《圆的对称性》PPT课件 (公开课获奖)2022年青岛版 (3)

∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.（有其他证法吗）
C
(2) ∵ CD⊥AB,AM=BM
A M└
B ∴点A和点B关于直径CD对称.
●O
又∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B
重合⌒ A, C和B⌒C重合, ⌒ AD和B⌒D重合.
D
∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
1即)：(xy-=1－) x2+1
封面 例题
小组探究
1、已知二次函数对称轴为x=2，且过（3，2）、 （-1,10）两点，求二次函数的表达式。
解：设y=a(x-2)2-k
2、已知二次函数极值为2，且过（3，1）、 （-1,1）两点，求二次函数的表达式。
解：设y=a(x-h)2+2
例题选讲
例 4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度
因为OC⊥AB, 所以AD= BD, A⌒C=B⌒C,
由题设知 AB=37.4 CD=7.2 ,所以，，
O A 2A D 2O D 2
在直角三角形ODA中，由勾股定理得， R218.72(R7.2)2
即
解得，，所以赵州石拱的半径为。
由实际问题抽象 出几何图形
练习（1）两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD 的大小有什么关系？为什么？
封面 练习
用待定系数法求函数表达式的一般步骤:
1 、设出适合的函数表达式； 2 、把已知条件代入函数表达式中，得到关于 待定系数的方程或方程组； 3、 解方程（组）求出待定系数的值； 4、 写出一般表达式。
课堂小结
求二次函数表达式的一般方法：
▪ 已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式
y
▪ 已知图象的顶点坐标、对称轴或和最值
封面 练习
例题选讲
例4
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度 为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里 (如图所示)，求抛物线的表达式．
解： 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
评价
∴ 所求抛物线表达式为
通过利用条件中的顶 点和过原点选用顶点 式求解，方法比较灵 活
垂径定理
C
A
B
M└
●O
D
图形
语言
我们发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
文字 语言
③AM=BM,
可推 得
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
符号 语言
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的数形结合（几种应 用形式）
C
垂径即为垂直于弦，经过圆心的线段
●O
A
（2，3）求抛物线的表达式？
解：因为二次函数图像的顶点坐标是（－1，－6），
所以，设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-6
由条件得：点( 2 , 3 )在抛物线上，
代入上式，得
3=a（2+1）2-6,
得 a=1
所以，这个抛物线表达式为 y=(x＋1)2-6 即：y=x2+2x－5
封面 例题
例题选讲
2、能根据已知条件，设出相应的二次函数的 表达式的形式，较简便的求出二次函数表 达式。（难点）
课前复习
二次函数有哪几种表达式？
• 一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0) • 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
例题选讲
例 1 已知抛物线的顶点为（－1，－6），与轴交点为
∵ OE⊥AB
∴ AE=BE
又∵ AC＝BD
O
∴ AE+AC=BE+BD
即CE=DE
E
∴OE为线段CD的垂直平分线。C
A
BD
∴OC=OD
实际应用
1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱 桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦 长）为，拱高（弧的中点到弦的的距离，也 叫弓形高）为。求桥拱的半径。
解析：设桥拱的半径为R（m），如图用︵AB表示桥拱︵，AB的圆心为O。经过 点o作AB的垂线，垂足为D，与弧AB交与点C
（1）
（2）
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm， ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形
（2）求出AB、与CD间的距离。
（1）
（2）
小结1:
请同学们总结一下我们这一节课 新学了圆的那些知识点。
1、圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都 是它的对称轴.（或经过圆心的直线都是它的对称 轴）
3、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对 折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这 个图形叫做轴对称图形。（这条直线叫做对称轴）
圆的相关概念
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
r
d M┗
h
a
B
r
●O
d
A
M┗
a h
B
r
●O
d
┗
a
B
A
M
D ∵CD是直径， CD⊥AB
∴ AM=BM
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D ∵OD ⊥ AB,
∴AA⌒DM==BB⌒MD, .
∵OM ⊥AB, ∴AM=BM.
由形到数 的转化
如图示，根据勾股定理得（：a ）2 + d 2 = r 2 ，
2
想.
动动手1，自主学习
在一张半透明的纸片上画一个圆,标出它的 圆心O,并任意作出一条直径AB,将圆O沿直径AB 折叠,你发现了什么?（自学课本68页交流与发现1,2）
A
●O
B
圆的轴对称性
圆是轴对称图形.
每一条直径所在的直线都是它的对称 轴.（或经过圆心的直线都是它的对称轴）
●O
动动手2 ，合作探究
为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里 (如图所示)，求抛物线的表达式．
解：设抛物线的表达式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知
抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
可得方程组
评价 通过利用给定的条件
列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定 函数的解析式． 过程较繁杂，
圆的对称性 第一课时
知识准备
• 1、什么叫圆？怎样表示一个圆？
• 2、什么叫圆的弧、弦、直径、半圆、优弧、 劣弧？
• 3、什么叫轴对称图形？
1、圆的运动定义：
平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
另一个端点A随之旋转所形成封闭曲线-----叫做圆。
以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作圆O 2、圆的微观定义： 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
直径将圆分成两部分,每一部分都叫
做半圆(如弧ABC).
B
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
两个字母).
A
●O
C 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒CB
(用三个字母).
圆的对称性
第一课时
• 学习目标
• 1 理解圆的轴对称性. • 2 掌握垂径定理,并能用它解决实际问题. • 3 学习过程中,领悟转化思想和数形结合思
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且 平分弦所对的两条弧。
小结2:
A
.
O
C
B
A
O.
E AC
DB
M
D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
作业
习题4.1 1-2题
确定二次函数的表达式
学习目标
1、会利用待定系数法求二次函数的表达式； （重点）
例题选讲
例 3 已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）
并经过点M（0,1），求抛物线的表达式？
解： 因为函数过A（－1，0），B（1,0）两点 ： 所以设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）y
由条件得： 点M( 0,1 )在抛物线上
x o
所以：a(0+1)(0-1)=1
得： a=-1 故所求的抛物线表达式为 y=- (x＋
通常选择顶点式
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，
x 通常选择交点式。 o
确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式。
封面
问题：如图AB是⊙O的一条弦，作直径CD,
使CD⊥AB,垂足为M，将⊙O 沿直径
ＣＤ折叠，（１）线段ＡＭ与ＢＭ有什么
关系？
（２）你发现 ⌒ AC和B⌒C 有什么关系？
C
⌒AD和B⌒D 有什么关系？
A M└
B
●O
辅助线：作圆 的两条半径
D
理由是，如图 :
(1)连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵A=OB，OM=OM，
O
A C G DB
练习 （2）如图,圆O与矩形ABCD交于E、 F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的 长.
A
HM
G
D
BE
N·
F
C
0
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm， ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形
（2）求出AB、与CD间的距离。
根据图形得：d+h=r。
a,d,r,h 可以知二求二
练习 在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
典例剖析
例1、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D 是直线AB上两点，且AC＝BD求证：OC=OD。
证明：作OE⊥AB于E
例2
已知点A（－1,6）、B（2,3）和C（2,7）， 求经过这三点的二次函数表达式。
解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
将A、B、C三点坐标代入得：
a-b+c=6
16a+4b+c=6
9a+3b+c=2
解得：
a=1, b=-3,
c=2
所以：这个二次函数表达式为：
y ox
y=x2-3x+2
封面 例题