2020年高考数学三轮题型突破 3 解答题突破 题型17 数列的综合问题(教师版含解析)

第三篇主题17 数列的综合问题【主题考法】本主题考题形式为解答题，主要考查等差数列与等比数列定义、性质及通项公式，考查利用构造法、叠加法、叠乘法及第n 项与前n 项和公式法求数列通项公式方法，主要考查分组求和法、拆项法、错位相减法、并项法等求和方法，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档难度，分数为12分.【主题考前回扣】1.求数列的通项公式的常见类型和解法：(1)观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.(2)累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+L =1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++L ，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数(3)累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯L =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯L ，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数(4)构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+(其中p 是常数)型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.(5)利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项：对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2.数列求和的主要方法：(1)分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n 和公式求前n 项和.(2)拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式: ①若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则11n n a a +=1111()n n d a a +=-②n a 1n n ++1n n +(3)倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想(4)错位相减法：若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S =112233n n a b a b a b a b ++++L L= 211121311n n a b a b q a b q a b q -++++L L ①，两边同乘以公比q 得n qS =231121311n n a b q a b q a b q a b q ++++L L ② ，①式与②式错位相减得(1)n q S -= 221111211131211111()()()n n n n n n a b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q ---+-+-++--L L =21111(1)n n n a b d q q q a b q -++++-L L ，转化为等比数列211,,,,n q q q -L L ，的前n 项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.(5)并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．【易错点提醒】1.已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．7．裂项相消法求和时，一注意分裂前后的值要相等，如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12)111(+-n n ；二注意要注意消去了哪些项，保留了哪些项.学=科网8．通项中含有(－1)n 的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．【主题考向】考向一 等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式【解决法宝】对等差数列、等比数列基本量问题，利用等差数列、等比数列通项公式、性质、前n 项和公式列出关于首项、公差(公比)的方程组，解出首项、公差(公比)即可解决问题.例1【2020届福建省福州适应性练习】已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=. (1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和.【分析】(1)根据等差数列的定义，可得{}n b 是等差数列，进而求出通项公式；(2)由已知求出{}n c 的通项公式，根据通项公式的特征分组求和，转化为求等差数列和等比数列的前n 项和. 【解析】(1)因为nn a b n=且()()1121n n na n a n n +-+=+， 所以1121n nn n a a b b n n++-=-=+， 又因为112b a ==，所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以()2212n b n n =+-=.(2)由(1)及题设得，224n n n c n n =-=-，所以数列{}n c 的前n 项和()()()1241424nn S n =-+-+⋅⋅⋅+-()()1244412n n =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()1444142n n n +-⨯=-- 1244323n n n ++=--. 考向二 已知递推公式求数列的通项公式【解决法宝】求数列的通项公式的常见类型和解法：(1)观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.(2)累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+L =1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++L ，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数(3)累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n n a f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯L =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯L ，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数(4)构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+(其中p 是常数)型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.学科-网(5)利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项：对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.例2【2020江苏如皋期初考】已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：2n n n b a a +=-，1232n n n n c a a a ++=++． (1)若{}n b 是等差数列，且公差1121d b a a ====，求数列{}n c 的通项公式n c ；(2)若{}n b 、{}n c 均是等差数列，且数列{}n c 的公差136d a ==，119c =，求数列{}n a 的通项公式． 