质数合数
质数和合数
三、质数和合数【知识点1】质数和合数的相关定义一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。
如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数）、合数（大于两个因数）和1（1个因数）。
100百以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
共25个。
除1以外所有的质数都是奇数。
除1以外任意两个质数的和都是偶数最小的质数是2，最小的合数是4质数×质数=合数合数×合数=合数质数×合数=合数练习：（1）像2、3、5、7这样的数都是（），像10、6、30、15这样的数都是（）。
（2）20以内的质数有（），合数有（）。
（3）自然数（）除外，按因数的个数可以分为（）、（）和（）。
（4）在16、23、169、31、27、54、102、111、97、121这些数中，（）是质数，（）是合数。
（5）用A表示一个大于1的自然数，A2必定是（）。
A+A必定是（）。
（6）一个四位数，个位上的数是最小的质数，十位上是最小的自然数，百位上是最大的一位数，最高位上是最小的合数，这个数是（）。
（7）两个连续的质数是（）和（）；两个连续的合数是（）和（）（8）两个质数的和是12，积是35，这两个质数是（）A. 3和8B. 2和9C. 5和7（9）判断并改正：一个自然数不是质数就是合数。
（）所有偶数都是合数。
（）一个合数的因数的个数比一个质数的因数的个数多。
（）所有质数都是奇数。
（）两个不同质数的和一定是偶数。
（）三个连续自然数中，至少有一个合数。
（）大于2的两个质数的积是合数。
（）7的倍数都是合数。
（）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。
（） 2是偶数也是合数。
质数与合数知识点总结
一、质数的定义和特性1. 质数的定义：质数，又称素数，是指只能被1和本身整除的自然数。
换句话说，质数是只有1和它本身两个因子的自然数。
2. 质数的特性：（1）所有大于1的质数，都是奇数。
因为偶数除了2以外都有其他的因子，不符合质数的定义。
（2）质数的个数是无穷的，即质数是无限的。
（3）任何一个大于1的整数都可以唯一地分解成质数的乘积。
3. 质数的性质：（1）质数的乘积还是质数：如果p和q都是质数，则p*q也是质数。
（2）任何一个大于1的正整数都可以唯一地分解成一些质数的乘积。
二、合数的定义和特性1. 合数的定义：除了1和本身外，还有其他正整数能够整除它的自然数称为合数。
2. 合数的特性：（1）0和1既不是质数也不是合数。
（2）任何一个合数都可以唯一地分解成若干个质数的乘积。
三、质数和合数的判断方法1. 判断一个数是否为质数的方法：（1）试除法：用小于这个数的所有质数来试除这个数，如果都不能整除，则这个数为质数。
（2）埃氏筛法：埃氏筛法是一种简单的找质数的方法，算法的核心思想是从小到大枚举每个数，如果这个数是质数，就标记它的倍数为合数。
2. 判断一个数是否为合数的方法：通常通过试除法判断一个数是否为合数。
即用除数从2开始逐一试除，如果能整除，则是合数，否则为质数。
1. 质数和合数在密码学中的应用：质数和合数在密码学中有着重要的应用，比如RSA加密算法。
RSA算法的核心就是利用两个大素数相乘的结果，来保证加密的安全性。
2. 质数和合数在因子、约数、公因数的求解中的应用：在因子、约数、公因数等问题的求解中，质数和合数的性质是不可或缺的。
3. 质数和合数在数学分解中的应用：在数学分解中，质数和合数的性质也是至关重要的。
在实际应用中，质数和合数的性质不仅仅体现在数论问题中，还涉及到了计算机科学、密码学等领域。
因此对于质数和合数的研究和应用具有重要的意义。
五、质数与合数的相关定理和推论1. 质数定理：质数定理是指对于任意一个正自然数n，当n足够大时，不大于n的质数个数约为n/ln(n)。
质数与合数 考点总结+题型训练 带答案
