切线性质和判定定理(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)

专题2.4 切线性质和判定定理（知识讲解）【学习目标】
1.理解并掌握切线的判定和性质；
2.运用切线的性质定理和判定定理进行证明或求值。

.
【要点梳理】
圆的切线定义：圆的切线是指一直线若与一圆有交点，且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。

要点一、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 要点二、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
特别说明：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
类型一、切线的理解
1．如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）
A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆
【答案】D
【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断．
⊥于D，
解：OD a
∴以O为圆心，OD为半径的圆与直线a相切，
故选：D．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系—相切，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式1】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（）
A．⊙A＝50°，⊙C＝40°B．⊙B﹣⊙C＝⊙A
C．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
解：A、⊙⊙A＝50°，⊙C＝40°，
⊙⊙B＝180°﹣⊙A﹣⊙C＝90°，
⊙BC⊙AB，
⊙点B在⊙A上，
⊙AB是⊙A的半径，
⊙BC是⊙A切线；
B、⊙⊙B﹣⊙C＝⊙A，
⊙⊙B＝⊙A+⊙C，
⊙⊙A+⊙B+⊙C＝180°，
⊙⊙B＝90°，
⊙BC⊙AB，
⊙点B在⊙A上，
⊙AB是⊙A的半径，
⊙BC是⊙A切线；
C、⊙AB2+BC2＝AC2，
⊙⊙ABC是直角三角形，⊙B＝90°，
⊙BC⊙AB，
⊙点B在⊙A上，
⊙AB是⊙A的半径，
⊙BC是⊙A切线；
D、⊙⊙A与AC的交点是AC中点，
AC，但不能证出⊙B＝90°，
⊙AB＝1
2
⊙不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点拨】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
【变式2】下列说法正确的是（）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．过圆的半径外端的直线是圆的切线
【答案】B
【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A 错误，B正确．注意排除法在解选择题中的应用．
解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误；
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误．
故选：B．
【点拨】此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键．
类型二、构成切线的条件
2．在下图中，AB是O的直径，要使得直线AT是O的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可）
【答案】⊙ABT=⊙ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到⊙BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：⊙ABT=⊙ATB=45°即可．
解：添加条件：⊙ABT=⊙ATB=45°，
⊙⊙ABT=⊙ATB=45°，
⊙⊙BAT=90°，
又⊙AB是圆O的直径，
⊙AT是圆O的切线，
故答案为：⊙ABT=⊙ATB=45°（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
【变式1】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果⊙AOB=120°，那么当⊙CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线．
【答案】60
【分析】由已知可求得⊙OAB 的度数，因为OA ⊙AC ，AC 才能成为⊙O 的切线，从而可求得⊙CAB 的度数．
解：⊙⊙AOB 中，OA =OB ，⊙AOB =120°，
⊙()1180302
OAB OBA AOB ∠=∠=︒-∠=︒， ⊙当OA ⊙AC 即⊙OAC =90°时，AC 才能成为⊙O 的切线，
⊙当⊙CAB 的度数等于60°，即OA ⊙AC 时，AC 才能成为⊙O 的切线．
故答案为：60．
【点拨】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
【变式2】如图，已知30AOB ∠=︒，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，2cm 为半径作M ，当OM =________cm 时，M 与OA 相切.
【答案】4
【分析】过M 作MN⊙OA 于点N ，此时以MN 为半径的圆M 与OA 相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM 的长.
解：如图，过M 作MN⊙OA 于点N ，
⊙MN=2cm ，30AOB ∠=︒，
⊙OM=4cm ，
则当OM=4cm 时，M 与OA 相切.
故答案为4.
