高三数学易错数列多选题 易错题提优专项训练试题

高三数学易错数列多选题 易错题提优专项训练试题
一、数列多选题
1．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且
满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）
A ．101a << B
．11b <<
C ．22n n S T <
D ．22n n S T ≥
【答案】ABC 【分析】
利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】
因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，
所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，
所以2
1122b b b <=
，即1b <
又2
2234b b b <=，即21
2
2b b =
<， 所以11b >
，即11b <<，故B 正确；
{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
= 22(121)
2[13(21)]22
n n n n +-++⋅⋅⋅+-=
=，
因为12n n n b b +⋅=，则1
122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，
则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
=1101101122(222)(222)()(21)n n n
b b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-
1)1)n n
>-=-，
当n =1
时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时
假设当n=k
时，21)2k k ->
21)k k ->， 则当n=k +1
1121)21)21)2k k k k k ++-=
+-=->
2221(1)k k k >++=+
所以对于任意*n N ∈
，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】
本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ） A ．20200a >
B ．20210a <
C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅
D ．2019n =时，n T 取得最大值
【答案】ABC 【分析】
根据题设条件，得到2021202020212020201920200,0S S a S S a -=<-=>，进而求得
201920220a a >->，20192020a a >20212022a a ，再结合“裂项法”求得
12121112n n n T d a a a a ++⎫
⎛=
-⎪
⎝⎭
，结合0d <，即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，
20212019S S -=202120200a a +>，
即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->， 所以20192020a a >20212022a a ，0d <，即数列{}n a 递减， 且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <， 又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n b a a a ++==1
121112n n n n d a a a a +++⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则
122323341121211111111122n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a +++⎛⎫⎛=
-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪
⎝⎝⎭121n n a a ++⎫
⎪⎭
，由0d <，要使n T 取最大值，则121211n n a a a a ++⎛⎫
-
⎪⎝⎭
取得最小值，
显然
12
1
0n n a a ++>，而23a a >34201920202021202220222023a a a a a a a a >⋅⋅⋅>><<⋅⋅⋅， 所以当2020n =时，12
1211n n a a a a ++⎛⎫
-
⎪⎝⎭取得最小值. 综上可得，正确的选项为ABC. 故选：ABC. 【点睛】
本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项n a 和n S 的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
3．（多选题）数列{}n a 满足(
)
2
*
1n n n a a a n N
+=-+∈，110,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则以下说法正确的
为（ ） A ．10n n a a +<<
B ．2222
1231n a a a a a +++⋅⋅⋅+<
C ．对任意正数b ，都存在正整数m 使得
1231111
1111m
b a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立 D ．1
1
n a n <+ 【答案】ABCD
【分析】
对于A ，结合二次函数的特点可确定正误；
对于B ，将原式化简为111n a a a +-<，由10n a +>得到结果； 对于C ，结合1a 范围和A 中结论可确定12111
111n
n a a a ++⋅⋅⋅+>---，由此判断得到结果；
对于D ，利用数学归纳法可证得结论. 【详解】
对于A ，2
2
11124n n
n n a a a a +⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭，若10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则110,4n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
又110,
2a ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
，可知0n a >，10n a +>， 又2
10n n n a a a +-=-<，10n n a a +∴<<，A 正确； 对于B ，由已知得：2
1n n n a a a +=-，
()()()222
1212231111n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-<，B 正确；
对于C ，由110,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭及A 中结论得：1112n
a <-<，1121n
a <<-， 12111
111n
n a a a ∴
++⋅⋅⋅+>---，显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >，此时
1231111
1111m
b a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立，C 正确； 对于D ，（i ）当1n =时，由已知知：11
2
a <成立， （ii ）假设当(
)n k k N
*
=∈时，1
1
n
a
n <
+成立， 则2
2
2
111112411
n n n n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=-+=--+<-+ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭， 又()
()()2
21
111012121n n n n n -
+
-=-<+++++，即()2
111
12
1n n n -+<+++， 11
2
n a n +∴<
+， 综上所述：当n *∈N 时，11
2
n a n +<+，D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.
4．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n a a +-=，21n n n b a nb ⋅+=，且11a =，n S 是数列
{}n b 的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）
A ．m +∃∈N ，55m m a a a +=+
B ．n +∀∈N ，3331
4n a n +≥ C ．m +∃∈N ，16m b = D ．n +∀∈N ，
1
13
n S ≤< 【答案】BD 【分析】
用累加法得到22
2
n n n a -+=，代入21n n n b a nb ⋅+=，得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ；代入
33
n a n
+求最值可判断B ；
令1121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭
解出m 可判断C ；裂项相消后可求出n S 的范围可判断D. 【详解】
因为1n n n a a +-=，所以
211a a -= 322a a -=
11(2)n n n a a n -=-≥-
以上各式累加得
1121(1)2
n a a n n n =++
+-=
--，所以(1)
12n n n a -=
+，当1n =时，11a =成立， 所以2(1)2
122
n n n n a n --+=+=
，由21n n n b a nb ⋅+=，得112112(1)122
2(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫=
===- ⎪
+++++⎝-+⎭+，
对于A ，()()5
254922
12
2
m a m m m m ++++++=
=，25(1)5(51)24
11222
m a a m m m m -⨯--+=+++=
+ ， 当5
5m m a a a +=+时，222492222
m m m m -+++=
，得15m +=∉N ，A 错误； 对于B
，(1)
1(133
33343411)2222
2n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+， 当且仅当268n =取等号，因为n +∀∈N ，所以8n =时，8
3331
84
a +=， 所以B 正确；
对于C ，令1121612m b m m ⎛⎫=-=
⎪++⎝⎭
得，215308m m ++=
，解得m +
=
N ，所以C 错误；
对于D ， n +∀∈N ，1231111
1122334
12n S b b b n n ⎛⎫=++
+=-+-+
+
- ⎪++⎝⎭
1
12211222n n ⎛⎫=-=-< ⎪
++⎝⎭
，可以看出n S 是关于n 递增的，所以1n =时有最小值13，
所以
1
13n S ≤<，D 正确. 故选：BD. 【点睛】
本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出n a ，然后代入求出n b ，考查了学生的推理能力、计算能力.
