确； 连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为
()
2
2213+=，故C 错误；
由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为22213
22122++=，面积为94
π，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
7．如图，已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=，下
面结论中正确结论的有（ ）
A ．11A D C P ⊥；
B ．当1A P PD +取最小值时，23λ=；
C ．若()0,1λ∈，则7,312APC ππ⎛⎫∠∈
⎪⎝
⎭
； D ．若P 为1BD 的中点，四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为9
4
π． 【答案】ABD 【分析】
以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量关系可判断ABC ；根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D. 【详解】
以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 则()1,1,0B ，()10,0,1D ，设(),,P x y z ，
()()
10,1BP BD λλ=，1BP BD λ∴=，即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--，
则可解得()1,1,P λλλ--， 对A ，
()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ，()11,0,1A D ∴=--，
()11,,1C P λλλ=---，则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=，则
11A D C P ⊥，故A 正确；
对B ，()
()()()
()2
22
2
2
21111111A P PD λλλλλλ+=
--+-+--+-+2
2
2223422333λλλ⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭
则当2
3
λ=时，1A P PD +取最小值，故B 正确； 对C ，
()()1,0,0,0,1,0A C ，(),1,PA λλλ∴=--，()1,,PC λλλ=--，
则222321cos 1321
321PA PC
APC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅，
01λ<<，则2232123λλ≤-+<，则2
111
123212λλ-≤-<-+， 即11cos 22APC -≤∠<，则2,33APC ππ⎛⎤
∠∈ ⎥⎝⎦
，故C 错误；
对于D ，当P 为1BD 中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥，设平面11AA D D 的中心为
O ，四棱锥11
P AA D D -的外接球半径为R ，所以2
2
2
1222R R ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得34R =， 故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为9
4
π，所以D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点睛：本题考查空间相关量的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量建立关系进行计算.
8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）
A ．0MN EF ⋅=
B ．ME NE =
C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3
D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】
证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积1
2
S MN EF =
⋅，再分别
讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可. 【详解】
对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF
BB '⊥，
BD BB B '⋂=，
所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，
因此0MN EF ⋅=，故A 正确．
对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，
平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以
//MF EN ，
同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．
对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积1
2
S MN EF =
⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，
此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1；
当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最
大，
此时MN =，即面积S
所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确． 对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积
11113346
M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=
⋅==△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，
则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积
21122
ABCD A B C D V V ''''-==正方体，
所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体
ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。