江西省上饶市横峰中学、铅山一中、弋阳一中2020-2021学年高二上学期开学联考数学试题(课改班)

姓名，年级：
时间：
2020—2021学年度上学期高二课改班开学联考
数学试卷
命题人：
一、选择题
1．设全集为R,集合{}02A x x =<<,{}1B x x =≥,则()A B =R （ ） A ．{}01x x <≤
B ．{}01x x <<
C ．{}12x x ≤<
D ．{}02x x <<
2．若直线1:320l x my +-=，2:280l x y ++=互相平行,则实数m 的值为（ ) A ．6-
B ．6
C ．32
D ．32
-
3．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的
x 取值范围是（ ) A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3]
4．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表：
得到正确结论是( )
A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B ．有99％以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C ．在犯错误的概率不超过0.5％的前提下,认为“学生性别与中学生追星无关"
D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关" 5．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2
π
π上为减函数的是（ ）
A ．sin 2y x =
B ．2|cos |y x =
C ．cos
2
x y = D ．tan()y x =-
6．从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（ ）
A.30个
B.27个
C.36个
D.60个
7．洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左
三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数。

如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（ ） A ．
1
10
B ．
320 C ．15
D ．3
10 8．在()8
311x x x ⎛- ⎝的展开式中，含21x 项的系数等于（ ）
A ．98
B ．42
C ．98-
D ．42-
9．若3
sin()45πα+=且(,)44
ππα∈-，则cos α的值为( ）
A 232C 52
7210．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于 （ ）
A ．34π
B ．32π
C ．17π
D ．
17
2
π 11．在平面直角坐标系xoy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =+上至少存在一点,使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ）
A ．43
-
B ．54
-
C ．
35 D ．53
- 12．已知数列 {}n a 满足：11a =,()
*1N 2
n
n n a a n a +=
∈+，若 ()1111,n n b n b a λλ+⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭
，且数列 {}n b 是单调递增数列，则实数 λ 的取值范围
是( ）
A ．()2,+∞
B ．(),2∞-
C ．()3,∞+
D ．(),3∞- 二、填空题
13．设变量满足约束条件12210
x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩
,则2
8y x z =的最小值
为 。

14．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示。

若向量a b λ+与c 共线，则实数λ= 。

15．已知函数()2,12ln ,1
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若方程()()()2
g x f x af x =+有5个零点，则a 的
取值范围是 。

16．如图,矩形ABCD 中，M 为BC 的中点,将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______。

①存在某个位置，使得CN AB ⊥； ②翻折过程中，CN 的长是定值； ③若AB BM =，则1AM B D ⊥；
④若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π。

三、解答题
16．已知数列{}n a 满足()()1231
2312112
n a a a na n n n ++++=
++。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足2n
n n
a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 17．设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ)在锐角ABC
∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若0,12A f a ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，求ABC
∆面积的最大值.
18．如图，四边形ABCD 为正方形， PD ⊥平面ABCD ，
2PD DC ==，点E ， F 分别为AD , PC 的中点．
（Ⅰ）证明： //DF 平面PBE ; (Ⅱ）求点F 到平面PBE 的距离．
19．美国2018年3月挑起“中美贸易争端”，剑指“中国制造2025”，中国有“缺芯"之痛.今有三个研究机构A 、B 、C 对某“AI 芯片”作技术攻关,一年内，A 能攻
克的概率是34
，B 能攻克的概率是23,C 能攻克的概率是1
2.
（1)求这一技术难题能被攻克的概率；
（2）现假设一年后这一技术难题已被攻克，上级决定奖励m 万元,规则如下:若只有一个机构攻克，则获得全部奖金；若有两个机构攻克，则奖金奖给这两个机构平分；若三个机构均攻克，则奖金奖给这三个机构平分。

设A 、B 两个机构得到的奖金数的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
20．已知圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ,直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A ，B ． （1）求实数k 的取值范围；
（2）设直线PA ,PB 的斜率分别是12,k k ，试问12k k +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；
21．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
（1）当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； （2)求不等式()2f x >的解集；
（3）若()4log f x m x <对于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围．
2020-2021学年度上学期高二课改班开学联考
数学试卷答案
一、 选择题
BBDBD ACDDA AB
二、 填空题
1
32，2,104
a -<<，②④ 三、解答题
17.解：（1）()()1231
2312112
n a a a na n n n +++
+=
++， ()()()()123123112112
1
2n a a a n a n n n n -∴+++
+-=
--≥, 两式作差,得()()()()2
1121121122n n na n n n n n =++---=⎡⎤⎣⎦， ()22n n a n ∴=
≥.当1n =时，112a =适合上式,2
n n
a ∴=。