11、三个连续奇数的和是87,这三个连续的奇数分别是 （ 27 ）、（ 29 ）、（ 31 ）。
12、下面是一道有余数的整数除法算式:A÷B=C…R,若 B是最小的合数,C是最小的质数,则A最大是( 11 ),最 小是( 9 )
13、写出两个都是质数的连续自然数。( 2 )( 3 )
14、写出两个既是奇数,又是合数的数。( 9 )( 21 )
）
A．7、8、9
B．10、11、12
C．14、15、16
D．21、22、23
5．12个质数连乘的积是（ B ）
A．质数 B．合数 C．因数
6．对于乘法算式5×7=35，下面的说法中，正确的是（D
）
A．5是因数 B．7是因数
C．35是倍数 D．5是35的因数
7.一个数只有1和它本身两个因数,这样的数叫( B ) A.奇数 B.质数 C.质因数 D.合数
（2）分解质因数：把一个合数分解成若干个质数相乘的形
式
把48分解质因数：48=2×2×2×2×3
针对性练习
一、判断： （1）质数都是奇数。（ × ） （2）两个质数相乘，积是合数。（ √ ） （3）偶数不全是合数，奇数不全是质数。（ √ ） （4）两个质数的和一定是合数。（ × ） （5）任意一个自然数，不是质数就是合数。（ × ）
7、李叔叔的果园每行树的棵树都是相等的，下面是几位 小朋友各自数出的总棵树，其中只有（ 程鸣 ）数对的。 李刚：73棵 程鸣：77棵 王冰：79棵 赵强：71 8、一个质数与它本身的8倍的和是45，这个质数是（ 5 ）。 9、20以内最大的质数与最小的质数的2倍的和是（ 23 ）。 10、有两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是 （ 5 ）和（ 13 ）。
质数和合数的知识点
质数和合数的知识点一、引言质数和合数是数论中的基础概念，它们在整数中占有特殊的地位。
质数是大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。
合数则是大于1的自然数，除了1和本身还有其他因数的数。
质数和合数在数学、密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
本文将对质数和合数的知识点进行详细的阐述。
二、质数的定义与性质质数是一种特殊的整数，其因数只有1和本身。
它具有以下性质：1.唯一性：一个大于1的自然数如果是质数，那么它的因数只能是1和它本身，因此质数是唯一的。
2.奇数性：除了2之外的质数都是奇数。
因为2是唯一的偶数质数，而其他质数只能是奇数。
3.无穷性：尽管我们还没有找到一个完整的证明，但数学家们普遍认为质数的个数是无限的。
这意味着无论我们选择多大的数字，总会有一些质数比这个数字大。
4.质数的分布：尽管质数的分布是稀疏的，但它们遵循一定的规律。
特别是，对于大于1的任意正整数n，存在至多n个质数小于n的n次方根。
此外，质数的平均值趋近于一个特定的常数，称为“质数定理”。
三、合数的定义与性质合数是除1和本身外还有其他因数的自然数。
合数具有以下性质：1.因数的多样性：合数的因数除了1和本身外，至少还有一个其他的因数。
这意味着合数至少可以被三个整数整除。
2.偶数合数的存在：由于所有偶数（除了2）都是合数，因此存在无限多的偶数合数。
而2是唯一的偶数质数。
3.合数的分布：合数的分布比质数更为复杂。
尽管合数的数量远超过质数，但它们在自然数中的比例随着数字的增大而逐渐增加。
数学家们对合数的分布进行了深入研究，发现了一些有趣的规律和模式。
4.合成物与分解：合数可以被分解为若干个因数的乘积。
这种分解是合数的一种重要性质，也是数学中的一个基本概念。
例如，4可以被分解为2×2，6可以被分解为2×3等。
这种分解方法不仅在数学中有广泛应用，也在计算机科学、密码学等领域有重要应用。
四、质数与合数的应用质数和合数在许多领域都有广泛的应用：1.数学领域：质数和合数是数学中的基本概念，可用于解决各种数学问题，如因式分解、同余方程等。
质数合数概念
1、质数是除了1和它本身之外;不能被其他数整除的正整数;又称素数..
