人教A版高中同步学考数学选修2精品课件 第二章 习题课——抛物线的综合问题及应用

解方法一:抛物线焦点为 F 2 ,0 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2).
5
若 AB⊥Ox,则|AB|=2p< p,所以直线 AB 的斜率存在,设直线 AB
2
的斜率为 k,则方程为 y=k

2
,k≠0.
= - 2 ,
由
消去 x,整理得 ky2-2py-kp2=0.
2 = 2,
x-y+m=0,
- + = 0,
由 2
得 y2-2y+2m=0,
= 2,
1
∵Δ=(-2)2-4×2m=0,∴m=2.
1
∴平行直线的方程为 x-y+2=0,此时点到直线的最短距离转化
1
为两平行线之间的距离,则 dmin=3-2
2
=
5 2,此时点 P 的坐标为 1,1
2
4
.
课堂篇探究学习
例1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,且经过点
M(2,y0),若点M到焦点的距离为3,则|OM|等于(
)
A.2 2
B.2 3
C.4
D.2 5
解析依题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0),由点 M 到焦点的距离

为 3 可得,点 M 到准线的距离也为 3,于是 2+2=3,解得 p=2,则 y2=4x,
(2)求证: ·是一个定值.
(1)解依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1).
设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
= 2(-1),
由 2 消去y整理得x2-3x+1=0,
= 4,
所以x1+x2=3,x1x2=1.
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.
弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,这种方法的实质是利用焦半径,把点
点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的定义
的重要应用.
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于
A,B两点.
(1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;
解方法一:设 P(x0,y0)是 y2=2x 上任意一点,
|0 -0 +3|
则点 P 到直线 l 的距离 d=
=
2
5 2
1
当 y0=1 时,dmin= 4 ,∴P 2,1
.
2
0
2 -0 +3
2
=
|(0 -1)2+5|
,
2 2
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探究一
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方法二:设与抛物线相切且与直线 x-y+3=0 平行的直线方程为
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探究一
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当堂检测
(2)证明设直线l的方程为x=ky+1,设直线l与抛物线的交点
A(x1,y1),B(x2,y2),
= + 1,
由 2
消去 x 整理得 y2-4ky-4=0,所以 y1+y2=4k,y1y2=-4.
= 4,
因为 ·=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2
是
.
解析抛物线的焦点为 F(3,0),准线 x=-3,抛物线上的点 P,满足

|PF|=9,设 P(x0,y0),则|PF|=x0+ =x0+3=9,所以 x0=6,于是 y0=±6 2.
2
答案(6,±6 2)
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
例2 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点
③A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即
2
x1x2= 4 ,y1y2=-p2;
1
1
2
④|| + || = ;
⑤以AB为直径的圆必与准线相切.
课前篇自主预习
【做一做1】 抛物线y2=8x上一点P到x轴距离为12,则点P到抛物
线焦点F的距离为(
)
A.20 B.8
C.22 D.24

解析设P(x0,12),则x0=18,所以|PF|=x0+ 2 =20.
=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=3,
所以 ·是一个定值.
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探究一
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探究三与抛物线有关的最值问题
例4 在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并
求出距离的最小值.
于是|AB|=x1+x2+p= p,x1+x2= p.
5
2
当 x1=x2 时,|AB|=2p< p,
所以直线 AB 与 Ox 不垂直.
设直线 AB 的方程为 y=k

2
.
2
= - 2 ,
1 2 2
( +2)
3
2
2
2
由
得 k x -p(k +2)x+4k p =0,x1+x2= 2 = 2p,解
(
)
A.(0,0)
B.(1, 2)
1
1
D. 8 ,- 2
解析如图所示,连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2最小值
是|MF|,当且仅当点P在线段MF上时,等号成立,而直线MF的方程为
4
y=3
1
- 2
C.(2,2)
,与 y2=2x,
联立求得 x=2,y=2 或
1
1
x=8,y=-2(舍去),习课——抛物线的综合问题及应用-1-
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用抛物线的定义解决
抛物线综合问题及应用
有关问题的方法.
抛物线定义的应用
2.掌握抛物线焦点弦问题的求
解方法.
抛物线焦点弦问题
3.掌握抛物线中的定点与定值
定点与定值问题
问题的方法.
课前篇自主预习
1.抛物线定义的应用
若抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,则点P到点F的距
抛物线 y2=2px(p>0),|PF|= 0 +
抛物线
抛物线
抛物线
课前篇自主预习
(2)抛物线的焦点弦
过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.若抛物线
y2=2px(p>0)的焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:
①|AB|=x1+x2+p;
②AB垂直于对称轴时,AB叫通径,焦点弦中通径最短;
A,B两点,则线段AB的长为(
)
A.3
B.4
C.5 D.6
解析抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),
所以直线AB的方程为y=2x-2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
= 2-2,
2-3x+1=0,
消去
y
并整理得
x
2 = 4,
所以x1+x2=3,|AB|=x1+x2+2=5.故选C.
由
答案C
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【做一做4】
若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x2-
右焦点重合,则实数p的值为
.
解析因为双曲线中 c= 1 + 3=2,

