2024-2025学年河南省安阳市林州一中高二(上)月考数学试卷(8月份)(含答案)

2024-2025学年河南省安阳市林州一中高二（上）8月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足(i +1)⋅z =4−3i ，则|z|=( )
A. 52
B.
5 22
C. 252
D.
102
2.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =(1
5)x
B. y =1
x 2
C. y =lgx
D. y =(x−1)2+1
3.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )A. 1
6
B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
4.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边ABCDEFGH ，其中|
OA |=1给出下列结论，其中正确的结论为( )A. OA 与OH 的夹角为π
3B. OD +OF =OE C. |OA−OC |=
2
2
|DH | D. OA 在OD 上的投影向量为
其中e 为与OD 同向的单位向量)5.如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱BC ，CC 1的中点，过点A ，E ，F 作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为( )
A. 2
B. 15
7
C. 17
7
D. 19
7
6.已知α∈(0,π)，β∈(0,π)，sin (α−β)=3
4，tan α
tan β=−5，则α+β=( )
A. 16
π
B.
116
π C. 76
π
D. 56
π
7.已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=4,|c |=2,a ⋅b =−8，若c =λa +μb ,(λ∈R,μ∈R )，则2λ+μ的取值范围是( )A. [
−4
63,4 63
]
B. [
−
213, 21
3
]
C. [
−
212, 21
2
]
D. [−2 6,2
6]
8.已知平面向量a =(1, 3)，b =(
3,1)，且a ⊥(b−λa )，则实数λ的值为( )
A. 2
3
3
B.
32
C. 1
2
D.
33
二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.假设α∈(0,π)，且α≠π
2，当∠xOy =α时，定义平面坐标系xOy 为α−仿射坐标系，在α−仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：e 1，e 2分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若OP =xe 1+ye 2，则记为OP =(x,y)，那么下列说法中正确的是( )A. 设a =(m,n)，则|a |=
m 2+n 2+2mn cos α
B. 设a =(m,n)，b =(s,t)，若a //b ，则mt− ns =0
C. 设a =(m,n)，b =(s,t)，若a ⊥b ，则ms + nt +(mt +ns)sin α=0
D. 设a =(−1,2)，b =(−2,1)，若a 与b 的夹角为π
3，则α=π
3
10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点.则下列结论正确的是( )
A. 直线AM 与BN 是平行直线
B. 直线MN 与AC 所成的角为60°
C. 平面AMB 与平面ABCD 所成二面角的平面角为45°
D. 平面BMN 截正方体所得的截面面积为3
2
11.已知y =f(x)是定义域为R 的奇函数，且y =f(x +1)为偶函数．当x ∈[0,1]时，f(x)=2x −alog 2(2x +2)，下列结论正确的是( )A. a =−1B. f(12
)=f(32
)C. f(3)=0
D. f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2023)=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数f(x)=−x2−2ax−a在区间(−∞,0)上单调递增，且a+e x+ln(x+1)≥0对任意的x≥0恒成立，则a的取值范围是______．
13.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基C在同一水平面内的两个测量点A,B.现测得∠BAC=30∘,∠ABC=105∘,AB=120米，在点B处测得碑顶D的仰角为30∘，则该同学通过测量计算出纪念碑高CD为米.(保留根号)
14.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为．
