驱动电机负载模型Hinf(H无穷)鲁棒【控制专区】器设计

驱动电机负载模型H∞控制器设计
一、引言
电动机是指能将直流电能转换成机械能的旋转电机。

电动机按使用电源不同分为直流电动机、交流电动机；按照定子和转子的相对速度可分为同步电机、是异步电机。

作为最常用的驱动执行器，它在车辆中应用广泛，如门窗的起降，自动雨刮器，电动汽车驱动，冷却风扇，发动机起动机等等。

目前电机的控制，尤其是直流电机的控制方法，主要以PID控制和LQR控制为主。

随着汽车性能要求的不断提高，人们越来越关注于系统的稳定性，对于电机的控制也提出了新的要求。

尤其是作为电动汽车的驱动电机，在车辆行驶过程中，特别是高速行驶中，一个微小的摄动可能会对车辆运动产生很大的影响。

在驱动电机工作过程中，由于环境温度变化等工作状况的变动；外部路面干扰；车辆负载突增；老化机械参数变化；建模误差等缘故，会造成模型不精确，也就是模型的不确定性是广泛存在，不可避免的。

因此，需要一种固定的控制器，可以保证模型与实际系统出现偏差时，仍能保持所需的控制品质。

而鲁棒性就是系统的强壮性。

这便引出了使用鲁棒控制来解决电机负载扰动这一问题的讨论。

二、系统工作原理与建模
图 1 电机负载模型
如图1所示建立一个简单的驱动电机负载模型。

模型的输入为控制电压V，通过电枢电阻R与电机转矩建立关系，电机连接一个弹性轴，弹性轴的转动惯量为J M，将输出经过减速齿轮后的车辆模型进行简化，用输出端粘滞摩擦系数βL来简单代替轮胎模型的阻力。

系统参数选取如下：
参数参数意义参数值
Kθ电机输出轴扭转刚度1280.2
K T电机常量10
J
电机转动惯量0.5
M
J
负载转动惯量
L
ρ传动比
β
电机粘滞摩擦系数
M
β
负载粘滞摩擦系数
L
R电枢电阻
建立系统的微分方程。

首先，电机扭矩与电流直接相关：
M =K T ×I
其中K T 是电机固有参数。

接下来建立驱动电机负载模型的扭矩关系式：
J L ×ωL +K θ(θL −θM ρ)+βL ×ωL =0 （1） J M ×ωM =K T ×I −βM ×ωM +K θρ（θL −θM ρ
） （2） 设置电机负载系统输入为电压值V ，输出为负载转速ωL ，建立驱动电机负载模型的状态空间方程。

建立状态空间方程形如：
[ θL ωL θM ωM ] =[ 01−K θJ L −βL J L 0 0K θρJ L 00 0K θρJ M
0 01−K θρ2J M −(βM +K T 2/R)J M ] [θL ωL θM ωM ]+[ 000K T RJ M ] V
Y =ωL =[0100][θL ωL θM ωM
] 因此
A =[ 01−K θJ L −βL J L 00K θρJ L 0
00K θρJ M 001−K θρ2J M −(βM +K T 2/R)J M ] B =[ 000K T RJ M ] C =[0100] D =[0] 转换为传递函数的形式便于观察
P =0.01s 3+0.6397s 2+8.109s +6.556s 4+11s 3−36.65s 2−517.2s −655.6
三、鲁棒控制器设计与建模
3.1 H∞理论及混合灵敏度问题
H∞鲁棒控制理论是在H∞空间(即Hardy 空间) 通过某些性能指标的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。

H∞范数的物理意义是它代表系统获得的最大能量增益。

H ∞控制的目的是：利用标称模型G 来设计控制器K ，使得K 在稳定被控对象的同时使某一目标函数P 的H ∞范数最小：[1]
γ=min ||P (s )||∞
H∞控制器的设计现在已经有很多种算法，如著名的DGKF 文献中提出的“2-Riccati 方程”标准解法，严格证明了可通过求解两个Riccati 方程来获得H∞控制器[2][3]；文献[4]
中提
出了对于D 11不为0的情形下的控制器求解方法；[5][6]中提出了将闭环系统的H∞范数标定为1的控制器求解方法。

