第四章 4.1 4.1.1 4.1.2 第二课时 分数指数幂、无理数指数幂2019(秋)数学 必修 第一册 人教A版(新教材)

3
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1.分数指数幂 根式与分数指数幂的互化是化简的重要依据
m
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：an＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
m
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－ n ＝
1m＝n
1
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
an am
(3)0 的正分数指数幂等于__0___，0 的负分数指数幂____没__有__意__义____.
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1
1
【训练 3】 (1)已知 x2＋x－2＝ 5，则 x2＋x－2＝________.
1
1
(2)已知 x＋x－1＝7，求值：①x2＋x－2；②x2－x－2.
1
1
(1)解析 将 x2＋x－2＝ 5，两边平方得 x＋x－1＋2＝5，则 x＋x－1＝3，两边再平方
4
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2.有理数指数幂的 运算性质 记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘
(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). (2)拓展：aars＝ar－s(a>0，r，s∈Q).
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1
1
(2)将 x2－x－2＝1，两边平方得 x＋x－1－2＝1，则 x＋x－1＝3.
x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
答案 (1) 2±1 (2)3 7
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规律方法 利用整体代换法求分数指数幂
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1
1
1
1
4.已知 a2－a－2＝ 5，则 a2＋a－2＝________.
解析 因为a12＋a－122＝a＋a－1＋2＝a12－a－122＋4＝5＋4＝9，
1
1
1
1
又因为 a2＋a－2>0，所以 a2＋a－2＝3.
答案 3
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牛顿
2
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m
m
问题 1 an、a－n(a>0)写成根式会是怎样的形式？
m
m
问题 2 an、a－n的根式形式中 a≤0 又如何？
提示
m
1.a n ＝ n
m
am，a－ n ＝
1m＝
1
(其中 a>0，m，n∈N*，且 n>1).
an n am
m
m
1
1
2.若 a≤0，an、a－n不一定有意义，例如(－4)2、(－4)－2无意义，故规定 a>0.
2
3.化简 273＝________.
答案 9
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[微思考] 1.分数指数幂与根式有什么关系？
提示 (1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可
以相互转化.mຫໍສະໝຸດ m(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知 a≤0 时，an可能会有意义.当 an有意
第二课时 分数指数幂、无理数指数幂
课标要求
素养要求
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m
通过对有理数指数幂
a n (a>0
且
m
通过对有理数指数幂 an、实数指数
a≠1，m，n 为整数，且 n>0)、实 幂 ax 含义的认识，提升数学抽象素
数指数幂 ax(a>0，且 a≠1，x∈R) 养，通过指数幂运算性质的应用，
含义的认识，了解指数幂的拓展过 提升数学运算素养.
2
(2)2790.5＋0.1－2＋21207－3－3π0＋3478；
2
(3)
13
64－
34
38＋
0.062
5＋0.06413－2.55－π0.


解 (1)原式＝1＋14·23－110＝1165.
(2)原式＝53＋100＋196－3＋3478＝100＋14484－3＝100.
1
1
1
11
1
即 x2－x－2＝± 5.所以 x－x－1＝(x2＋x－2)(x2－x－2)＝±3 5，x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝
±21 5.
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一、素养落地 1.通过理解分数指数幂的含义提升数学抽象素养，通过进行根式与分数指数幂的互
化及运用指数幂的运算性质培养数学运算素养. 2.根式一般先转化成分数指数幂，然后运用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将
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2.
a3
5
(a>0)的值为________.
a· a4
14
1 4 17
解析 原式＝a3·a－2·a－5＝a3－2－5＝a10.
17
答案 a10
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1
3.计算：0.25×－12－4－4÷20－116－2＝________. 解析 原式＝14×16－4÷1－14－1＝4－4－4＝－4. 答案 －4
得 x2＋x－2＋2＝9，所以 x2＋x－2＝7. 答案 7
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1
1
(2)解 ①设 m＝x2＋x－2，两边平方得 m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，因为 m>0，所以
1
1
m＝3，即 x2＋x－2＝3.
1
1
②设 n＝x2－x－2，两边平方得 n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，因为 n∈R，所以 n＝± 5，
(2)运用分数指数幂的运算性质求解.
3.对于化简结果的要求
对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化
负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.
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【训练 2】 计算下列各式：
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1
(1)2350＋2－2·214－2－(0.01)0.5；
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【训练 1】 用分数指数幂表示下列各式：
(1)
b3 a·
ab26(a>0，b>0)；
3
(2) a－4b2 ab2(a>0，b>0).
解 (1)
b3 a·
ab26＝
ba3·ba3＝1.