5．某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．17
5
n n a a t +=
- C ．1n n a a +> D ．当400t =时，33800a >
【答案】BC 【分析】
先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】
第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-， 第二年底剩余资金211712
(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误； 第三年底剩余资金3227109(140%)5488525
t a a t a t =⨯+-=
-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17
(140%)5
n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确； 因为
212277777()()55555
n n n n a a t a t t a t t ---=
-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117
[1()]
75()(2800)7515
n n t t ---=---=
11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522
n t t --+，
所以
111722775277[()(2800)]()(2800)555522552
n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=
--=-=-+-=-，
因为800t <，所以7280002
t
->， 所以11277()(2800)0552
n n n t
a a -+-=
->，即1n n a a +>，故C 正确； 当400t =时，3109109400
54885488374438002525
t a ⨯=-=-=<，故D 错误； 故选：BC 【点睛】
解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题.
6．将()2
3n
n ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：
11a 12a 13a ……1n a
21a 22a 23a ……2n a 31a 32a 33a ……3n a
……
1n a 2n a 3n a ……nn a
该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为
S .下列结论正确的有（ ）
A ．2m =
B ．7
67132a =⨯
C ．()1
212
j ij a i -=+⨯
D ．()()
221n
S n n =+-
【答案】ACD 【分析】
由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D. 【详解】
由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或1
3
m =-（舍去），A 正确；
()666735132a m m =+=⨯，B 错误；
()()11
2132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦，C 正确；
()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++
1121(12)
(12)(12)121212
n n n nn a a a ---=++
+
--- ()()()11211332(1)21212n n
n n a a a n ++-⎛⎫=++
+-=⨯- ⎪⎝⎭
()()221n n n =+-，D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.
7．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（ ） A ．17 B ．18
C ．19
D ．20
【答案】BCD 【分析】
由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列21{3}k a -+是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对2k S 可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得2k S ，计算出与4000接近的和，184043S =，173021S =，从而可得结论． 【详解】
依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，
2122121212(1)123k k k k a a a a +--=+=++=+,∴()2121323k k a a +-+=+.
又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以
121423k k a --=⋅-，
故S 奇
()21321141232
(44242)43321k k k k k a a a k k -+-===
+⨯+
+⨯--+++-=---，
S 偶21232412()242k k k a a a k k a a a +-=+=++
+=+++
--，故2k S S =奇＋S 偶
3285k k +=--，
故12
1828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.
故选：BCD . 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和n S 接近4000时的项数n ，从而得出结论．
8．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}
F n ，则(){}
F n 的通项公式为（ ）
A ．(1)1()2
n n F n -+=
B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C ．(
)1122n n
F n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．(
)n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦
【答案】BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，
，
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ⎤+-
=--⎥⎣⎦
所以数列(
)()1F n n ⎧⎫⎪⎪
+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
是以12
为首项，12为公比的等比数列， 所以(
)(
)1n
F n n +-=⎝⎭
11515()n F F n n -+=+，
令
1
n
n n F b -=
⎝⎭
，则11n n b ++，
所以1n n b b +=-，
所以n b ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭
以
510
-
3
2-为公比的等比数列，
所以1
n n b -+， 所以(
)11
15n n n n
F n --⎤
⎤⎛⎫
+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦
； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
二、平面向量多选题
9．已知a ，b 是平面上夹角为
23
π
的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）
A ．||1a b +=
B ．||3a b -=
C ．||3<c
D ．a b +，c 的夹角是钝角
【答案】ABC 【分析】
在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23
AOB π
∠=
，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：(
)
2
222+2||+cos
13
a b a b
a b a b π
+=
+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23
AOB π
∠=
，则2
222+c 3
2os
3AB O OA O A O B B π
-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·
(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重
合）．设AB 中点是M ， c OC =
的最大值为13+3222+A b
B
O MC a M +==+<，故C 正确；
a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误．
故选：ABC ．
【点睛】
思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．
10．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ）
A ．||||a b =
B ．()a b a -∥
C ．()a b a -⊥
D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD
【分析】
根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果.
【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误； 对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；
对于D ，又2cos ,22a b
a b a b ⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为
π4
，故D 正确. 故选：CD.
【点睛】 关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.。