【分析】(1){}n b 是等差数列，且公差11d b ==，2n n n b a a +=-，所以2n n a a n +-=，由1232n n n n c a a a ++=++，进而算出132n n c c n +-=+，利用累加法，即可求出数列{}n c 的通项公式n c ；(2)因为{}n c 是等差数列，且数列{}n c 的公差6d =，119c =，所以1232613n n n n c a a a n ++=++=+，得出112332619n n n n c a a a n ++++=++=+，根据题意，进而求出126n n b b ++=，可得出{}n b 的首项和公差，求得2n b =，所以22n n a a +-=，分类讨论n 为奇数和偶数时，求出数列{}n a 的通项公式． 【解析】(1)因为{}n b 是等差数列，且公差11d b ==，2n n n b a a +=-，所以2n n a a n +-=，所以311n n a a n ++-=+，32a =，18c =，因为()1123123232n n n n n n n n c c a a a a a a ++++++-=++-++， 即：()1312232n n n n n n c c a a a a n ++++-=-+-=+， 所以21312c c -=⨯+，32322c c -=⨯+，…()1312n n c c n --=⨯-+，()2n ≥， 上面1n -式子相加得：()()()113121213222n n n c c n n n --=⨯+++-+-=⨯+-…，所以()2316222nc n n n =++≥， 当1n -时也满足上面{}n c 的通项，综上：数列{}n c 的通项公式231622n c n n =++，(2)因为{}n c 是等差数列，且数列{}n c 的公差6d =，119c =， 所以1232613n n n n c a a a n ++=++=+①，112332619n n n n c a a a n ++++=++=+②，-②①得：()31226n n n n a a a a +++-+-=，即126n n b b ++=，所以2126b b +=，3226b b +=，因为{}n b 是等差数列，设等差数列{}n b 的公差为d '， 所以1326b d '+=，1356b d '+=，由此解得：12b =，0d '=， 所以2n b =，满足126n n b b ++=，即22n n a a +-=，因为11233219c a a a =++=，所以()22322219a +++=，所以23a =，①当()*21n k k =-∈N 时，()212212k a k k -=+-=，所以1n a n =+，②当()*2n k k =∈N 时，()232121k a k k =+-=+，所以1n a n =+，综上：数列{}n a 的通项公式1n a n =+. 考向三 数列求和【解决法宝】数列求和的主要方法：(1)分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n 和公式求前n 项和.(2)拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式: ①若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则11n n a a +=1111()n n d a a +=-②n a 1n n ++1n n +(3)倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想(4)错位相减法：若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S =112233n n a b a b a b a b ++++L L= 211121311n n a b a b q a b q a b q -++++L L ①，两边同乘以公比q 得n qS =231121311n n a b q a b q a b q a b q ++++L L ② ，①式与②式错位相减得(1)n q S -=221111211131211111()()()n n n n n n a b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q ---+-+-++--L L =21111(1)n n n a b d q q q a b q -++++-L L ，转化为等比数列211,,,,n q q q -L L ，的前n 项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.（5）并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．例3【2020届百校联考百日冲刺金卷(三)】已知正项等比数列{}n a 满足12a =，23732a a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，22n b n =-. (1)求{}n a 的通项公式与n S ； (2)设11n n n c a S +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【分析】(1)根据等比数列通项公式和等差数列前n 项和公式，即可求得答案； (2)因为111112n n n n c a S n n +=+=+-+，根据等比数列前n 项和公式和“裂项相消”求和，即可求得答案. 【解析】(1)Q 正项等比数列{}n a 满足.12a =.，23732a a =∴12a =，22532a =，可得532a =，2q ∴=， ∴2n n a =，Q 22n b n =-，数列{}n b 为公差2，首项为0的等差数列，2(022)2n n n S n n +-∴==-.(2)Q 11n n n c a S +=+∴11122(1)111n n n n n c a S n n n n +=+=++-=++∴()12121111111211222311n n n T n n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 例4【2020届山西省运城一模】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*11911,02,,6n n n a n a a n S n N +--=->≥=∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足1234,b a b a ==(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式； (2)若1,2n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T 【分析】(1)由21916+--=n n a n S 化为21691n n a S n +=++，利用数列的通项公式和前n 项和的关系，得到{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列求解.(2)由(1)得到()1342-=-⋅n n c n ，再利用错位相减法求解.【解析】(1)21916+--=Q n n a n S 可以化为21691n n a S n +=++，()216911n n a S n -∴=+-+， ()221692n n n a a a n +∴-=+≥，()2213n n a a +∴=+，又2n ≥Q 时，0n a >()132n n a a n +∴=+≥∴数列{}n a 从2a 开始成等差数列，11a =-Q ，代入21916n n a n S +--=得2212,3a a a =∴-={}n a ∴是首项为1，公差为3的等差数列，34n a n ∴=-，12342,8,2n n b a b a b =====Q .(2)由(1)得()1342-=-⋅n n c n ，()0111222?··342-=-⋅+⋅++-⋅n n T n ，()1221222?··342=-⋅+⋅++-⋅n n T n ，∴两式相减得()()1211322?··2342--=-++++--⋅n n n T n ， ()()11621342-=-+---⋅n n n ，()3727∴=-⋅+n n T n .例5．