2、合数：是除了1和它本身还能被其他的正整数整除的正整数..除2之外的偶数都是合数.. 除0以外如：4 、6、8、9、10、12、…………
3、偶数也叫双数：能被2整除的数..如：0 、2 、 4 、 6 、 8 、
10 …………
4、奇数也叫单数：不能被2整除的数..如：1 、3 、 5 、 7 、 9…………
5、质数和合数的区别在于因数的个数;质数只有2个因数;合数有多于2
个因数..
除1;0以外不是质数的正整数就是合数.."0"“1”既不是质数也不是合数..质数不可再分解;合数可以进一步分解..
6、100以内的质数有：2、3、5、
7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
最小自然数＝0
＝2 它也是唯一的偶质数..
最小合数＝4
最小奇数＝1
在正整数中最小偶数＝2。
质数与合数
一、 质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、质因数与分解质因数1．质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.2． 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.3. 部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.4. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q(均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.重点：分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
认识质数与合数
认识质数与合数质数和合数是数学中两个基本概念。
在初中数学学习中，我们会接触到这两个概念，并学习它们的相关性质和应用。
但是对于很多人来说，质数和合数的概念还存在着一些模糊和混淆。
在本文中，我们将深入浅出地介绍质数和合数的定义、性质和应用，以便更好地认识和理解这两种数。
一、质数的定义和性质质数是只能被1和它本身整除的数，包括2、3、5、7、11、13等。
在质数中，2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。
既然只能被1和它本身整除，因此质数只有两个因数。
质数是数学中的基本元素，也是很多重要算法和密码学的基础。
质数的性质有很多，下面列举其中一些：1. 质数和合数是数的基本划分。
2. 质数的个数是无限的，这个结论由欧拉于18世纪证明。
3. 一个数一定有一个质因数分解式，即这个数可以分解成若干个质数乘积的形式。
例如，10可以分解为2×5，而24可以分解为2×2×2×3。
4. 一个数的所有质因数的积等于这个数本身。
5. 两个质数的最大公约数是1。
二、合数的定义和性质合数是除了1和它本身以外，还有其他因数的数。
例如4、6、8、9、10等。
合数的一个重要性质是有大于1的因数，因此，合数至少有3个因数。
与质数不同的是，合数不是基本元素，而是由质数乘积得到的复合数。
因此，合数可以分解成若干个质数乘积的形式。
例如，24可以分解为2×2×2×3，而20可以分解为2×2×5。
以下是合数的一些性质：1. 一整数如果不是质数就是合数。
2. 一个数可以唯一地分解成质数乘积的形式。
3. 一个合数的所有因数中，最小的是质因数。
4. 一个数的所有因数中，质因数的指数最大。
5. 两个合数的最大公约数可以大于1。
三、质数和合数的应用质数和合数在现代数学和计算机科学中有着广泛的应用。
以下是其中一些应用：1. 质数是公钥密码算法的基础。
例如RSA公钥密码算法，就基于质数分解的困难性原理。
1到20的质数和合数
1到20的质数和合数
：
质数和合数的知识一直是数学的核心，它们被广泛用于各种数学计算，也被广泛应用于工
程科学、物理学等多种学科，其强大的推理能力在数学上发挥着重要的作用。
那么，1到
20之间的质数和合数有哪些呢？下面我们一起来看一看吧。
从1到20，1到20之间的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。
质数是最常见的素数，它们能够被1或者自身整除，任何其他数都无法除尽，质数称为素数。
1到20之间的合数则有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。
合数是整数的几何之和，它们不能被1或者自身整除，而可以被其他数整除。
质数和合数对数学和其他学科有着巨大的意义，质数是一切数学计算的基础，它们用于各
种数学研究和推理，并常被应用于工程科学、物理学等多种学科中。
而合数用于表示整数
的组成情况，它们也是分解质因数的基石，研究其特性也是非常有价值的。
总之，1到20之间的质数和合数均对学习数学有着重要的意义，它们的知识点也是入门数学的必备知识。