四、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)
已知向量a=(2,1)，b=(−1,m)．
(1)若a与b的夹角为135°，求实数m的值；
(2)若a⊥(a−b)，求向量a在向量b上的投影向量．
16.(本小题12分)
DB=1，C为圆O上一点，且BC=3AC，如图，已知AB为圆O的直径，D为线段AB上一点，且AD=1
3
PD⊥平面ABC，PD=DB．
(1)求CD；
(2)求证：PA ⊥CD ；(3)求三棱锥B−POC 的体积．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=cos 4ωx−2sinωxcosωx−sin 4ωx(ω>0)的最小正周期T =π．(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x ∈[0,5π
8]时，讨论方程f(x)+1=m 根的个数．
18.(本小题12分)
漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数(结果保留整数)；(2)已知满意度分值落在[70,80)的平均数−
z 1=
75，方差s 21
=9，在[80,90)的平均数为−
z 2=85，方差s 22
=4，试求满意度分值在[70,90)的平均数−z 和方差s 2．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=1．
(1)若f(x)=Acosωx(0<ω<π)，求A与ω；
(2)证明：函数f(x)是偶函数；
(3)证明函数f(x)是周期函数；
(4)若f(x)的周期为T，在[0,T
]上是减函数，记f(x)的正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，⋯，证明f(x)
2
在区间[0,2024T]上有4048个零点，且x2−x1=x3−x2=⋯=x4048−x4047．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.C
5.C
6.D
7.B
8.B
9.ABD
10.BC
11.BC
12.[−1,0]
13.206
14.22π
15.解：(1)因为a=(2,1)，b=(−1,m)，
所以|a|=5，|b|=1+m2，a⋅b=m−2，
若a与b的夹角为135°，则m<2且cos〈a,b〉=
a b
|a|⋅|b|
，
可得−2
2=
m−2
5×1+m2
，解得m=−3或m=1
3
(舍去)，
所以实数m的值为−3；
(2)若a⊥(a−b)，则a⋅(a−b)=a2−a⋅b=5−(m−2)=0，解得m=7，可得b=(−1,7)，|b|=52，a⋅b=5，
所以向量a在向量b上的投影向量为(a b
b2
)b=1
10
b=(−1
10
,7
10
)．
16.解：(1)由已知AB为圆O的直径，C为圆O上一点，可得AC⊥BC，
又由D为线段AB上一点，且AD=1
3
DB=1，可得AD=1，DB=3，则AB=4，
因为BC=3AC，可得BC2+AC2=AB2，即4AC2=16，解得AC=2，BC=23，
在直角△ABC 中，可得cos ∠BAC =
AC AB =1
2
，由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅ACcos∠BAC =1+4−2×1×2×12
=3，所以CD = 3．
(2)证明：由(1)知AC =2,AD =1,CD = 3，可得AC 2=AD 2+CD 2，所以AD ⊥CD ，
因为PD ⊥平面ABC ，且CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，
又因为AD ∩PD =D ，且AD ，PD ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB ，因为PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥CD ．
(3)连接OC ，在△OBC 中，OB =OC =2,BC =2 3，可得cos ∠BOC
=OB 2+OC 2−BC 22OB ⋅OC
=−1
2，可得sin ∠BOC
=
3
2
，所以S △OBC =12OB ⋅OCsin∠BOC =12
×2×2×
32
= 3，
又由PD ⊥平面ABC ，且PD =DB =3，
所以三棱锥B−POC 的体积为：V B−POC =V P−OBC =13S △OBC ⋅PD =13
× 3×3= 3．
17.(1)依题意：f(x)=cos 2ωx−sin 2ωx−2sinωxcosωx =cos2ωx−sin2ωx = 2cos (2ωx +π
4)，
由T =
2π
2ω
，T =π，得ω=1，f(x)= 2cos (2x +π
4)，
由−π+2kπ≤2x +π
4≤2kπ，k ∈Z ，解得−
5π
8
+kπ≤x ≤−π
8+kπ,k ∈Z ，
所以函数f(x)的单调递增区间为[−
5π
8
+kπ,−π8+kπ](k ∈Z)(k ∈Z)．