所以抛物线的焦点为(2,0),即2=2,p=4.
答案4
2
=1的
3
课前篇自主预习
【做一做5】 已知点P为抛物线C:y2=4x上任意一点,点A(3,0),则
探究一
探究二
探究三
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延伸探究若将抛物线方程改为x2=-2y,其他条件不变,结果又将如
何?
解设 P(x0,y0)是 x2=-2y 上任一点,
|0 -0 +3|
则点 P 到直线 l 的距离 d=
2
1
5 2
x
=-1
,d
=
,
P
-1,.
当 0
时 min
∴
2
4
=
1
2 5
(
+1)
+2
2 0
2
,
反思感悟与抛物线有关的最值问题的解决方法
|PA|的最小值为
.
解析设抛物线上任意一点的坐标为
得|PA|=
2
4
2
-3
+ 2 =
1 4 1 2
-
16
2
,由两点间的距离公式
1
+ 9,当 y2=-
即 y=±2 时,|PA|取得最小值为 2 2.
答案 2 2
2
,
4
-2
1 =4,
2× 16
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探究一利用抛物线的定义解决问题
解决与抛物线有关的最值问题时,一方面注意从几何方面观察、
分析,并利用抛物线的定义解决问题;另一方面,还要注意从代数角
度入手,建立函数关系,利用函数知识求解.
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变式训练4已知点P是抛物线y2=4x上任意一点,点Q是圆(x4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为
.
解析设点 P 的坐标为
1 2
m ,m
4
,圆(x-4)2+y2=1 的圆心坐标为
A(4,0),
∴|PA|2=
1 2
1
m -4 2+m2= (m2-8)2+12≥12,
4
16
∴|PA|≥2 3,
∵点 Q 是圆(x-4)2+y2=1 上任意一点,
∴|PQ|的最小值为 2 3-1,故答案为 2 3-1.
答案 2 3-1

2 = 2,
得 k=±2,
所以直线 AB 的方程为 y=2 -

2
或 y=-2 -

2
.
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反思感悟求抛物线焦点弦的长度的两种方法
一是运用一般的弦长公式.二是直接利用焦点弦长度公式,即如
果AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则
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规范解答
抛物线中的定点与定值问题
典例如图所示,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条
直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.
【审题策略】 欲证明直线BC的斜率为定值,可写出直线BC的方
2 -1
程,然后说明其斜率为定值,或直接用k0= - ,写出斜率,然后说
A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的点P的坐标.
思路分析根据抛物线的定义,就是在抛物线上找一点P,使得点P
到点A的距离与点P到准线的距离之和最小,然后可借助平面几何
知识求解.
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解如图所示,作PN⊥l于点N(l为准线),作AB⊥l于点B,
因此可得 M(2,±2 2),故|OM|=2 3.
答案B
反思感悟利用抛物线的定义解题,其实质是利用抛物线的定义,
进行了两种距离之间的一种转化,即抛物线上的点到焦点的距离与
到准线的距离之间的转化,通过这种转化,可以简化解题过程.
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变式训练1在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标
点到焦点或准线的距离,可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到
准线的距离等于该点到焦点的距离),构造出“两点间线段最短”或
“点到直线的垂线段最短”,使问题获解.
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变式训练2定点M
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10
与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,
3,
3
点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为
所以点P的坐标为(2,2).
答案C
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探究二抛物线的焦点弦问题
例3 已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点F的直线
与抛物线交于A,B两点,且|AB|=
5
2
p,求AB所在直线的方程.
思路分析依题意只需求出直线AB的斜率即可利用点斜式求得方
程,可根据焦点弦长度公式求解.

2
或 y=-2

2
.
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方法二:如图所示,抛物线 y2=2px(p>0)的准线为

x=-2,A(x1,y1),B(x2,y2),
设点 A,B 到准线的距离分别为 dA,dB,
由抛物线的定义知,


|AF|=dA=x1+2,|BF|=dB=x2+2,
5
2
3
2
答案A
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【做一做2】 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,
若F是线段AB的中点,则|AB|=(
)
A.1
B.2
C.3 D.4
解析由题可知,线段AB为抛物线的通径,
所以|AB|=2p=4,故选D.
答案D
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【做一做3】 若过抛物线C:y2=4x的焦点且斜率为2的直线与C交于
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探究一
探究二
探究三
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2

由根与系数的关系,得 y1+y2= ,y1y2=-p2.
所以|AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2
=
1
1+
= 1+
2

·(1 -2 )2
1
2
·
(
+

)
-41 2
1
2
2

=2p 1 +
1
2

5
2
= p,解得 k=±2.
故 AB 所在直线方程为 y=2
离等于点P到准线l的距离.
2.抛物线的焦半径与焦点弦
(1)抛物线的焦半径
抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径,其长度如下:


= +x0;
2
2


y2=-2px(p>0),|PF|= 0 - = -x0;
2
2


x2=2py(p>0),|PF|= 0 + 2 = 2+y0;


x2=-2py(p>0),|PF|= 0 - 2 = 2-y0.