江苏省淮安市高三数学上学期1月半月考试题新人教A版

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，满分50分） 1、若02
x π
<
<
，则“1sin x x <
”是“1sin x x
>”的 A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要
2、定义在R 上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x ≠0时, 1
'()()0f x x f x -+>,则函数1
()()g x f x x -=+的零点的个数为 A.1 B.2 C.0 D.0或2
【答案】C
【解析】由1
'()()0f x x f x -+>，得
'()()
0xf x f x x
+>，
当0x >时，'()()0xf x f x +>，即(())'0xf x >，函数()xf x 此时单调递增。

当0x <时，'()()0xf x f x +<，即
(())'0xf x <，函数()xf x 此时单调递减。

又1()1
()()xf x g x f x x x
-+=+=
，函数()1
()xf x g x x
+=
的零点个数等价为函数()1y xf x =+的零点个数。

当0x >时，()11y xf x =+>，当0x <时，()11y xf x =+>，所以函数()1y xf x =+无零点，所
以函数1
()()g x f x x -=+的零点个数为0个。

选C. 3、已知数列满足：11a =，12n n n a a a +=
+，（*
n N ∈），若11()(1)n n
b n a λ+=-+，
1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ） A ．2λ> B ．3λ> C ．2λ< D ．3λ<
4、变量x,y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
，则目标函数3|||3|z x y =+-的取值范围是
（ ） A ．3
[,9]2 B ．3
[,6]2
-
C ．[2,3]-
D ．[1,6]
5、设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=
x x x x f ，其中⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡π∈θ650，，则导数()1-'f 的取值范围是（ ）
A.]6,3[
B.]34,3[+
C.]6,34[-
D.]34,34[+-
6、在二项式n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+3的展开式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且
72=+B A ,则展开式中常数项的值为 （ ）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
7、已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积最大值时，其高的值为（ ）
A ．333．26．3【答案】D
【解析】设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得22
94h a +=，即22
94
h a =-，那么正六棱柱的体积23
233333(6))(9)42424
h h V a h h h =⨯⨯=-=-+，令394h y h =-+，则2'
394
h y =-+，由'0y =，解得23h =23h =棱柱的体积最大。

8、已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件
2OB OC OP +=
(),(0,)||cos ||cos AB AC
AB B AC C
λλ++∈+∞，
则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
【答案】C
【解析】设线段BC 的中点为D ，则
2OB OC
OD +=，
∴2OB OC OP +=
()||cos ||cos AB AC AB B AC C λ++(
)
||cos ||cos AB AC OD AB B AC C λ=++，
∴
(
)||cos ||cos AB AC
OP OD DP
AB B AC C λ-=+=，
∴
(
)()
||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BC
DP BC BC AB B AC C AB B AC C λλ⋅⋅⋅=+⋅=+
||||cos()||||cos (
)(||||)0
||cos ||cos AB BC B AC BC C
BC BC AB B AC C πλλ-=+=-+=，
∴DP BC ⊥，即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上，
即动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的外心，选C.
9、双曲线)0,0(12222>>=-b a b
x a y 的渐近线与抛物线12
+=x y 相切，则该双曲线的
离心率等于（ ） A ．
25 B ．5 C ．6 D ．2
6m
() 2,,1
2,
10
{
x
a
y x x
b
a c
e
b a
a
b
'∴-=-±∴∴=±
∴=∴=====
-=
±=
22
00000
2
000可以设切点为（x,x+1),由y=2x,切线方程为：y-(x+1)=2x x 即：x x
答案
解析
考点定位本题考查双曲线的性质、导数的几何意义、直线的点斜式方程，考查学生分析问
+1,已知双曲线的渐近线为：y=x
题
2
x
2x
[] A
[]
[]
的能力和基本计算能力。

