高中数学复习课件-回归分析的基本思想及其初步应用(H)

总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
用身高预报体重时，需要注意下列问题： 1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；
3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；
4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的 精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。
回归直线过样本点的中心
其中x
=
1 n
n xi,y i=1
=
1 n
n yi. i=1
(x,y) 称为样本点的中心。
2、回归直线方程：
1、所求直线方程 yˆ = bˆ x + aˆ 叫做回归直
---线方程；其中
n
n
y bˆ =
(xi - x)(yi - y)
i=1 n
=
(xi - x)2
xi
在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变 量y为预报变量。
残差
数据点和它在回归直线上相应位置的差异 称为相应于点（xi，yi ） 的残差。
ei =yi
yi
例：编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）
61 (0.849165 85.712) 6.627
残差平方和
把每一个n 残差所得的值平方后加起来，用数学符号表
2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等
最小二乘法：yˆ = bˆ x + aˆ
n
n
bˆ =i=1i(n=x1i(-xxi)-(xy)i2-y) =
xiyi - nxy
i=1 n
xi2 - nx2
,
i=1
aˆ =y-bˆx.
- nxy
i
i=1
n xi2 - nx2
,
i=1
i=1
aˆ = y - bˆx
2.相应的直线叫做回归直线。
3、对两个变量进行的线性分析叫做线性 回归分析。
相关系数
▪ 1.计算公式
n
(xi - x)(yi - y)
r=
i=1
n
n
(xi - x)2 (yi - y)2
i=1
i=1
▪ 2．相关系数的性质
• 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；
几点说明：
第• 一个若样模本点型和选第6择个样的本点正的确残差，比残较大差，图需要中确的认在点采应集过该程中分是布否有在人以为 的据错；误如。果横如数果据轴数采据集为采没心集有有错的错误带误，，则形就需区予要以寻域纠找；正其，他然的后原再因重。新利用线性回归模型拟合数
r∈[-1,-0.75]--负相关很强;
r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
例1、某大学中随机选取8名女大学生，其身高 和体重数据如下表所示.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
根据最小二乘法估计a 和b 就是未知参数a和样b的本最点好的估中计，心
身于高是为有172如bc果m= 的不in=1女(是ixn=大i，1(-x学你xi探)-生能(究xy的)解i2P-体析4y：)重一=一下ii=n1=n定原1xxi是因yi2i-6吗-0nn？.xx32y16=k0g.吗84？9,
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差 过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则 检查数据是否有误，或模型是否合适等。
作业： 在7块并排的、形状大小相同的实验田上进行施
肥量对水稻产量影响的试验，得到如下一组表所示 的数据（单位：kg）
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图 (2)求y与x之间的回归方程，并求施肥量为28kg时
的水稻产量的预报值 (3)计算各组残差，并计算残差平方和 (4)求R2，并说明残差变量对产量影响有多大？
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量 是预报变量。
（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察 它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线 性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
=1-
i=1 n
(yi - y)2
i=1
显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合 效果越好。
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析 变量和预报变量的线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，
则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为 这组数据的模型。
思考P3 产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、其它因素的影响：影响体重 y 的因素不只是身高
x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等 因素； 2、身高 x的观测误差。
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因 变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自 变量x只能解析部分y的变化。
另•外，对残差于点远比较离均横匀地轴落的在水点平，的带要状区特域别中，注说意明选。用的模型计较合适，这
样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
身
高
异
与
常
体 重
点
残
差
• 错误数据
图
• 模型问题
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
n
(yi 5
6
7
8
身高 165 165 157 170 175 165 155 170
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
残差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可 以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残 差图。
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程， 并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系， 因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。
样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关
系，因此可以用回归方程来近似的刻画它们(之x,间y)的称关为系.
1.1 回归分析的基本思想 及其初步应用
温故知新
两个变量的关系
不相关
函数关系 线性相关
相关关系 非线性相关
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。 相关关系是一种非确定性关系。
1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随 机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）：对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法叫回归分析。
▪ (1)|r|≤1．
▪ (2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接 近于0，相关程度越小．
▪ 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它 们的相关程度怎样呢？
相关系数
n
r=
i=1(xi-x)(yi-y) in=1(xi-x)2×i=n1(yi-y)2
ｒ＞０正相关；ｒ＜０负相关．通常，
a = y - bx = -85.712
所以回归方程是 y 0.849x 85.712
所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为
y 0.849172 85.712 60.316(kg)
解：散点图：
思考P3
产生随机误差项e 的原因是什么？
3、从我散们点可图以还用看下到面，的样线本性点回散归布模在型某来一表条示直：线的附 近，y=而bx不+a是+e在，一其条中直a和线b上为，模所型以的不未能知用参一数次，函数 y=eb称x+为a简随单机描误述差它。们关系。
示为： ( yi yi )2 i 1
称为残差平方和
在例1中，残差平方和约为128.361。
残差分析与残差图的定义：
我们可以通过残差 e1, e2, , en 来判断模型拟合的效果，判断原始
数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。