今天就为大家介绍到这里，希望大家能够熟练掌握质数和合数的知识，用
它们来做出有益的科学研究。
什么是质数和合数
什么是质数和合数质数（Prime Number）是指大于1的自然数，除了1和自身之外，没有其他因数的数。
也就是说，质数只能被1和自身整除，不能被其他自然数整除。
质数一般用小写字母p表示。
合数（Composite Number）是指大于1的自然数，除了1和自身之外，还有其他因数的数。
也就是说，合数至少有两个不同的正因数。
合数一般用小写字母c表示。
质数和合数是数论中的基本概念，它们在数学的各个领域中都扮演着重要角色。
### 质数的特点1. 质数大于1：质数是大于1的自然数，因此1不是质数。
2. 只有两个因数：质数只能被1和自身整除，没有其他因数。
3. 无约数分解：质数无法进行约数分解，也就是无法被其他非质数整除。
4. 无规律性分布：质数在自然数中的分布是无规律的，无法预测下一个质数是多少。
### 合数的特点1. 大于1：合数是大于1的自然数，因此1不是合数。
2. 至少有两个不同的正因数：合数至少可以被1和自身以外的其他数整除。
3. 可进行因式分解：合数可以进行因式分解，将其分解为多个质数的乘积。
质数和合数是数学中相互补充的概念。
质数是不可分解的基本数，而合数则由质数组成。
在数学的各个领域，质数和合数都有着重要的作用。
在密码学中，质数的特性被广泛应用于公钥密码体制中。
一个典型的例子就是RSA算法，该算法依赖于质数的难解分解性质，保障了密码体制的安全性。
在因式分解问题中，合数的分解是求解的关键。
通过将合数进行因式分解，可以得到其质因数，进一步研究数的性质。
质数和合数在数学领域中有着广泛的应用。
对质数和合数的研究有助于深入理解数论以及相关的数学概念。
总结起来，质数是不可分解的基本数，合数则由质数组成，可进行因式分解。
质数和合数在数学领域中都扮演着重要角色，对于理解数论以及相关的数学概念具有重要意义。
质数与合数的区别
质数与合数的区别质数和合数是数学中的两个重要概念，它们在数论和代数中扮演着不可忽视的角色。
质数是指只能被1和自身整除的自然数，而合数则是除了1和自身外还能被其他数整除的自然数。
质数和合数的区别体现在它们的性质、分解方式以及在实际生活中的应用等方面。
一、质数的性质质数的最基本性质就是只能被1和自身整除。
例如，2、3、5、7、11等都是质数。
质数的性质使得它们在数论中具有重要的地位。
质数的个数是无穷的，这是由欧几里得在公元前300年左右证明的。
这一结论被称为欧几里得定理，为后来的数论研究奠定了基础。
质数的性质还包括它们的分解方式。
任何一个大于1的自然数都可以分解为若干个质数的乘积，这就是质因数分解定理。
例如，24可以分解为2的3次方乘以3，即24=2^3*3。
质因数分解定理在数论和代数中都有广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解数的结构，还可以用于解决一些实际问题。
二、合数的性质合数是除了1和自身外还能被其他数整除的自然数。
例如，4、6、8、9、10等都是合数。
合数的性质使得它们在数学中也有着重要的地位。
合数可以通过质因数分解来表示，这与质数的分解方式不同。
例如，24可以分解为2的3次方乘以3，即24=2^3*3。
合数的分解方式可以有多种，但每种分解方式都是唯一的。
合数的性质还包括它们的约数个数。
对于一个合数n，它的约数个数可以通过其质因数分解的指数加1的乘积来计算。
例如，24的质因数分解为2的3次方乘以3，所以它的约数个数为(3+1)(1+1)=8个。
合数的约数个数在数论和代数中有着重要的应用，例如在密码学中，我们需要利用合数的约数个数来构造一些安全的加密算法。
三、质数与合数的应用质数和合数在实际生活中也有着广泛的应用。
其中，质数的应用更加突出。
质数在密码学中扮演着重要的角色，例如在RSA算法中，我们需要利用质数的性质来构造一个安全的公钥加密系统。
此外，质数还在随机数生成、素性测试等方面有着广泛的应用。
质数与合数相关知识点总结
质数与合数相关知识点总结一、质数与合数的定义1. 质数的定义质数又称素数，是指只能被1和自身整除的自然数，即除了1和本身以外没有其他的因数。
例如：2、3、5、7、11、13等都是质数。
2. 合数的定义合数是指除了1和自身以外还有其他因数的自然数，即可以分解成若干个质数的乘积。
例如：4、6、8、9、10、12等都是合数。
二、质数与合数的性质1. 质数的性质质数的特点是只有两个因数，即1和本身。
质数的个数是无限的。
质数不能分解成两个较小数的乘积。
2. 合数的性质合数的特点是除了1和本身外还有其他因数。
合数可以分解成若干个质数的乘积。
合数的个数是有限的。
三、质数与合数的判定方法1. 质数的判定方法判断一个数是否是质数可以使用试除法。
即用2到它的平方根之间的所有自然数试除，如果都不能整除，那么这个数就是质数。
例如：判断7是否为质数，就是用2到根号7之间的所有自然数试除，发现都不能整除，所以7是质数。