【点拨】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
类型三、证明直线为圆的切线
3．如图，在⊙ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊙AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
∥，可知DE⊙OD，即可证得DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，证得OD AC
解：连接OD，如图所示，
⊙AC＝BC，
⊙A ABC
∠=∠，
⊙OB OD
=，
∠=∠，
⊙ODB ABC
⊙ODB A
∠=∠，
⊙OD AC
∥，
又⊙DE ⊙AC ，
⊙DE ⊙OD ，
⊙DE 为⊙O 的切线．
【点拨】本题主要考查的是切线的判定，准确做出辅助线，证得平行是解题的关键．
【变式1】如图所示，⊙O 的半径为1，直线CD 经过圆心O ，交⊙O 于C 、D 两点，直径AB CD ⊥，点M 是直线CD 上异于点C 、O 、D 的一个动点，AM 所在的直线交于⊙O 于点N ，点P 是直线CD 上另一点，且PM PN =．
(1)当点M 在⊙O 内部，如图一，试判断PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程；
(2)当点M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不交时，（1）的结论是否还成立？请说明理由．
【答案】(1)相切，见分析(2)成立，见分析
【分析】
（1）连接ON ，根据已知条件可知ONA OAN ∠=∠、PNM PMN AMO ∠=∠=∠，再通过90PNO PNM ONA AMO OAN ∠=∠+∠=∠+∠=︒即可判断PN 与⊙O 的关系；
（2）连接ON ，根据已知条件可知ONA OAN ∠=∠、PNM PMN ∠=∠，在Rt AOM 中90OMA OAM ∠+∠=︒，即有90PNM ONA ∠+∠=︒，再由
180()90PNO PNM ONA ∠=︒-∠+∠=︒即可判断PN 与⊙O 的关系．
(1)解：（1）PN 与O 相切．
证明如下：如下图，连接ON ，
则ONA OAN ∠=∠，
⊙PM PN =，
⊙PNM PMN ∠=∠．
⊙AMO PMN ∠=∠，
⊙PNM AMO ∠=∠，
⊙90PNO PNM ONA AMO OAN ∠=∠+∠=∠+∠=︒，
⊙ON 是O 的半径，
⊙PN 与O 相切．
(2)成立．理由如下：
如下图，连接ON ，
则ONA OAN ∠=∠，
⊙PM PN =，
⊙PNM PMN ∠=∠．
在Rt AOM 中，
⊙90OMA OAM ∠+∠=︒，
⊙90PNM ONA ∠+∠=︒，
⊙180180909()0PNO PNM ONA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．
⊙ON 是O 的半径，
⊙PN 与O 相切．
【点拨】本题考查了圆的切线的判定，解题关键是掌握圆与直线的位置关系的判定方法．
【变式2】如图，正方形ABCD 的边长AD 为O 的直径，E 是AB 上一点（不与A ，B 重合），将正方形的一个角沿EC 折叠，使得点B 恰好与圆上的点F 重合．
(1)判断直线CF 与O 的位置关系？并说明理由；
(2)若O 的半径为1，求AE 的长？
【答案】(1)见分析(2)43
【分析】
（1）如图所示，连接OF ，OC ，只需要证明△OCF ⊙⊙OCD 得到⊙OFC =⊙ODC =90°，即可得到结论；
（2）先证明O 、E 、F 三点共线，设AE =x ，则BE =AB -AE =2-x ，OE =OF +EF =3-x ，在Rt ⊙AEO 中，由勾股定理得到222AE OA OE +=，则()2
2213x x +=-，据此求解即可．
(1)解：直线CF 与圆O 相切，理由如下：
如图所示，连接OF ，OC ，
由折叠的性质可知，CF =BC ，
⊙四边形ABCD 是正方形，
⊙CD =BC ，⊙ODC =90°，
⊙CF =CD =BC ，
⊙AD 是圆O 的直径，F 在圆O 上，
⊙OF =OD ，
又⊙OC =OC ，
⊙⊙OCF ⊙⊙OCD （SSS ），
⊙⊙OFC =⊙ODC =90°， ⊙直线CF 与圆O 相切；
(2)解：⊙AD 是圆O 的直径，圆O 的半径为1，四边形ABCD 是正方形，
⊙AD =AB =2，⊙ABC =⊙BAD =90°，
由折叠的性质可知⊙EFC =⊙EBC =90°，EB =EF ，
由（1）得⊙OFC =90°，
⊙⊙OFC +⊙EFC =180°，
⊙O 、E 、F 三点共线，
设AE =x ，则BE =AB -AE =2-x ，
⊙OE =OF +EF =3-x ，
在Rt ⊙AEO 中，222AE OA OE +=，
⊙()22213x x +=-， 解得43x =
， ⊙43
AE =． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，圆切线的判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