【2020届慕华优策第一次联考】已知各项为正数的数列{}n a ，前n 项和为n S ，且11a =，21(n n S S -=(2,n n N ∈…). (1)证明：数列为等差数列，并求出数列{}n a 通项公式na；(2)设11n n n b a a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【分析】(1)根据所给条件式，变形后由等差数列定义即可证明数列为等差数列，由等差数列通项公式即可求得{}n S ，再根据1n n n a S S -=-即可求得数列{}n a 通项公式；(2)表示出数列{}n b 的通项公式，结合裂项求合法即可求得数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】(1)证明：各项为正数的数列{}n a，221)n S ==，1=，2n ≥，即数列为等差数列是首项为1，公差为1的等差数列.()111n n =+-⨯=，即2n S n =，1n =符合，所以221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-.1n =也符合该通项公式，故21n a n =-. (2)111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭11111111121335572121n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭L11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 考向四 数列与不等式等知识的交汇【解题法宝】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视； (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.例6 【2020届全国大联考第六次联考】设数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且32a =，954S =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)13⋅⋅⋅+>. 【分析】(1)设数列{}n a 的公差为d ，由95954S a ==，得到56a =，再结合题干所给数据得到公差d ，即可求得数列的通项公式； (2)由(1)=，再利用放缩法证明不等式即可； 【解析】(1)设数列{}n a 的公差为d ，∵95954S a ==，∴56a =， ∴53253a a d -==-，∴3(3)24n a a n d n =+-=-. (2)=>=L1)>++⋅⋅⋅+114113=>-=，13>L .【主题集训】1．【2020湖湘名校3月线上检测】设数列{}n a 满足：11a =，且112n n n a a a +-=+(2n ≥)，3412a a +=. (1)求{}n a 的通项公式： (2)求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【解析】(1)由112n n n a a a +-=+(2n ≥)可知数列{}n a 是等差数列,设公差为d , 因为11a =,所以34112312a a a d a d +=+++=,解得2d =, 所以{}n a 的通项公式为:21n a n =-(*n N ∈);(2)由(1)知211111(21)(23)42123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和:1111111114537592123n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111432123n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 113(21)(23)n n n +=-++. 2.【2020河北省石家庄二中质量检测】已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ≥，n *∈N 时，()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令*nn na c n Nb =∈，，证明：12...2n c c c +++<. 【解析】(1)数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a = 设数列的首项为1a ，公差为d ，则：1112335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩，所以()11n a n n =+-=.因为()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+①所以当2,n n N *≥∈ 时，()1122111...242n n n a b a b a b n b ---+++=-+.②①﹣②得：()()12224n n n n a b n b n b -=---，由于n a n =，整理得12nn b b -=(常数). 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.所以1222n n n b -=⨯=.证明：(2)由(1)得2n n n n a nc b ==.所以212 (222)n n n T =+++①， 故231112 (2222)n n nT +=+++②①﹣②得： 23111111111122 (112222222212)n n n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-==---.所以112222n n n nT -=--<.即12...2n c c c +++<.3.【2020届河省新乡二中第四次月考】在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.(1)求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； (2)若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【解析】(1)依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =, 故111222n n nn b b q --==⨯=,又由122n a n +=,得1n a n =-.(2)依题意1(1)2n n c n -=-⨯.01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①则12312021222(2)2(1)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2nn S n =+-⨯.4.【2019届湖南省郴州市二质监】已知数列和满足，若数列为等比数列，且，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】(1)∵，∴∴，当时，∴令则设的公比为∴，又由题可知∴∵数列为等比数列，∴∴故,(2)，设数列和的前项和分别为和，则 ∴,∴，∴，故5.【2020福建3月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n S a n +-=-.(1)求证：12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； (2)若4n n b =，求数列{}4n n a b 的前n 项和n T .【解析】(1)121n n S a n +-=-Q ，∴当2n ≥时，122n n S a n --=-， 两式作差得：121n n n a a a +-+=，即131n n a a +=-，111322n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 当1n =时，1220S a -=，即2122a a ==，2111322a a ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 满足111322n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 又11122a -=，∴数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，3为公比的等比数列.