(2)
3
a－4b2 ab2＝
1
a－4b2·（ab2）3＝
12
a－4b2a3b3＝
a－131b83＝a－161b43.
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特
点，灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形
公式.
11
1
1
11
x2＋x－2＝(x±x－1)2 2，x＋x－1＝(x2±x－2)2 2，x2＋x－2＝(x4±x－4)2 2.
【例 1】 (1)根式 a －a化成分数指数幂是________.
(2)将下列
根式与分数指数幂进行互化：化简的依据是
m
an＝n
m
am，a－ n ＝
1
m
3
①a－4.②
3
a
a(a>0).③x3·3 x2(x>0).
an
(1)解析 因为－a≥0，所以 a≤0，所以 a －a＝－ （－a）2（－a）＝
3
－ （－a）3＝－(－a)2.
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题型二 利用分数指数幂的运算性质化简求值
3
【例 2】 (1)1861－4＝________. (2)计算下列各式(式中字母均为正数)： ①5x－23y21·－14x－1y12·－56x31y－16；
4
②(0.064)－13－－3 780＋（3－2）3－3＋16－0.75 (1)解析 1861－4＝234－4＝23－3＝323＝287.
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3.无理数指数幂 实数指数幂是一个确定的实数 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 实数 . 有 理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
6
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教材拓展补遗
[微判断]
6
3
1.(－2)4＝(－2)2.( × )
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[微训练]
3
1.a－5(a>0)化为根式的形式为________.
解析
3
a－5＝
13＝
1
.
a5 5 a3
答案 1 5 a3
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3
2. （m－n）2(m>n)表示为分数指数幂的形式为________.
2
解析 3 （m－n）2＝(m－n)3.
2
答案 (m－n)3
根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运 算性质准确求解.
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二、素养训练 1.下列运算结果中，正确的是( ) A.a2·a3＝a5 B.(－a2)3＝(－a3)2 C.( a－1)0＝1 D.(－a2)3＝a6 答案 A
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规律方法 1.指数幂运算的常用技巧
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(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂
的形式表示，便于运用指数幂的运算性质.
2.根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式.
答案
27 8
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(2)解 ①原式＝5×－14×－56x－23＋(－1)＋13·y12＋12－16＝2254x－43y56. ②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2176.
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2
1
【例 3】 (1)若 x3＝2，则(x＋3)2＝________.
1
1
(2)若 x2－x－2＝1，则 x＋x－1＝________；x2＋x－2＝________.
解析 (1)因为 x23＝2，则x323＝23＝8，得 x2＝23，解得 x＝±2 2，
1
1
1
所以(x＋3)2＝(3±2 2)2＝[( 2±1)2]2＝ 2±1.
6
3
提示 (－2)4>0，而(－2)2无意义，故错误.
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1
1
1
2.[(－2)×(－3)]2＝(－2)2(－3)2.( × )
提示 左侧＝ 6，右侧无意义. 3.当 a>0 时，(ar)s＝(as)r.( √ ) 4.2 2∈R.( √ )
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程，掌握指数幂的运算性质.
1
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教材知识探究
牛顿(Newton 1643～1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史 上的贡献吗？ 他在 1676 年 6 月 13 日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将 aa，aaa，aaaa， …写成 a2，a3，a4，…所以可将 a， a2， a3，…写成 a12，a22，a32，…，将1a，a1a，a1aa， …写成 a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要 学习的指数幂的拓展过程，下面我们就进入本课的学习.
义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.
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2.分数指数幂 amn可以理解为mn 个 a 相乘吗？ 提示 不可以.分数指数幂 amn不可以理解为mn 个 a 相等.事实上，它是根式的一种新 写法.
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题型一 根式与指数幂的互化
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5.化简下列各式(式中字母均为正数)：
(1)
b3 a
ab66；
(2)4x14－3x41y－13÷－6x－21y－32(结果化为分数指数幂形式).
解 (1)
b3 a
ab66＝b32×a－12×a64×b－64＝a.
(2)4x14－3x41y－13÷－6x－21y－32＝2x14＋14＋12·y－13＋23＝2xy13.
1
1
1
1
2
(3)原式＝2452－2873＋106205004＋1 604003×（－2.5）×5－1＝52－32＋12＋25－1－1＝3.
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题型三 整体代换法 求分数指数幂
整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法
3
答案 －(－a)2
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(2)解
3
①a－4＝
1
.
4 a3
3
11 1
② a a＝a3·a6＝a2(a>0).
2 11
③x3·3 x2＝x3·x3＝x 3 .
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规律方法 根式与分数指数幂互化的规律
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(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理 数指数幂的运算性质解题.