类型四、切线的性质
4．如图，AB 是⊙O 的直径，BC =CD ，
AC 与BD 相交于点E ．连接BC ，⊙BCF =⊙BAC ，CF 与AB 的延长线相交于点F ．
(1) 求证：CF 是⊙O 的切线；
(2) 求证：⊙ACD =⊙F ；
(3) 若AB =10，BC =6，求AD 的长．
【答案】(1)见分析 (2)见分析( 3)AD =
145． 【分析】
（1）连接OC ，由圆周角定理得⊙ACO +⊙OCB =90°，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；
（2）根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；
（3）设OH为x，则CH为（5-x），根据勾股定理可得方程，求得OH的长，再根据三角形中位线定理可得答案．
(1)证明：连接OC，
⊙AB是直径，
⊙⊙ACB=90°，
⊙⊙ACO+⊙OCB=90°，
⊙OA=OC，
⊙⊙BAC=⊙ACO，
⊙⊙BCF=⊙BAC，
⊙⊙BCF+⊙OCB=90°，
⊙⊙OCF=90°，
⊙OC⊙CF，
⊙CF是⊙O的切线；
(2)证明：⊙BC=CD，
⊙⊙CAD=⊙BAC，
⊙⊙BCF=⊙BAC，
⊙⊙CAD=⊙BCF，
⊙CD=CD，，
⊙⊙CAD=⊙CBD，
⊙⊙BCF=⊙CBD，
⊙BD⊙CF，
⊙⊙ABD=⊙F，
⊙AD=AD，
⊙⊙ACD=⊙ABD，
⊙⊙ACD=⊙F；
(3)解：如图：
⊙BD⊙CF，OC⊙CF，
⊙OC⊙BD于点H，
设OH为x，则CH为（5-x），根据勾股定理，62-（5-x）2=52-x2，
解得：x=7
5
，
⊙OH=7
5
，
⊙OH是中位线，
⊙AD=2OH=14
5
．
【点拨】此题考查的是圆周角定理、切线的判定和性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键．
【变式1】如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．
(1)若⊙A＝36°，求⊙C的度数；
(2)若弦BC＝24，圆心O到弦BC的距离为6，求⊙O的半径．（结果用根号表示）
【答案】(1)27 ；(2)65
(1)解：连接OB，
⊙AB为圆O的切线，
⊙AB⊙OB，
⊙⊙BOC为△AOB的外角，
⊙⊙BOC＝⊙OBA+⊙A＝126°，⊙OB＝OC，
⊙⊙C＝⊙OBC=180126
2
︒-︒
=27°；
(2)解：过O作OD⊙BC于D，如图，
⊙OB=OC，OD⊙CD，
⊙D为BC中点，即BD＝CD=1
2
BC＝12，
在Rt△COD中，OD＝6，CD＝12，
则22
OD CD
+5
即⊙O的半径为5
【点拨】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
【变式2】如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于E，过B作⊙O的切
线，交AC的延长线于D．求证：⊙CBD
1
2
=⊙CAB．
【分析】连接AE，利用等腰三角形的性质易证⊙BAE=⊙CAE=1
2
⊙CAB，由切线的性质
定理可得⊙CBD=⊙BAE，所以⊙CBD=1
2
⊙CAB．
证明：连接AE，
⊙AB是圆的直径，
⊙AE⊙BC，即⊙AEB=90°，
⊙AB=AC，
⊙AE平分⊙BAC，
⊙⊙BAE=⊙CAE=1
2
⊙CAB，
⊙BD是⊙O的切线，⊙⊙CBD+⊙ABC=90°，⊙⊙AEB=90°，
⊙⊙BAE+⊙ABC=90°，⊙⊙CBD=⊙BAE，
⊙⊙CBD=1
2
⊙CAB．
【点拨】本题考查了切线的性质定理、圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是正确的添加辅助线，利用等腰三角形的性质解题．
类型五、切线的性质与判定综合
5.如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．
(1)求证：AE 是O 的切线；
(2)若4AE =，6CD =，求O 的半径和AD 的长．
【答案】(1)见分析(2)5，5【分析】
（1）连接OA ，根据已知条件证明OA AE ⊥即可解决问题；
（2）取CD 中点F ，连接OF ，根据垂径定理可得OF CD ⊥，所以四边形AEFO 是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
(1)证明：如下图，连接OA ，
⊙AE CD ⊥，
⊙90DAE ADE ∠+∠=︒．
⊙DA 平分BDE ∠，
⊙ADE ADO ∠=∠．
又⊙OA OD =，
⊙OAD ADO ∠=∠，
⊙90DAE OAD ∠+∠=︒，
⊙OA AE ⊥， ⊙OA 是半径， ⊙AE 是O 切线；
(2)解：如上图，取CD 中点F ，连接OF ，
⊙OF CD ⊥于点F ，
⊙四边形AEFO 是矩形．
⊙6CD =，
⊙3DF FC ==．