2. 合数的判定方法判断一个数是否是合数也可以使用试除法。
如果一个数能被除了1和它本身以外的其他自然数整除，那么这个数就是合数。
例如：判断12是否为合数，就是用2到根号12之间的所有自然数试除，发现2、3、4、6都能整除，所以12是合数。
四、质数与合数的应用1. 质数与合数在分解因式中的应用将一个合数分解成若干个质数的乘积的过程称为分解因式。
质因数分解是数学中一个重要的方法，可以用来求解最大公约数、最小公倍数、约分以及解方程等问题。
例如：将90分解成质因数，可以得到90=2×3×3×5，即90的质因数分解式为2×3×3×5。
2. 质数与合数在约数与倍数中的应用质数和合数在约数与倍数中都有重要的应用。
约数是一个数的因数，而倍数是一个数的某个数值的整倍数。
例如：对于质数7，它的约数只有1和7两个数，而对于合数12，它的约数有1、2、3、4、6、12这6个数。
质数合数概念
1、质数是除了1和它本身之外，不能被其他数整除的正整数，又称素数。
2、合数：是除了1和它本身还能被其他的正整数整除的正整数。
除2之外的偶数都是合数。
（除0以外）如：4 、6、8、9、10、12、…………
3、偶数（也叫双数）：能被2整除的数。
如：0 、2 、4 、6 、8 、10 …………
4、奇数（也叫单数）：不能被2整除的数。
如：1 、3 、5 、7 、9…………
5、质数和合数的区别在于因数的个数，质数只有2个因数，合数有多于2个因数。
除1,0以外不是质数的正整数就是合数。
"0"“1”既不是质数也不是合数。
质数不可再分解，合数可以进一步分解。
6、100以内的质数有：2、3、5、
7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
最小自然数＝0
最小合数＝4
最小奇数＝1
在正整数中最小偶数＝2。
质数与合数的性质
质数与合数的性质质数和合数是数学中两种不同的数的概念。
质数也称为素数，指的是只能被1和自身整除的正整数，而合数则是指能够被除了1和自身之外的其他正整数整除的数。
在本文中，我们将探讨质数和合数的性质，并了解它们在数学领域的重要性。
1. 质数的性质质数具有以下性质：1.1 只能被1和自身整除。
1.2 质数大于1。
1.3 质数没有其他因数，除了1和自身。
质数的示例包括：2、3、5、7、11等有限个数。
质数的特点是其因数只有1和自身，因此质数在数论和密码学等领域有着广泛的应用。
例如，RSA加密算法中就利用了质数的特性来保护通信安全。
2. 合数的性质合数具有以下性质：2.1 能够被除了1和自身之外的其他正整数整除。
2.2 大于1。
2.3 合数一定有至少一个除了1和自身的因数。
合数的示例包括：4、6、8、9等无穷个数。
合数的特点是在除了1和自身之外，还存在其他因数。
合数在数学中的研究重要性不如质数显著，但在因式分解、数论和几何等领域中仍有一定的应用。
3. 质数与合数的关系质数和合数是数学中基本的概念，它们是互为补集的关系。
任何一个大于1的整数，要么是质数，要么是合数，两者之一。
4. 质数与合数的判断方法判断一个数是否是质数或合数，可以通过以下方法：4.1 质数判断：从2开始，逐个除以小于其开方根的质数，如果都不能整除，则为质数。
4.2 合数判断：判断一个数是否能被2到根号n之间的自然数整除，如果能整除，则为合数。
其中n是待判断的数。
在实际应用中，质数与合数的性质经常被用于进行大数的分解、素数的生成和公钥密码学等领域。
质数的无穷性和一对一性是数论中的重要问题之一，现在还没有找到其精确的解答。
总结起来，质数和合数作为数学中的重要概念，具有各自独特的性质。
质数只能被1和自身整除，而合数则有至少一个除了1和自身的因数。
质数和合数在数学和密码学等领域有广泛的应用，对于提高密码和数据的安全性有着重要的影响。
通过判断方法，我们可以判断一个数是质数还是合数，为进一步研究和应用提供了基础。
质数和合数的概念
质数和合数的概念质数与合数的基本概念知识点拨1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住:0和1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个; 除了2其余的质数都是奇数;除了2和5，其余的质数个位数字只能是1、3、7或9考点:(1)值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点(2)除了2和5，其余质数个位数字只能是1、3、7或9 2.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这，我们可以先找一个大于且接近p的平方数样的计算量很大，对于不太大的p 2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的，那么p就为质数。
例如:149很接近144=12x12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。