10、定义域为R的函数()
f x满足(+2)=2()
f x f x，当x∈[0，2)时，
2
|x-1.5|
-,[0,1)
()=
-(0.5),[1,2)
x x x
f x
x
⎧∈
⎨
∈
⎩
若[-4,-2]
x∈时，
1
()-
42
t
f x
t
≥恒成立，则实数t的取值范围
是
A、[-2，0)(0，l)
B、[-2，0) [l，+∞)
C、[-2，l]
D、(-∞，-2] (0，l] 【答案】D
【解析】当[-4,-2]
x∈，则4[0,2]
x+∈，所以
11
()(2)(4)
24
f x f x f x
=+=+
2
4 1.5
1
[(4)(4)],[4,3)
4
=
1
(0.5),[3,2)
4
x
x x x
x
+-
⎧
+-+∈--
⎪⎪
⎨
⎪-∈--
⎪⎩
2
2.5
1
(712),[4,3)
4
=
1
(0.5),[3,2)
4
x
x x x
x
+
⎧
++∈--
⎪⎪
⎨
⎪-∈--
⎪⎩
，当[4,3]
x∈--时，22
1171
()=(712)[()]
4424
f x x x x
++=+-的对称轴为
7
=
2
x-，当[4,3]
x∈--时，最小值为71
()=
216
f--，当 2.5
1
[3,2),()=(0.5)
4
x
x f x+
∈---，当
2.5
x=-时，最小，最小值为
1
4
-，所以当[-4,-2]
x∈时，函数()
f x的最小值为
1
4
-，
即
11
442
t
t
-≥-，所以11
424
t
t
-+≤
，即
22
t t
t
+-
≤，所以不等式等价于2
20
t
t t
>
⎧
⎨
+-≤
⎩
或
2
20
t
t t
<
⎧
⎨
+-≥
⎩
，解得01
t
<≤或2
t≤-，即t的取值范围是
(,2](0,1]-∞-，选D.
二、填空题（每小题5分，共计25分）
11、在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点
1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.则直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程__________；
12、函数2()sin 223cos 3f x x x =+-，函数()cos(2)23(0)6g x m x m m π
=--+>，若存
在12,[0,]4
x x π
∈，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是_________
13、已知M 是ABC ∆内的一点（不含边界），且23AB AC •=，0
30BAC ∠=，若
,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为x,y,z,记149
(,,)f x y z x y z
=
++，则(,,)f x y z 的最小值是
14、定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在)(00b x a x <<，满足a
b a f b f x f --=
)
()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它
的一个均值点，如4
x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数
1)(2++-=mx x x f 是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围
是 . 【答案】(0,2)
【解析】因为函数1)(2
++-=mx x x f 是]1,1[-上的平均值函数，所以
(1)(1)
1(1)
f f m --=--，即关于x 的方程21x mx m -++=，在(1,1)-内有实数根，即
210mx mx m -+-=，若0m =，方程无解，所以0m ≠，解得方程的根为11x =或21x m =-.所以必有111m -<-<，即02m <<，所以实数m 的取值范围是02m <<，
即(0,2).
15、如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11A D 的中点，Q 是11A B 上
任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 的长为定值，现有如下结论： ①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值； ②点P 到平面QEF 的距离为定值； ③直线PQ 与平面定PEF 所成的角为定值 ④三棱锥P QEF -的体积为定值； ⑤二面角P EF Q --的大小为定值. 其中正确的结论是____________
三、解答题（第16、17、18、19题均为12分，第20题为13分，21题为14分） 16、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =5，b =4，cos(A －B )=32
31． (Ⅰ) 求sin B 的值； (Ⅱ) 求cos C 的值．
17、一名高三学生盼望进入某名牌大学学习，不放弃能考入该大学的任何一次机会。

已
知该大学通过以下任何一种方式都可被录取：
①2013年2月国家数学奥赛集训队考试通过（集训队从2012年10月省数学竞赛壹
等奖获得者中选拔，通过考试进入集训队则能被该大学提前录取）；
② 2013年3月自主招生考试通过并且2013年6月高考分数达重点线；
③ 2013年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）。

该名考生竞赛获省一等奖．自主招生考试通过．高考达重点线．高考达该校分数线等事件的概率如下表：
事件省数学竞获一等
奖
自主招生考试通
过
高考达重点
线
高考达该校分数
线
概率0．5 0．7 0．8 0．6
如果数学竞赛获省一等奖，该学生估计自己进入国家集训队的概率是0．4。