(2)由(1)知：111322n n a --=⋅，()11312n n a -∴=+， ()114231481224n n n n n n a b --∴=+⋅=⋅+⋅，()()0111281212122444n n n T -∴=⨯++⋅⋅⋅++⨯++⋅⋅⋅+()()()41481218411128211214113nnn n----=⨯+⨯=+--. 6.【2019届山东省第一次大联考】已知数列，，且满足.(1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和.【解析】(1)①当为奇数时，.②当为偶数时，.综上，.(2)∵.7.【2020福建省福清3月线上检测】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n a S -= (1)求n a ；(2)若数列{}n b 满足14nn n n a b S S +=(*n N ∈)，求{}n b 的前n 项和n T .【解析】当1n =时，1122a S -=，故12a = 由22n n a S -=①得1122n n a S ---=(2n ≥)②①-②得，()11220n n n n a a S S -----=，即1220n n n a a a ---= 整理得12n n a a -=(2n ≥)故{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n nn a -=⨯=，(2)由(1)得，()12122212n n nS +-==--()()()()112142211212122222121n n n n n n n n n b ++++⨯===------- 故1212231111111212121212121n n n n T b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 11121n +=--8.【2019届黑龙江省齐齐哈尔市二模】已知等差数列的前项和为，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，求满足的最小的值.【解析】(1)设等差数列的公差为，由得，，由，，成等比数列 得且，∴， ∴，，∴等差数列的通项公式为.(2)∵，∴，∴，由得，，∴的最小值为14.9.【2020届江西省吉安期末】数列{}n a 是首项为1，公差不为0的等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且12b =，1213n n S S +=+()*n ∈N . (1)求n a ，n b ；(2)若n n n c a b =⋅，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：9n T <. 【解析】(1)设数列{}n a 的公差为d ()0d ≠， 由1a ，2a ，5a 成等比数列得2(1)1(14)d d +=⨯+，解得0d =(舍去)或2d =， 则21n a n =-，因12b =，1213n n S S +=+， 当1n =时，121213b b b +=+，解得213b =，当2n ≥时，1312n n S S -+=，有()1123n n n n S S S S +--=-，即123n n b b +=(2)n ≥又2123b b ≠，则22,112,233n n n b n -=⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)由(1)得22,1212,233n n n c n n -=⎧⎪=⎨-⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则32352232212213333333n n n n n T ----⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L ，两边乘以23， 得221242522322121333333333n n n n n T ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，两式相减，得221142222212333333333n n n n T --⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ， 22122133152122333313n n n n T --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-⋅ ⎪⎝⎭-，112523333n n n T -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，整理得129(25)3n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，所以129(25)93n n T n -⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭得证.10.【2019届贵州省凯里一中模拟(二)】在等差数列中，已知.(I)求数列的通项公式；(II)记为数列的前项和，求的最小值.【解析】(Ⅰ)由得，由，得，即数列的通项公式为.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，，令，,当；当则在上单调递减，在上单调递增，又，当或时，，取到最小值，即的最小值为.11.【2020江苏省南通市海安市3月月考】已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n nn n na a S a a ++=-,n *∈N .(1)求2a ,3a 的值;(2)求证：数列{}n a 为等差数列；(3)设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=，求证：111nn i ia b =≥∑. 【解析】(1)令1n =得,211212a a S a a =-,又11a =,解得22a =;令2n =得,122322a a S a a =-,即()1123222a a a a +=-,从而33a =.(2)因为112n n n n na a S a a ++=- ①;所以1112(2)n n n n n a a S n a a ---=≥- ② ①-②得,11112n n n n n n n n n a a a aa a a a a +-+-=---.因为数列{}n a 的各项均为正数,所以0n a >.从而11112n n n n n n a a a a a a +-+-=---.去分母得,()()()()1111112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +----+--=---化简并整理得,21120n n n n n a a a a a +--+=,即112(2)n n n a a a n --=+≥,所以11(2)n n n n a a a a n +--=-≥.所以数列{}n a 为等差数列.(3)由(2)知,1n n b b n += ③.当1n =时,211b b =,又11b =,所以21b =. 由③知,11(2)n n b b n n -=-≥ ④.③-④得,111(2)n n n n b b b b n +--=≥ 即()111(2)n n n b b b n +--=≥,依题意,0n b ≠,所以111(2)n n nb b n b +-=-≥. 当2n ≥时,112311111ni inbb b b b ==++++∑L 31425321111n n n n b b b b b b b b b b b -+-=+-+-+-++-+-L 12111n n b b b b b +=--++ 121n n b b +≥-21n a =-,当1n =时,111b ≥,原不等式也成立.综上得,1121nn i ia b =≥-∑.12.【2019届天津市十二重点中学联考(一)】设等比数列的前项和为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．【解析】(1)设等比数列公比为,由,，，，或,当时，，当时，.(2),, 当时，,,当时，,,,-得, ,所以，.13.【2020届内蒙古赤峰二中三模】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2,0n S An Bn C A =++≠.