例题精讲例1:下面是主试委员会第六届“华杯赛”写的一首诗:美少年华朋会友，幼长相亲同切磋;杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多;九天九霄志凌云，九七共庆手相握;聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌;请你将56个字第1行左边第一字逐字编为1-56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话。
例2:(2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子，菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家，华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖。
我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理:对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组。
质数和合数
质数和合数质数（prime number）又称素数，有无限个。
质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。
合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。
与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。
最小的合数是4。
其中，完全数与相亲数是以它为基础的。
扩展资料：一、质数的数目计算1、在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个素数。
2、存在任意长度的素数等差数列。
3、一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。
（挪威数学家布朗，1920年）4、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。
（瑞尼，1948年）二、合数的相关性质1、所有大于2的偶数都是合数。
2、所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。
3、除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。
4、所有个位为4，6，8的自然数都是合数。
5、最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。
三、相关概念只有1和它本身两个因数的自然数，叫质数（或称素数）。
（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个因数，所以2就是质数。
与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。
”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。
）100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，一共有25个。
让你轻松理解质数和合数
让你轻松理解质数和合数质数和合数是数学中的两个重要概念，对于初学者来说，可能会感到有些困惑。
本文将为你详细介绍质数和合数，并帮助你更轻松地理解它们。
一、什么是质数？质数，又称素数，是指大于1的自然数中，除了1和自身外，没有其他因数的数。
换句话说，质数不能被其他数整除。
例如，2、3、5、7、11等都是质数。
但是6就不是质数，因为它可以被2和3整除。
质数有以下几个特点：1. 质数只有两个因数，即1和本身。
2. 质数是无法分解为其他两个自然数相乘的数。
质数在数学中具有重要的地位，它们的性质经常被用于数论、密码学等领域。
二、什么是合数？合数是指大于1的自然数中，除了1和自身外，还有其他因数的数。
换句话说，合数可以被至少一个质数除尽。
例如，4、6、8、9、10等都是合数。
合数有以下几个特点：1. 合数有超过两个的因数，即除了1和本身，还有其他因数。
2. 合数可以分解为两个或多个自然数的乘积。
合数在数学中也是非常常见的，它们和质数相互补充，构成了整数集合。
三、质数和合数的关系质数和合数是数学中的两个重要概念，它们之间有着密切的关系。
1. 质数和合数是互补的。
任何一个大于1的数，必定是质数或合数中的一种。
质数和合数构成了整数集合的基础。
2. 任何一个合数，都可以进行质因数分解。
质因数分解就是将一个合数分解为若干个质数的乘积。
例如，12可以分解为2 × 2 × 3。