在Rt ⊙OFD 中，4OF AE ==， ⊙2222435OD OF DF ++=，
在Rt ⊙AED 中，
4AE =，532ED EF DF OA DF OD DF =-=-=-=-=， ⊙22422025AD +=，
⊙AD 的长是5
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
【变式1】如图所示，AB 为⊙O 的直径，在△ABC 中，AB =BC ，AC 交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊙BC ，垂足为点E ．
(1)证明DE 是⊙O 的切线；
(2)AD =8，P 为⊙O 上一点，P 到弦AD 的最大距离为8．
⊙尺规作图作出此时的P 点，保留作图痕迹；
⊙求DE 的长．
【答案】(1)见分析(2)⊙见分析；⊙DE =4.8
【分析】
（1）连接OD 、BD ，求出BD ⊙AC ，可得AD =DC ，根据三角形的中位线得出OD ⊙BC ，推出OD ⊙DE ，根据切线的判定推出即可；
（2）⊙利用垂径定理作出AD的垂直平分线即可；
⊙根据垂径定理以及勾股定理求得⊙O的半径和FO，再根据中位线中位线定理求得BD，然后根据三角形面积公式即可求解．
(1)证明：连接OD，BD，
⊙AB为⊙O的直径，
⊙BD⊙AD，
又⊙AB=BC，⊙ABC是等腰三角形，
⊙BD又是AC边上的中线，
⊙OD是⊙ABC的中位线，
⊙OD⊙BC，又DE⊙BC，
⊙DE⊙OD，
⊙OD是⊙O的半径，
⊙DE是⊙O的切线；
(2)解：⊙如图，作AD的垂直平分线与☉O相交于点P，点P即为所求．
⊙如图，AD的垂直平分线与AD相交于点F，连接BD，
⊙PF⊙AD，
⊙AF=1
2
AD=4，
设☉O的半径为r，
在Rt⊙AFO中，AF2+FO2=AO2，即42+(8−r) 2=r2，解得r=5．
⊙FO=PF−PO=3，
⊙FO是⊙ABD的中位线，
⊙BD=2FO=6，
⊙AB为⊙O的直径，
⊙BD⊙AC，
又⊙AB=BC，
⊙ABC是等腰三角形，
⊙AD=DC=8，
⊙BC=AB=10，
在Rt⊙BDC中，
S△BDC=1
2
BD⋅CD=
1
2
BC⋅DE，
⊙DE=4.8．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线等知识点的综合运用．
【变式2】如图，P A和PB是O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E和点F分别在PB和P A上，且AD BE
=．
(1)求证：PA PB
=
(2)若40
P
∠=︒，当EDF
∠是多少度时，BD AF
=？请说明理由．
(3)若APBα
∠=，当α=__________时，四边形DEPF为菱形．
【答案】(1)见分析(2)70°，理由见分析(3)60°
【分析】
（1）连接AO 、BO 、OP ，根据切线的性质及全等三角形的判定证明⊙APO ⊙⊙BPO ，即可求解；
（2）由（1）得到AP =BP ，根据三角形内角和定理得到⊙P AB ＝⊙PBA ＝70°，证明⊙AFD ⊙⊙BDE ，根据全等三角形的性质得到⊙AFD ＝⊙BDE ，根据三角形的内角和，得到答案；
（3）根据菱形的性质与直角三角形的性质证明BD =BE =DE ，得到⊙BDE 是等边三角形，根据三角形内角和即可求解．
解：(1)连接AO 、BO 、OP ，
⊙P A 和PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，
⊙OA ⊙AP ，OB ⊙BP ，
⊙⊙OAP =⊙OBP =90°，
又⊙AO =BO ，OP =OP ，
⊙⊙APO ⊙⊙BPO （HL ），
⊙AP =BP ；
(2)当EDF ∠是70度时，BD AF =，证明如下：
由（1）可得P A ＝PB ，
⊙⊙P AB ＝⊙PBA ＝1
2
（180°−40°）＝70°， 在⊙AFD 和⊙BDE 中， AD BE FAD DBE AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
⊙⊙AFD ⊙⊙BDE （SAS ）
⊙⊙AFD ＝⊙BDE ，
⊙⊙EDF ＝180°−⊙BDE −⊙ADF ＝180°−⊙AFD −⊙
ADF ＝⊙F AD ＝70°，
故EDF
∠是70度时，BD AF
=．
(3)如图，
当四边形DEPF为菱形时，⊙APD=⊙BPD，EP=DE=DF=PF，
⊙AP=BP，DP=DP，
⊙⊙APD⊙⊙BPD（SAS），
⊙AD=BD，
⊙DP⊙AB，⊙BDP是直角三角形，
⊙DE=EP，
⊙⊙DPE=⊙PDE，
⊙⊙DPB+⊙DBP=⊙PDE+⊙BDE=90°，
⊙⊙DBP=⊙BDE，
⊙DE=BE，
⊙AD BE
=，
⊙BD=BE=DE，
⊙⊙BDE是等边三角形，
⊙⊙DBE=60°=⊙P AD，
⊙⊙APB=180°-⊙DBE-⊙P AD =60°，
故答案为：60°．
【点拨】本题考查的是切线的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．。