第六章 第一节 圆的基本性质
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第六章 圆
圆的有关概念及其性质
1．圆的概念
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做
，定长
叫做
；
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点
的连线叫做半径．
2．圆的有关概念
(1)连接圆上任意两点的
叫做弦．
(2)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
田面积所用的经验公式是：弧田面积＝12(弦×矢＋矢 2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如
图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，
运用垂径定理(当半径 OC⊥弦 AB 时，OC 平分 AB)可以求解．现已知弦 AB＝8 米，半径等
于 5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为
．
3
利用圆、角、弧、弦之间的联系解题时忽略前提条件 利用圆心角、弧、弦之间的关系解题时，其前提条件是在同圆或等圆中，即(1)在同圆 或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．(2)在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．切记 前提条件是在同圆或等圆中．
1．(2019·宁波二模)如图，圆形纸片⊙O 半径为 5，先在其内剪出 2 个边长相等的最大正方 形，再在剩余部分剪出 2 个边长相等的最大正方形，4 个正方形面积总和为 ．
《九章算术》——圆材埋壁
1．(2019·广西)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古
希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．
中顶部圆弧 AB 的圆心 O1 在竖直边缘 AD 上，另一条圆弧 BC 的圆心 O2 在水平边缘 DC 的
延长线上，其圆心角为 90°，BE⊥AD 于点 E，则根据所标示的尺寸(单位：cm)可求出弧
AB 所在圆的半径 AO1 的长度为
cm.
圆周角定理在圆中的应用
圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度数进行转换，怎么转换需要根据题目的
平方米．
4
与圆相关的计算
（2019 年安徽 13-5 分）如图，△ ABC 内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB 于点
D.若⊙O 的半径为 2，则 CD 的长为
.
（2019 年安徽 19-10 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1，明朝科学家徐 光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理如图 2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴 心 O 为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 AB 的长为 6 米，∠OAB=41.3°， 若点 C 为运行轨道的最高点(C，O 的连线垂直于 AB)，求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. (参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)
垂径定理及推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径
这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．推论 1：
(1)平分弦(
)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过
，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3．推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧
(3)半径相等的两个圆是等圆．
(4)在同圆或等圆中，能够互相
的弧叫做等弧．
3．圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，经过圆心的
都是它的对称轴；
(2)圆是以 为对称中心的中心对称图形．
1.因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆 的对称轴是直径所在的直线”或“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”． 2．圆的对称轴有无数条． 4．圆的旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不 变性．
利用垂径定理进行证明或计算，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形
求解．由于圆中一条弦所对的弧有两条并且圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情
况(两弦在圆心的同侧或异侧)，所以利用垂径定理计算时，要特别注意不要漏解．
已知⊙O 的半径为 5，弦 AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则 AB 和 CD 的距离为
径为 r、弦长为 a、弦心距为 d，弓形高为 h，则a22＋d2＝r2，h＝r－d，这两个等式是关于
四个量 r，a，d，h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量．
2
(2019·保定一模)小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见的大雨，于是他向爸爸
提议给窗户安上遮雨罩．如图 1 所示的是他了解的一款遮雨罩，它的侧面如图 2 所示，其
，∠B＋∠D＝180°.
2．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的
，如图，∠DCE＝∠A.
利用垂径定理解决问题 圆中与弦有关的计算可通过连接半径和圆心到弦中点的垂线段，把问题转化为解 直角三角形的问题来解决，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常结合起来使 用．一般地，求解时将已知条件集中在一个直角三角形中，这个直角三角形的斜 边是圆的半径，一条直角边是弦心距，另一条直线是弦的一半．如图，设圆的半
的角叫
做圆周角．
2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角的度数等于它所对
的度数的一半．
3．圆周角定理的推论：
(1)同弧或等弧所对的圆周角
．
(2)同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧是 90°，90°的圆周角所对的弦是
．
圆内接四边形
1．圆内接四边形的对角
，如图，∠A＋∠BCD＝
在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯
道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口
深为 1 寸，锯道 AB＝1 尺(1 尺＝10 寸)，则该圆材的直径为
寸．
《九章算术》——方田
2．(2019·湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧
．
1
圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
，所对的弦相等，所对弦的弦
心距相等．
2．推论 1：同圆或等圆中，(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有
一项成立，则其余对应的两项也成立．
3．推论 2：弧的度数等于它所对
的度数．
圆心角与圆周角
1．概念：顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆周上，角的两边和圆都
要求来确定；同圆的半径相等，有时还需要连接半径，用它来构造等腰三角形，有了等腰
三角形，再利用“等边对等角”及“三线合一”来进行证明和计算．
(2019·长沙一模)如图，⊙O 的半径为 2，点 A 为⊙O 上一点，如果∠BAC＝60°，
OD⊥弦 BC 于点 D，那么 OD 的长是
．
在没有给出图形的题目中容易漏解
圆的有关概念及其性质
1．圆的概念
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做
，定长
叫做
；
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点
的连线叫做半径．
2．圆的有关概念
(1)连接圆上任意两点的
叫做弦．
(2)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
田面积所用的经验公式是：弧田面积＝12(弦×矢＋矢 2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如
图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，
运用垂径定理(当半径 OC⊥弦 AB 时，OC 平分 AB)可以求解．现已知弦 AB＝8 米，半径等
于 5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为
．
3
利用圆、角、弧、弦之间的联系解题时忽略前提条件 利用圆心角、弧、弦之间的关系解题时，其前提条件是在同圆或等圆中，即(1)在同圆 或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．(2)在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．切记 前提条件是在同圆或等圆中．
1．(2019·宁波二模)如图，圆形纸片⊙O 半径为 5，先在其内剪出 2 个边长相等的最大正方 形，再在剩余部分剪出 2 个边长相等的最大正方形，4 个正方形面积总和为 ．
《九章算术》——圆材埋壁
1．(2019·广西)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古
希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．
中顶部圆弧 AB 的圆心 O1 在竖直边缘 AD 上，另一条圆弧 BC 的圆心 O2 在水平边缘 DC 的
延长线上，其圆心角为 90°，BE⊥AD 于点 E，则根据所标示的尺寸(单位：cm)可求出弧
AB 所在圆的半径 AO1 的长度为
cm.
