(常考题)北师大版高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-=
A ．24i +
B ．24i -+
C ．24i --
D ．4-
2．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，
{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）
A ．1a b +>
B ．1a b +<
C ．221a b +<
D ．221a b +> 3．设z 是复数，从z ，z ，z ，2||z ，2||z ，2||z ，z z ⋅中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ）
A ．3个元素
B ．4个元素
C ．5个元素
D ．6个元素 4．下面是关于复数21i
z =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.
A ．2p ,3p
B ．13,p p
C ．24,p p
D ．34,p p 5．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．0或1
D ．-1 6．已知i 是虚数单位，复数212i z i +=
-，则复数z =（ ） A ．1
B ．1-
C ．i -
D ．i 7．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ）
A ．16-
B ．16
C ．4-
D ．4 8．在复平面内，复数
（为虚数单位）对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则|1|z -=
A ．3
B 2
C ．32
D ．2310．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 11．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则
y x 的范围为（ ） A ．33⎡
⎢⎣⎦ B ．33,⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎦⎣⎭
C ．3,3⎡-⎣
D ．(,3][3,)-∞⋃+∞
12．已知i 是虚数单位，且13zi i =+，下列命题错误的是（ ）
A ．z 对应复平面内的点在第四象限
B ．||2z =
C ．z 的共轭复数为3z i =+
D ．22z z =
二、填空题
13．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________．
14．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个
负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的
差为纯虚数.其中正确的序号为_________；
15．设复数z 1=1，z 2=23i 34i --∣∣
，z=z 1+z 2，则z 在复平面内对应的点位于第__________ 象限． 16．已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是________
17．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．
18．关于x 的方程240x x m ++=（m R ∈）的两虚根为α、β，且||2αβ-=，则实数m 的值是________.
19．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______． 20．若复数12i z =+，则3i z +=__________．
三、解答题
21．设z 是虚数，1w z z
=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；
（2）若2z z z z
++为纯虚数，求z . 22．已知复数z 满足：234z i =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限.
（I ）求复数z ；
（Ⅱ）设a R ∈，且2019121z a z +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求实数a 的值.
23．已知复数12215523,(2)i z i z i -=-=
+，求下列各式的值： (Ⅰ)12z z (Ⅱ)12
z z 24．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.
（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；
（2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.
25．已知a R ∈，且以下命题都为真命题：命题:p 实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数；命题:q 存在复数z 同时满足2z =且1z a +=，求实数a 的取值范围. 26．设1z 是虚数，211
1z z z =+是实数，且211z -≤≤. （1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围；
（2）若11
11z z ω-=+，求证ω为纯虚数； （3）在（2）的条件下，求22z ω-的最小值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.
,
2．C
解析：C
【分析】
先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．
【详解】
设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0
化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，
集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，
若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，
1d =，即a 2+b 2＜1
故选C ．
【点睛】
本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．
3．A
解析：A
【分析】
设复数z a bi =+(),a b R ∈分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案.
【详解】
解：设复数z a bi =+(),a b R ∈
z a bi ∴=-(),a b R ∈，
z a bi z =+=(),a b R ∈，
||222z a b =+，
222||z a b =+，
()()22z z a bi a bi a b ⋅=+-=+
()2
2222z a bi a b abi =+=-+
222222z a b abi a b ∴=-+===+ 故由以上的数组成的集合最多有a bi +，a bi -，22a b +这3个元素，
故选：A
【点睛】
本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案．
【详解】 ∵z ()()()
212111i i i i +===--+1+i ， ∴
1p ：|z |=
2p ：z 2＝2i ，
3p ：z 的共轭复数为1-i ，
4p ：z 的虚部为1，
∴真命题为p 2，p 3．
故选A ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．
5．B
解析：B
【解析】
分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，
200a a a ⎧-=∴⎨≠⎩
，解得1a =. 故选B.
点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.
6．D
解析：D
【解析】
分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果. 详解：()222(2)(12)252512(12)12145
i i i i i i z i i i i i +++++=====--+-, 故选D.
点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.
7．C
解析：C
【详解】
分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算．
详解：令1x =，得4256n =，4n =，
∴42(1)(2)4i i +==-．
故选C ．
点睛：在二项式()()n
f x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项式系数和为2n ，两者不能混淆． 8．D
解析：D
【解析】
分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限.
详解：复数
，其对应的点是，位于第四象限．
故选．
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如
复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 9．B
解析：B
【解析】
分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.
详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=± 则1z -2.
故答案为B.
点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
10．D
解析：D
【分析】
设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.
【详解】
设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，
2z 为纯虚数220020
a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D.
【点睛】
本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.
11．C
解析：C
【分析】 转化|2|3z -=为22(2)3x y -+=，设,y k y kx x
==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.