(2)当x ∈[0,5π
8
]时，2x +π
4∈[π4,3π
2]，
余弦函数y =cosx 在[π
4,π]上单调递减，在[π,3π2
]上单调递增，则函数f(x)在[0,3π8
]上单调递减，函数值从1减小到− 2；
在[3π8,5π
8
]上单调递增，函数值从− 2增大到0，方程f(x)+1=m⇔f(x)=m−1，
因此方程f(x)+1=m 的根即直线y =m−1与函数y =f(x)在[0,5π8
]上的图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出直线y=m−1与函数y=f(x)在[0,5π
8
]上的图象，
观察图象知，当m−1<−2或m−1>1，
即m<1−2或m>2时，
直线y=m−1与函数y=f(x)在[0,5π
8
]上的图象无交点；
当m−1=−2或0<m−1≤1，即m=1−2或1<m≤2时，
直线y=m−1与函数y=f(x)在[0,5π
8
]上的图象有1个交点；
当−2<m−1≤0，即1−2<m≤1时，直线y=m−1与函数y=f(x)在[0,5π
8
]上的图象有2个交点，所以当m<1−2或m>2时，方程根的个数为0；
当m=1−2或1<m≤2时，方程根的个数为1；
当−2<m≤1时，方程根的个数为2．
18.解：(1)由频率分布直方图可得，(0.005+0.010×2+0.020+a+0.025)×10=1，
解得a=0.030，
由频率分布直方图可估计众数为85，
满意度分值在[40,80)的频率为(0.005+0.010×2+0.020)×10=0.45<0.5，
在[40,90)的频率为(0.005+0.010×2+0.002+0.030)×10=0.75>0.5，
所以中位数落在区间[80,90)内，
所以中位数为80+10×0.5−0.45
0.3=245
3
≈82；
(2)由频率分布直方图得，满意度分值在[70,80)的频率为0.02×10=0.2，人数为20，在[80,90)的频率为0.03×10=0.3，人数为30，
所以满意度分值在[70,90)的平均数−
z=20
20+30
×75+30
20+30
×85=81，
满意度分值在[70,90)的方差s2=20
20+30×[9+(75−81)2]+30
20+30
×[4+(85−81)2]=30．
19.解：(1)因为f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，①令x=1，y=0，可得2f(1)=f(1)f(0)，
因为f(1)=1，所以f(0)=2，
所以f(0)=Acos0=2，得A=2．
由f(1)=1，得Acosω=1，
即2cosω=1，
解得cosω=1
2
．
因为0<ω<π，所以ω=π
3，
所以f(x)=2cos π
3 x，
则f(x+y)+f(x−y)=2cos(π
3
x+π
3
y)+2cos(π
3
x−π
3
y)=4cosπ
3
xcosπ
3
y=f(x)f(y)，
所以f(x)=2cos π
3 x；
(2)证明：由(1)得，f(0)=2，
①中，令x=0，可得f(y)+f(−y)=2f(y)，
即f(y)=f(−y)，所以函数f(x)为偶函数；
(3)证明：令y=1，
得f(x+1)+f(x−1)=f(x)f(1)=f(x)，
即有f(x+2)+f(x)=f(x+1)，
从而可知f(x+2)=−f(x−1)，f(x−1)=−f(x−4)，故f(x+2)=f(x−4)，
即f(x)=f(x+6)．
所以函数f(x)是一个周期为T=6的周期函数．
(4)证明：由(1)得f(0)=2，f(T)=f(0)=2，
在f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)中，
令x=y=T
2
，
可得f(T)+f(0)=f(T
2)⋅f(T
2
)，
因为f(T
2)<f(0)，所以f(T
2
)=−2，
所以f(0)f(T
2
)<0，
又因为f(x)在[0,T]上是减函数，所以f(x)在[0,T
2]上有且仅有一个零点．在f(x +y)+f(x−y)=f(x)f(y)中，令x =y =T
4，得f(T 4)=0．
所以f(x)在区间[0,T
2]上有且仅有一个零点x 1=T
4，又因为f(x)是偶函数，
所以f(x)在[−T
2,0]上有且仅有一个零点x 0=−T
4，即f(x)在一个周期内有且仅有2个零点．f(3
4T)=f(T−T
4)=f(−T
4)=0，
所以f(x)在[0,T]内的零点为x 1=T
4和x 2=3
4T ．
f(kT +T
4)=f(T
4)=0，f(kT +3
4T)=f(3
4T)=0，k ∈N ．因此，对任意k ∈Z ，f(x)在[kT,(k +1)T]上有且仅有两个零点：x k +1=kT +T
4，x k +2=kT +3T
4．f(x)在[0,2024T]上有4048个零点：
x 1=T
4，x 2=3T
4，x 3=5T
4，x 4=7T
4，⋯，x 4047=
8093T 4，x 4048=8095T
4
，其中，x 2−x 1=x 3−x 2=⋯=x 4048−x 4047=T
2．。