(Ⅰ)当2A =、0C =，且210a =-时，求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设{}n a 的各项均为负实数，当1336,9a a =-=-时，求实数A 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S An Bn C =++，若2A =、0C =，2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)(1)An Bn C A n B n C =++-----2()An B A =+-4(2)n B =+-可得28(2)10a B =+-=- ∴16B =-，则418n a n =-， 当1n =时，可得1114a S ==-； 则*418,n a n n N =-∈. (Ⅱ)设{}n a 的各项均为负实数， 由(Ⅰ)知，当2n ≥时，12()n n n a S S An B A -=-=+-∴36()59a A B A A B =+-=+=- ∴59B A =--∴12()n n n a S S An B A -=-=+- ∴269n a An A =--若{}n a 的各项均为负实数，则0A <，且269n a An A =--在2n ≥递减，只须20a <即可，∴92A >-故实数A 的取值范围为902A -<<. 14.【2019届河北省衡水中学一调】已知数列的前项和满足，.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的前100项中，是否存在两项，(，且)，使得，，三项成等比数列？若存在，求出所有的，的取值；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)因为，所以，所以，所以. 当时，.又，所以.(2)若，，三项成等比数列，则，即，即.因为，所以，所以，所以.又为3的奇数倍，所以，验证得，，.15．【2020吉林省吉林第二次调研】已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =，且223,2,a S a 成等差数列. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足2log n n b a =，求2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-的值.【解析】(1)∵{}n a 是等比数列，且223,2,a S a 成等差数列∴2234S a a =+，即()211114a a q a q a q +=+∴244q q q +=+，解得：1q =-或4q =∵0q >，∴4q = ∵12a = ∴()121*242n n n a n N --=⋅=∈(2)∵2log 21n n b a n ==-∴2222221357197199-+-+⋅⋅⋅+-()()()()()()13135757197199197199=-++-++⋅⋅⋅+-+ ()()21357199=-++++⋅⋅⋅+ 119921002+=-⋅⋅ 20000=-16.【2019届湖南省衡阳市第二次联考】已知数列，满足，，，.(1)证明：数列，为等比数列；(2)记为数列的前项和，证明：.【解析】(1)依题：，两式相加得：，∴为等比数列，两式相减得：，∴为等比数列.（2）由上可得：①，②，两式相加得：，.17．【2020河南省郑州第二次质量预测】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若12111n n T S S S =+++L ，证明：34n T <. 【解析】(Ⅰ)∵数列{}n a 为等差数列，且2822a a +=，()5281112a a a ∴=+=． ∵4712,,a a a 成等比数列，∴27412a a a =⋅，即()()()211211117d d d +=-⋅+， 又0,d ≠ ∴2d =，∴111423a =-⨯=，∴()()32121*n a n n n N =+-=+∈. (2)证明：由(1)得()()122n n n a a S n n +==+， ∴()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． ∴12111n nT S S S =+++L 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭．∴34n T <． 18．【2019届安徽省六安市一中模拟(四)】已知分别为的三内角A ，B ，C 的对边，其面积，在等差数列中，，公差．数列的前n 项和为，且．(1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n 项和． 【解析】(1)S ac sin B ac •，∴ac ＝4，又，＝，∴，∴b ＝2， 从而＝⇒∴,故可得：，∴＝2+2(n ﹣1)＝2n ；∵，∴当n ＝1时，， 当n ≥2时，，两式相减，得，(n ≥2)∴数列{}为等比数列， ∴．(2)由(1)得，∴＝• +•+…+• ＝1×21+2×21+3×21+…+，∴2＝1×22+2×23+3×24+…+n2n +1， ∴﹣＝1×21+(22+23+…+2n )﹣n2n +1， 即：﹣＝(1-n)2n +1-2， ∴＝(n ﹣1)2n +1+2.19．【2020届浙江宁波鄞州中学下期初考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()221n n S n a =+-，*n N ∈.(1)证明：11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，并求n a ；(2)令2sin2n nn a b a π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】(1)因为()()221n n S n a =+- ①， 当2n ≥时，()()11211n n S n a --=+- ②，①-②得，()()12211n n n a n a n a -=+-+-，即()111n n na n a --+=，同除()1n n +得，()1111111n n a a n n n n n n --==-+++， 整理得1111n n a a n n -++=+，所以11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列.因为()()112121S a =+-，所以13a =， 则111212n a a n ++==+，所以21n a n =+. (2)由(Ⅰ)得1222121n nn a +=⋅+=+，所以()()()112121sin21sin 22n n n n b n πππ+++⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则()1*1*21,2,21,21,n n n n k k N b n k k N++⎧+=∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩， ①当2n k =，*k N ∈时，()()()()()23412121212121n n n T +=--++-++⋅⋅⋅+--++23451222222n n +=-+-++⋅⋅⋅-+()244222213n n=++⋅⋅⋅+=-， ②当21n k =-，*k N ∈时，()()21211427212133n n n n n n T T b ++++++=-=--+=-， 综上，()*2*421,2,327,21,3nn n n k k N T n k k N +⎧-=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩. 20．【2019届安徽省宣城市八校期末】设递增数列满足，、、成等比数列，且对任意，函数满足.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若数列的前项和为，，数列的前项和为，证明：.【解析】(Ⅰ)因为，所以，又，所以，即，因此是以为首项的等差数列；设数列的公差为，则，因为、、成等比数列，所以，即，解得，所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，所以，因此.又因为当时，，所以，故.。