3. 质数是合数的一种特殊情况，因为质数只能被1和本身整除，所以无法再进行进一步的分解。
四、质数和合数的应用质数和合数在实际生活中有着广泛的应用。
1. 密码学：质数的特性被广泛用于加密算法中。
例如，RSA公钥加密算法就是基于质数分解的难题来实现加密和解密过程。
2. 计算机科学：质数和合数的研究在计算机科学领域有着重要的应用。
例如，大素数的寻找和判断是许多密码学和计算机安全算法的基础。
3. 数论：质数和合数是数论研究的重要对象，它们的性质和规律有助于深入理解数学领域中的其他问题。
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第三讲质数、合数和分解质因数
【教学目标】1、在了解质数合数基本概念基础上理解其基本性质
2、质数合数灵活拆分
3、熟记100以内质数
【教学重点】1、判断一个数是否为质数
2、质数合数基本性质
3、质数合数灵活拆分
一、质数与合数的概念
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
【注意】：1不是质数，也不是合数。
二、质数、合数常用性质：
（1）1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7，9.
（2）若质数p|ab，则必有批p|a或p|b
（3）若正整a，b的积是质数P，则必有a=p或b=p．
（4）算术基本定理：任意一个大于1的整数N，能分解成K个质因数的乘积，若
不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N可以写成标准分解形式： N=Pa11.p2a2……pkak
其中p1<p2<…<pk，pi为质数，ai为非负整数，(i=1，2，…，k)．
三、质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
例1.在下式中分别填入三个质数，使等式成立
□+□+□=50
例2．自然数123456789是质数，还是合数？为什么？
例3.5397 除以一个质数，所得的余数是 15，这个质数是多少？
例4.从100~150之间，找出两个整数，使其乘积等于231与65的乘积
三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
例5.两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？
从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12．
例6.将17拆成若干个质数之和，使得这些质数乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？
例7.9216可以写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到多少？
练习
1.有9个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个？
答案：4个。
分析：101，103，107，109
，则这3个质数之和为多少?
2.个质数的倒数之和是1661
1986
3.一个自然数能分解成3 个质因数的积，如果这3 个质因数的平方和是1710，求这个自然数
4.已知三个不同的质数a，b，C满足ab b c+a=2000。
那么a+b+c=____.
5. 一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于
6.若干个整数的和是2005，求这些整数的积最大是多少？
答案：6672
32
7.从1~9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数，排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是________.
8．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个
合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成
红色的数由小到大数下去，则第1992个数是__________．
9. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2．…，40，41这41个自然数，问：
(1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是
质数?
(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都
是质数?
10.证明有无穷多个n使多项式”n2+n+41
(1)表示合数；
(2)为43的倍数．’
11.已知正整数P、q都是质数，且7p+q与pq+11也都是质数，试求p q+q p’的
值．。