（1）求该学生参加自主招生考试的概率；
（2）求该学生参加考试次数的分布列与数学期望； （3）求该学生被该大学录取的概率。

18、如图，斜三棱柱111C B A ABC -，已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且∠BCA =90°，∠160B BC =，1BB BC ==2，若二面角C B B A --1为30°，
（Ⅰ）证明C C BB AC 11平面⊥及求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值； （Ⅱ）在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求P 到平面
C BB 1距离
本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的
位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证
A
B
C
1
1
1
A C B
能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分14分.
解：（Ⅰ）面C C BB 11⊥面ABC ，因为面C C BB 11⋂面C C BB 11＝BC ，BC AC ⊥，
所以⊥AC 面C C BB 11．……………3分
取1BB 中点E ，连接AE CE ,，在1CBB ∆中，0
1160,2=∠==CBB CB BB
1CBB ∆∴是正三角形，1BB CE ⊥∴，又⊥AC 面C C BB 11且⊂1BB 面C C BB 11， AE BB ⊥∴1，即CEA ∠即为二面角C B B A --1的平面角为30°，
⊥
AC 面
C
C BB 11，
CE
AC ⊥∴，在
ECA
Rt ∆ 中，
130tan ,30=⋅=∴=CE AC CE ，
又⊥AC 面C C BB 11，A CB 1∠∴即1AB 与面C C BB 11所成的线面角， 在CA B Rt 1∆中，2
1
tan 11==
∠CB AC A CB ……………8分
19、设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数32()222
x f x =+图象上任意两点，且121x x +=． （Ⅰ）求12y y +的值；
（Ⅱ）若12
(0)()()()n n
T f f f f n n n =+++
+（其中*n ∈N ）
，求n T ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设2
n n
a T =
（*n ∈N ），若不等式2n n n n a a a a ++-++++121＞
1
log (12)2
a a -对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围． （Ⅲ）由（Ⅱ）得，22
1
n n a T n =
=
+，不等式2log (2)n n n n a a a a a a ++-++++>-1211
12
即为
2221
log (12)12
22a a n n n +++
>-++，设n H =
n
n n 222212+++++ ， 则 1n H +=
22222
23
22122
n n n n n +++
++
++++， ∴122222
0212(1)12122
n n H H n n n n n +-=
+-=->+++++， ∴数列{}n H 是单调递增数列，∴min 1()1n H T ==， ············ 10分
要使不等式恒成立，只需1
log (12)12
a a -<，即2log (12)log a a a a -<，
∴201,120,12a a a a ⎧<<⎪->⎨⎪->⎩或21,120,12,
a a a a ⎧>⎪
->⎨⎪-<⎩解得120-<<a . 故使不等式对于任意正整数n 恒成立的a 的取值范围是)12,0(-. ····· 12分
20、已知函数.ln )2()(2
x x a ax x f ++-=
（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1f （处的切线方程；
（Ⅱ）当0>a 时，若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为-2，求a 的取值范围； （Ⅲ）若对任意2121),,0(,x x x x <+∞∈，且22112)(2)(x x f x x f +<+恒成立，求a 的取值范围.
当11
0≤<
a
，即1≥a 时，)(x f 在［1，e]上单调递增， 所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1(-=f ； 当e a <<11时，)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1()1
(-=<f a
f ，不合题意； 当
e a
≥1
时，)(x f 在（1，e ）上单调递减， 所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1()(-=<f e f ，不合题意………………9分
（Ⅲ）设x x f x g 2)()(+=，则x ax ax x g ln )(2
+-=，
只要)(x g 在
）
，（∞+0上单调递增即可.…………………………10分 而x
ax ax x a ax x g 1212)('2+-=+-=
当0=a 时，01
)('>=
x
x g ，此时)(x g 在）
，（∞+0上单调递增；……………………11分 当0≠a 时，只需0)('≥x g 在），（∞+0上恒成立，因为),0(+∞∈x ，只要
0122≥+-ax ax ，
则需要0>a ，………………………………12分
对于函数122
+-=ax ax y ，过定点（0，1），对称轴04
1
>=
x ，只需082≤-=∆a a ，
即80≤<a . 综上80≤≤a . …已知函数.ln )2()(2
x x a ax x f ++-=
21、如图，F
1
，F
2
是离心率为
的椭圆 C ：22
221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝
－1
2
将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中垂线与C 交于P ，Q 两点，线段AB 的中点M 在直线l 上． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 求22F P F Q ⋅的取值范围．
本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

(Ⅰ) 设F 2(c ，0)，则
1212
c c -
+＝13， 所以
c ＝1．
(第21题图)
因为离心率e
＝
2
，所以
a
．
所以椭圆C 的方程为
2
212
x y +=． ………… 6分 (Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－1
2
，此时P(2-，0)、Q(2,0)
221F P F Q ⋅=-．
当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M (－
1
2
，m ) (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由 2
21122221,2
1,
2
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得
(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)12
12
y y x x -⋅
-＝0， 则
－1＋4mk ＝0，
故
k ＝
1
4m
． 此时，直线PQ 斜率为m k 41-=，PQ 的直线方程为
)2
1
(4+-=-x m m y ．
即 m mx y --=4．
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=12
42
2y x m mx y 消去y ，整理得 2222
(321)16220m x m x m +++-=．
所以
212216321m x x m +=-+，2122
22
321
m x x m -=+． 于是
=⋅Q F P F 22(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2
)4)(4(1)(212121m mx m mx x x x x +++++-=
22122121))(14()161(m x x m x x m +++-++=
2222222
(116)(22)(41)(16)
1321321
m m m m m m m +---=+++++ 22
191321
m m -=+． 令t ＝1＋32m 2
，1＜t ＜29，则
t
Q F P F 3251
321922-
=
⋅． 又1＜t ＜29，所以
22125
1232
F P F Q -<⋅<
． 综上，F F 22⋅的取值范围为[1-，125
232
）．。