此次控制器设计选用上述最后一种方法。

混合灵敏度问题是H∞控制的最典型问题之一，应用H∞方法设计系统，为了保证鲁棒性和提高系统性能，通常将设计问题转化为混合灵敏度问题。

混合灵敏度设计系统如下图中所示，K 为最终需要设计的鲁棒控制器，P 为被控对象，即驱动电机负载模型。

W1为系统的性能权，W2为控制器输出约束权，W3为鲁棒权。

图 2 反馈系统结构图
H∞混合灵敏度控制就是在频域内选择加权函数W1，W2，W3，使之满足下式规则：
123min 1K W S
W KS W T
∞≤
其中S 为参考输入到跟踪误差的传递函数，T 为参考输入到系统输出的传递函数。

3.2 加权函数的选取
加权函数的选取对鲁棒控制器设计至关重要，需要反复尝试[7]。

这里依照[8]和[9]中介绍的方法，对驱动电机负载系统加权函数进行选择。

W1是由系统的性能要求来决定的，通常应具有积分特性或高增益低通特性。

一般取W1(s)= k1/(s/ω1+1).。

调整k1可有效地提高系统频宽，调整ω1可有效地抑制系统的超调量。

为了满足系统的频宽要求，获得理想的动态过程，取：
W1(s)=
100s +1
W2由系统参数的摄动范围来决定，也可用来约束控制器的输出。

混合灵敏度设计中可以通过对加权阵W 2的选取来实现对控制信号幅值的约束。

为了不增加控制器的阶次，通常取W2为一常数。

为了约束控制器的输出，并保证系统频宽的要求，取：
W2=0.0005
W3可根据系统的高频未建模动态来选取。

W3一般具有高通性质，且W1和W3的频带不能重叠。

W3的阶次不宜取得太大，否则将影响迭代速度及控制器的阶数，一般取W3(s)=k 3s/(s/ω3+1)。

W 3也影响系统频宽，通常ω3越大，系统的频宽越宽。

k3越大系统频宽越窄。

为满足高通性质，并保证系统频宽要求，通过仿真实践，取：
W3(s)=s S +1000 3.3 生成广义系统G
使用Matlab 中的augtf 函数，将P ，W1，W2，W3写为广义系统G 。

[G]=augtf(P,w1,w2,w3);生成的广义系统状态空间矩阵为：
010051.210.8 2.56000011280 6.40110.2A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦00.0100.0100.010
1B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 00000100C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦00.000510D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
3.4 求解H∞控制器
如3.1中所述，鲁棒控制器的设计有很多种算法，这些算法也分别在matlab 中有了工具箱函数可以直接调用。

例如DGKF 文献中提出的“2-Riccati 方程”标准解法，可使用hinfsys 函数求解控制器；D 11不为0的情形下的控制器求解方法可使用hinf 函数；将闭环系统的H∞范数标定为1的控制器求解方法在matlab 中的实现是hinfopt 函数，此外还有hinfric ，hinflmi 等实现函数可以使用。

参考[10]书中所介绍的控制器求解方法以及使用条件，此次使用的是hinfopt 函数，调用
[gamopt,sscp,sscl]=hinfopt(G,gamind,aux)。

其中输入变量gamind 表示要用γ进行标定的输出通道号，默认值表示所有通道，用其标定后闭环系统的H∞范数为1。

输入变量aux 表示迭代精度及γ的上下界，默认值为[0.01 1 0]。

输出变量gamopt 表示最优的γ值，sscp 表示求得的H∞最优控制器，sscl 表示用γ标定后的闭环系统。

得到的sscp 参数为：
1.5290.72110.1463351.30.21567.0670.2653239.60.023210.0691710.11289.615.64286.71073104AA -⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ 0.0061710.63010.165434.9BB ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
[]0.2403 3.6480.77041944CC =- []0DD =
AA ，BB ，CC ，DD 即为控制器K 的状态空间矩阵。

