D43不定积分的分部积分法.ppt

作业
P210 4 , 5 , 9 , 14 , 18 , 20 , 21 , 22
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题. 求不定积分
解：方法1 (先分部 , 再换元)
d (ex 1) 令 u ex 1, 则
u2 11 4
4(u arctanu) C
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再令 u cos x , v ex , 则 u sin x , v ex
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
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解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三”
)
x arccos x 1 x2 C
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例6. 求
解:
令
u
ln cos
x,
v
1 cos2
x
,则
u tan x, v tan x
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
et sin t et cos t d t
sin t cos t sin t
et
et
et
et (sin t cost) I I 1 et (sin t cost) C
2
可用表格法求 多次分部积分
1 x[sin(ln x) cos(ln x)] C 2
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例14. 求
解: 令 u ln x, 则 x eu , dx eu d u
原式 e3u u4 eu d u u4e4u d u
u4 4u3
e4u
1 4
e4u
12u2
1 42
e4u
24 u
1 43
e
4u
24
1 44
e4u
0
1 45
e4u
原式
=
1 e4u u4
4
u3
3u2 3u 48
∴ 原式 xsin x sin x dx
xsin x cos x C
思考: 如何求
提示: 令 u x2 , v sin x, 则
原式
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例2. 求 x ln x dx.
解: 令 u ln x , v x
则 u 1 , v 1 x2
x
2
原式 = 1 x2 ln x 1 x dx
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u v
后 3. 题目类型 :
分部化简 ; 循环解出;
4. 计算格式 : u u
v
v
递推公式
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例13. 求 I sin ( ln x) dx
解: 令
则 x et , d x et dt
I et sin t d t
例11. 已知
的一个原函数是
求
解: x f (x) dx x d f (x)
x f (x) f (x)dx
x cos x cos x C
x
x
sin x 2 cos x C
x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
x
f
( x)
dx
cos
x
2 sin x
x
2
cos x2
x
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
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2. 求
提示:
cos(ax b) a sin(ax b) a2 cos(ax b)
ek x
1 ek x k
1 k2
ek
x
对比 P354 公式(128) , (129)
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方法2 (先换元,再分部)
令 u ex 1, 则
故
2u ln(1 u2)
1 1
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第三节 分部积分法
第四章
由导数公式 (uv) uv uv
积分得: uv uvdx uvdx
uvdx uv uv dx 或 udv uv v du
分部积分公式
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
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例1. 求
解: 令 u x , v cos x , 则 u 1, v sin x
x , vx
x2a2
x2 a2 dx x x2 a2
x2 x2 a2
dx
x
x2 a2
(x2 a2 )a2 dx
x2 a2
x x2 a2
x2 a2 dx a2
dx x2 a2
∴
原式
=
1 2
x
x2 a2 a2 ln ( x 2
x2 a2 ) C
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d
x
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例12. 求 I
earctan x
(1
x2
)
3 2
dx.
解法1 先换元后分部
令 t arctan x, 即 x tan t , 则
I
et sec3
t
sec2
t
d
t
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t e t sin t e t cost e t cos t d t
3 32
C
1 x4 ln4 x ln3 x 3 ln2 x 3ln x 3 C
4
4
8 32
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思考与练习
1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
In2
注:
或
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说明: 分部积分题目的类型:
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,
解出积分后加 C )
例4
3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .
例4 目录 上页 下页 返回 结束
顺序, 前者为 u 后者为 v.
例5. 求
解: 令 u arccos x , v 1, 则
u 1 ,
1 x2
vx
的 反: 反三角函数
对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
原式 = x arccos x
x dx
1 x2
x
arccos
x
1 2
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
2
2
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
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例3. 求 x arctan x dx.
解: 令 u arctan x, v x
则
u
1
1 x
2
,
v 1 x2 2
∴ 原式 1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2
dx
1 x2 arctan x 1
1 x2 x
t
故 I 1 (sin t cost)e t C
1
2
1 2
x 1 x2
1 1
x2
e
arctan
x
C
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解法2 用分部积分法
I
1 d earctan x
1 x2
I earctan x dx
(1
x
2
)
3 2
1 1
x2
earctan x
x earctan x
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例7. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
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例8. 求
解: 令 u
x2 a2 , v 1, 则 u
2
2
(1
1
1 x
2
)
dx
1 x2 arctan x 1 (x arctan x) C
2
2
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例4. 求 ex sin x dx.
解: 令 u sin x , v ex , 则 u cos x , v ex
∴ 原式 ex sin x ex cos x dx
(x2
x a2)n
2 2
n n
1 a2
I
n
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递推公式
I n1
1 2na2
(x2
x a2)n
2 2
n n
1 a2
I
n
说明:
已知
I1
1 a
arctan
x a
C
利用递推公式可求得
In
.
例如,
I3
1 4a
2
(
x2
x a2)2
3 4a2
I2
1 4a2
(x2
x a2)2
例9. 求
解:
令
u
(
x
2
1 a
2
)n
,
v
1,
则
u
(
x2
2nx a2 )n1
,v
x
In
(x2
x a2)n
2n
(x2
x2 a2
)n1
dx
(x2
x a2)n
2n
(x2 a2) a2 (x2 a2 )n1
dx
(x2
x a2)n
2 n In 2 n a2In1
得递推公式
I n1
1 2na2
3 4a2
1 2a2
x2
x a2
1 2a2
I1
1 4a2
(x2
x a2
)2
3 8a4
x2
x
a2
3 8a5
arctan
x a
C
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例10. 证明递推公式
证: In tann2 x (sec2 x 1) dx
tann2 x d(tan x) In2
tann1 x n 1
(1
x
2
)
3 2
dx
1 earctan x 1 x2
x dearctan x 1 x2
1 earctan x (1 x) I
1 x2
I 1 x earctan x C 2 1 x2
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内容小结
分部积分公式 u vdx u v uv dx
1. 使用原则 : v易求出, uv dx易积分