（2)1
222n n n n n
b +==⋅， 2
341123222
2
n n n
S +∴=
++++
① 3412
112122222n n n n n
S ++-∴=+++
+ ② ①—②得：23122
111111142122222212
n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⋅⋅⋅⋅+-=--
21222n n ++=-, 1
2
12n n n S ++∴=-。

18. 1）1()sin 2,2f x x =-单调递增区间是,,44k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
，单调递增区间是
3,,44k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
19. （Ⅰ）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ， FG ，则//FG BC ，且1
2
FG BC =, ∵//DE BC 且1
2
DE BC =
， ∴//DE FG 且DE FG =， ∴四边形DEGF 为平行四边形, ∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．
（Ⅱ）解:由（Ⅰ)知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的,故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ．
利用等体积法: D PBE P BDE V V --=，即1
13
3
PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅， 112
BDE S DE AB ∆=⨯⨯=， ∵5PE BE == 23PB =6PBE S ∆，∴6d =． 20（
1)
32123
111143224P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(2）设C 机构得到的奖金数为X ，A 、B 两个机构得到的奖金数的和为ξ
m X ξ∴=-，而0,
,,m m
X m =； X
3
m 2m m
ξ m
23
m
2
m 0
321321321(1)(1)(1)(1)(1)
11432432432()2323
24
P m ξ⨯-⨯-+-⨯⨯-+⨯⨯-===，
32126432()2332324m P ξ⨯⨯===,321321(1)(1)5432432()2322324m P ξ-⨯⨯+⨯-⨯
===
321(1)(1)1432(0)232324
P ξ-⨯-⨯
==
= ∴ξ的分布列为：
∴15261135()023********
46
m m m E m ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= 21.解：∵圆221
O x y +=：与x 轴的正半轴交于点P ，
∴圆心00O (，
)，半径1r =，()10，P ． (1)∵直线30l kx y k --+=：与圆O 交于不同的两点,A B , ∴圆心O 到直线l 的距离1d =
<,
即3k -< ，解得4
3
k >． （2)设11(,)A x y ，22(,)B x y
联立22
301
kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩,可得2222(1)(26)680k x k k x k k +--+-+=， ∴2122261k k x x k -+=+,2122
68
1k k x x k
-+=+， ∴121212121212(1)3(1)333
2111111
y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=
+=+=++------ 2212222
12123(2)3[262(1)]
22()168(26)1x x k k k k k x x x x k k k k k +---+=+=+-++-+--++
1862
293
k k --=+
=-为定值． ∴12k k +是定值，定值为2
3-．
22. （1）令4log t x =，[]1,16x ∈,则[]0,2t ∈，
函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
,[]0,2t ∈，
则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在124⎛⎤
⎥⎝⎦
，
上单调递增， 所以当14t =时,y 取到最小值为98
-，当2t =时，y 取到最大值为5,
故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
（2）由题得()4412log 2log 202x x ⎛
⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4log t x =，
则()122202t t ⎛
⎫-+
-> ⎪⎝⎭
，即2
230t t -->, 解得32
t >或1t <-， 当32
t >时，即43
log 2
x >
，解得8x >, 当1t <-时，即4log 1x <-，解得104
x <<, 故不等式()2f x >的解集为1
{|04
x x <<
或8}x >. (3)由于()44412log 2log log 2x x m x ⎛
⎫-+< ⎪⎝
⎭对于[]4,16x ∈上恒成立，
令4log t x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈
即()1222t t mt ⎛⎫
-+< ⎪⎝⎭
在[]1,2t ∈上恒成立，
所以121m t t
>--在[]1,2t ∈上恒成立，
因为函数1y t
=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增，
江西省上饶市横峰中学、铅山一中、弋阳一中2020-2021学年高二上学期开学联考数学试题（课改班） Word版含答案
所以函数
1
21
y t
t
=--在[]
1,2上单调递增，它的最大值为
5
2
，
故
5
2
m>时，()4
log
f x m x
<对于[]
4,16
x∈恒成立．。