为了便于观察系统性质的参数，同样将其转化成传递函数形式。

四、仿真与实验结果分析
将广义对象状态空间模型和控制器K 的传递函数按照反馈结构建模，模型如下：
分析系统中的参数，可能会发生改变的有电阻R ，用来模拟负载的粘滞摩擦系数。

因此
为了测试系统的鲁棒性能，模拟这两个参数发生改变时系统的响应变化。

仿真工况：1s时给阶跃输入电压，幅值为5。

模型在鲁棒控制器的控制下，输出负载转速ωL的闭环阶跃响应如下图蓝线所示：
从图中可以看出，负载轴转速在经过3s后趋于稳定，真正起到了通过电压控制负载轴转速的作用。

接下来增大负载轴粘滞摩擦系数BLoad从20加倍至40，以模拟行驶负载增加的情况，响应如上图中红线所示。

可以看出在负载改变前后，转速曲线变化很小，仍可快速达到预期控制量，稳态误差几乎为0。

下图给出了对电阻R参数进行调整前后，负载轴转速变化的对比图：
可以看出，当电阻R从20增加值40时，负载轴转速变化依然很小，调整时间相比有所延长，超调量从原来的27%增加至33%，稳态误差几乎为0。

从而说明，该鲁棒控制系统不仅能够达到较高的控制精度，同时鲁棒性能很好，在系统参数发生改变后，仍可以保证一个符合预期的输出。

五、总结
通过Matlab/Simulink进行驱动电机负载模型的建模，利用Matlab中的augtf和hinfopt 函数进行鲁棒控制器的设计，最终在Simulink上进行控制模型仿真。

仿真结果表明，H∞控制器控制下的电机负载系统能够在一定范围内承受模型参数不确定性，具有优秀的鲁棒性能，H∞控制可以应用于电机转速控制领域。

参考文献
[1]李永，宋键．车辆制动系统电磁动力学与耦合控制［M］．北京国防工业出版社，2008:32
－33．
[2]Doyle, J.C., K. Glover, P. Khargonekar, and B. Francis, "State-space solutions to standard H2
and H∞control problems," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 34, no. 8, pp. 831-847, August 1989.
[3]Glover, K., and J.C. Doyle, "State-space formulae for all stabilizing controllers that satisfy an
H∞ norm bound and relations to risk sensitivity," Systems and Control Letters, vol. 11, pp. 167-172, 1988.
[4]M. G. Safonov, D. J. N. Limebeer and R. Y. Chiang, "Simplifying the H Theory via Loop
Shifting, Matrix Pencil and Descriptor Concepts", Int. J. Contr., vol. 50, no. 6, pp. 2467-2488, 1989.
[5]G. Zames and B. A. Francis, "Feedback, Minimax Sensitivity, and Optimal Robustness," IEEE
Trans. on Autom. Contro l, AC-28, 5, pp. 585-601, May 1983.
[6]M. Verma and E. A. Jonckheere, "L -Compensation with Mixed Sensitivity as a Broadband
Matching Problem," Systems and Control Letters, 4, pp. 125-129, May 1984.
[7] D.-W. Gu, P. Hr. Petkov and M. M. Konstantinov. Robust Control Design with MA TLAB[M].
Springer, 1st Edition, 2005.8
[8]严运兵,吴浩,赵慧. 汽车防抱死制动系统的H_∞鲁棒控制[J]. 汽车工程,2014,04:453-458.
[9]吴旭东,解学书. H∞鲁棒控制中加权阵选择[J]. 清华大学学报(自然科学
版),1997,37(1):27-30．
[10]周克敏, J. C. Doyle, K. Glover. 鲁棒与最优控制[M]. 国防工业出版社.。