云南省峨山彝族自治县第一中学人教A版高中数学必修一课件：3.1.1方程的根与函数的零点 (共15张PPT)

方程变形为：lnx2x6, 令 y ln x ，y2x6,
由图可得两函数图象只有一个公共点， 所以函数有一个零点.
y
6
1
o3
y ln x
x
y2x6
方程的根与函数的零点
试一试：
函数
f
(x)

lnx

2 x
的零点所在的大致区间是（
B
）
A．1, 2
B． 2, 3
C．1,
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x1=－1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
f(a) ·f(b)<0?
x
例2：试证明函数f(x)=x3+x2+1在区间（-2，-1） 上有零点.
证明： ∵ f(-2)=-3＜0, f(-1)=1＞0
∴ f(-2) ·f(-1)<0
又∵ 函数f(x)在区间( -2，-1 )上的图象是连续不 断的,
∴ 函数f(x)在区间（-2，-1）上存在零点.
A
B
甲
A
乙
请你想一想
B
如果已知一个函数图象在区间[a，b]上是连连续续不的断，，且 f(a那)·么f,什(b么)<情0，况那下么，这图个象函在数区图间象(a在，区b)间内（肯a定，会b）与内x轴肯有定 会跟交x点轴呢相？交，也就是在区间（a，b）内肯定会存在零点。
发现：零点存在性定理
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
1 区 间 a,b 是 否 为 f (x) 零 点 所 在 的 区 间 ， 只 要 判 断
f (a) f (b) 0是否成立。
经代入计算得 f (2) ln2 1 0， f (3) ln3 2 0
f (2) f (3) 0，
零点是点还是数?
方程的根与函数的零点
等价关系,梳理提升
1. 函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
2.
x0是方 fx程 0的实数根
函数 y f x的图象与
x轴有交点 x0,（ 0）
x0是函 yf数 x的零点
-2 -1
观察图象： 问题1：此图象是否能 表示函数？
无实数根 无交点
方程的根与函数的零点
总结归纳，知识拓展
方程的根和相应的函数图象与x轴交点的横坐标相同
x0是方 fx程 0的实数根
函数 yfx的图象 x轴 与
有交点 x0,0（ ）
方程的根与函数的零点
函数零点的定义：
形成概念,梳理提升
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点．
方程的根与函数的零点
创设情境，初步探索，设问激疑
问题1：求下列方程的根
(1) x22x30
(2) x22x10
(3) lnx2x60
方程的根与函数的零点
从特殊问题进行探究
方程 y=0 函数
函数 图象
(简图）
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0
y= x2－2x－3 y= x2－2x+1
例3 求函数 f (x) ln x 2x 6的零点个数。
法一 解：用计算器或计算机作出 x 、 f (x)的对应值表和图象
x 123456789
f (x) 4 1 .3 1 . 1 3.4 5.6 7.8 9.9 12 .1 14.2
y 5
由上表和右图可得， f (2) 0， f (3) 0，即
4 3
f (2) f (3) 0，说明这个函数在区间2,3
2
内有零点。由于函数 f (x)在定义域0, 内
1
-1 0 1 2 3 4 5 x -1
-2
是增函数，所以它仅有一个零点.
-3
-4
例3：求函数 f (x) ln x 2x 6的零点个数.
法二 解：由已知得，即求方程 lnx2x60的根的个数,
f (a) f (b) 0 ， 那么 ，函 数 y f (x) 在 区间 a,b 内 有 零点 ，即 存在 c a,b，使得 f (c) c 0，这个 也就是方程 f (x) 0的根.
1.f(a)·f(b)>0
2.有几个？
3.f(x)在(a,b)上
有零点,是否一
定有
a
o
3
f (x)在2,3内有零点.
选 B.
小结
收获园地
函数的零点定义
等价关系
代数法
零点的求法
函数零点存在性原理
数学思想方法
数
形
转
结
化
合 思
思
想
想
方 程 函 数 思 想
图像法
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。
课后作业： 教材P92 A组 2
问题2：你能从中分析 函数有哪些零点吗？
2
3
任意函数都 有零点吗?
设问激疑,延伸拓展
例1．已知函数y=x2-2x-1.
（1）判断该函数零点的个数，并说明理由; （2）它在区间（(2-1,, 31）) 上存在零点吗?
y x 1
-1 o 2 3
x
讨论探究，揭示定理
问题3：观察下列两组画面，请你判断一下他从A 点到B点的行程中是否一定趟过这条小溪？