圆周角定理在圆中的应用
圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度数进行转换，怎么转换需要根据题目的
平方米．
4
与圆相关的计算
（2019 年安徽 13-5 分）如图，△ ABC 内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB 于点
D.若⊙O 的半径为 2，则 CD 的长为
.
（2019 年安徽 19-10 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1，明朝科学家徐 光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理如图 2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴 心 O 为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 AB 的长为 6 米，∠OAB=41.3°， 若点 C 为运行轨道的最高点(C，O 的连线垂直于 AB)，求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. (参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)
垂径定理及推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径
这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．推论 1：
(1)平分弦(
)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过
，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
3．推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧
(3)半径相等的两个圆是等圆．
(4)在同圆或等圆中，能够互相
的弧叫做等弧．
3．圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，经过圆心的
都是它的对称轴；
(2)圆是以 为对称中心的中心对称图形．
1.因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆 的对称轴是直径所在的直线”或“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”． 2．圆的对称轴有无数条． 4．圆的旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不 变性．
利用垂径定理进行证明或计算，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形
求解．由于圆中一条弦所对的弧有两条并且圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情
况(两弦在圆心的同侧或异侧)，所以利用垂径定理计算时，要特别注意不要漏解．
已知⊙O 的半径为 5，弦 AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则 AB 和 CD 的距离为
径为 r、弦长为 a、弦心距为 d，弓形高为 h，则a22＋d2＝r2，h＝r－d，这两个等式是关于
四个量 r，a，d，h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量．
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(2019·保定一模)小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见的大雨，于是他向爸爸
提议给窗户安上遮雨罩．如图 1 所示的是他了解的一款遮雨罩，它的侧面如图 2 所示，其
，∠B＋∠D＝180°.
2．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的
，如图，∠DCE＝∠A.
利用垂径定理解决问题 圆中与弦有关的计算可通过连接半径和圆心到弦中点的垂线段，把问题转化为解 直角三角形的问题来解决，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常结合起来使 用．一般地，求解时将已知条件集中在一个直角三角形中，这个直角三角形的斜 边是圆的半径，一条直角边是弦心距，另一条直线是弦的一半．如图，设圆的半
的角叫
做圆周角．
2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角的度数等于它所对
的度数的一半．
3．圆周角定理的推论：
(1)同弧或等弧所对的圆周角
．
(2)同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧是 90°，90°的圆周角所对的弦是
．
圆内接四边形
1．圆内接四边形的对角
，如图，∠A＋∠BCD＝
在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯
道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口
深为 1 寸，锯道 AB＝1 尺(1 尺＝10 寸)，则该圆材的直径为
寸．
《九章算术》——方田
2．(2019·湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧
．
1
圆心角、弧、弦之间的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
，所对的弦相等，所对弦的弦
心距相等．
2．推论 1：同圆或等圆中，(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有
一项成立，则其余对应的两项也成立．
3．推论 2：弧的度数等于它所对
的度数．
圆心角与圆周角
1．概念：顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆周上，角的两边和圆都
要求来确定；同圆的半径相等，有时还需要连接半径，用它来构造等腰三角形，有了等腰
三角形，再利用“等边对等角”及“三线合一”来进行证明和计算．
(2019·长沙一模)如图，⊙O 的半径为 2，点 A 为⊙O 上一点，如果∠BAC＝60°，
OD⊥弦 BC 于点 D，那么 OD 的长是
．
在没有给出图形的题目中容易漏解