【详解】 由于22|2||2|=(2)=3z x yi x y -=-+-+22(2)3x y -+=∴ 设y k y kx x
=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+= 由于直线和圆有公共点，2164(1)033k k ∴∆=-+≥≤≤
故
y x 的范围为[ 故选：C
【点睛】 本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 12．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案.
【详解】 ∵1zi =+，
∴
z i ==，
∴z 对应复平面内的点为)
1-在第四象限，故A 正确；
2z ==，故B 正确；
z 的共轭复数为z i =，故C 正确；
222z z =-≠，故D 错误；
故选：D .
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.
二、填空题
13．【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值即为的最小值【详解】复数满足方程设（）则在复平面内轨迹是以为圆心以2为半径的圆；意义为圆
2
【分析】
设复数,z a bi =+根据复数的几何意义可知(),a b 的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及|2|z -的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为|2|z -的最小值.
【详解】
复数z 满足方程||2z i +=，
设,z a bi =+（,a b ∈R ），
则|||(1)|2z i a b i +=++=，(),a b 在复平面内轨迹是以()0,1-为圆心，以2为半径的圆；
()|2||2|z a bi -=-+=()2,0的距离，
由点与圆的几何性质可知，|2|z -22=，
2.
【点睛】 本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题. 14．④【分析】①采用特殊值法当都是零时来判断②通过负数也是实数来判断③采用特殊值法当时来判断④根据题意是两个共轭虚数则虚部不为零来判断【详解】当时则不是纯虚数故错误②因为负数是实数实数可以比较大小故错误
解析：④
【分析】
①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断.
【详解】
当0a b 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.
②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误.
③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.
④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是
()0z a bi b =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确.
故答案为：④
【点睛】
本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
15．一【解析】由题意所以则则在复平面内对应的点为位于第一象限 解析：一 【解析】
由题意，223232334555i i z i i --=
==--，所以127255z z z i =+=-， 则7255z i =+，则z 在复平面内对应的点为72(,)55
位于第一象限． 16．【解析】因为为方程两个根所以方程有虚根所以故故填
解析：[0,8)
【解析】
因为,αβ为方程两个根，所以p αβ+=-，4αβ⋅=，方程有虚根，所以
2160,44p p ∆=-<-<<，故2222()28[0,8)p αβαβαβ+=+-⋅=-∈，故填
[0,8).
17．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z 的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算
解析：﹣．
【解析】
试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部． 解：==，
则复数z 的虚部为﹣， 故答案为﹣．
考点：复数代数形式的乘除运算．
18．5【分析】关于方程两数根为与由根与系数的关系得：由及与互为共轭复数可得答案【详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：由与为虚数根得：则解得经验证符合要求故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系的 解析：5
【分析】
关于x 方程240x x m ++=两数根为α与β，由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由||2αβ-=及α与β互为共轭复数可得答案．
【详解】
解：α与β是方程240x x m ++=的两根
由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ， 由α与β为虚数根得： 4416m i α-+-，4416m i β---=， 则||416|2m i αβ-=-=，
解得5m =，经验证∆<0，符合要求，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意α与β为虚数根情形，否则漏解，属于基础题． 19．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解 解析：12【分析】
利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值.
【详解】
由复数模的三角不等式可得()11111z i z i z i -+=--≤+-==+
因此，1z i -+的最大值是1
故答案为1
【点睛】
本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．【解析】
三、解答题
21．（1）1,z =Rez 的取值范围为1(,1)2-
；（2）12z =+或12z =-. 【分析】
（1）先设出复数，结合1w z z
=+是实数可求出z 的值及Rez 的取值范围； （2）先设出复数，结合2z z z z
++为纯虚数可求. 【详解】
（1）设z x yi =+，其中,x y R ∈且0y ≠，
222211i ()i i x y w z x y x y z x y x y x y
=+=++=++-+++， 因为1w z z =+
是实数，所以220y y x y -=+，解得221x y +=，所以
1z ==；
因为12w -<<，所以222(1,2)x x x x y +
=∈-+，即1(,1)2x ∈-； 所以Rez 的取值范围为1(,1)2
-. （2）由（1）知221x y +=，
()2222i i (2)i i i 2x y x y z
z x y x xy y x y x y x z z ++++-+++==++-+，
因为2z z z z
++为纯虚数，所以220x y x -+=且20xy y +≠，0x ≠， 联立222201x y x x y ⎧-+=⎨+=⎩
可得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，
所以122
z =+
或122z =-. 【点睛】
本题主要考查复数的运算及相关概念，待定系数法是求解复数的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.
22．（Ⅰ）2z i =--（Ⅱ
）a =【分析】
（I ）设()0,0z c di c d =+<<,利用复数相等的概念求出复数z; （Ⅱ）先计算出2019111z z +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再求a 的值.
【详解】
解；（Ⅰ）设()0,0z c di c d =+<<，则()2
222234z c di c d cdi i =+=-+=+， 223,24,c d cd ⎧-=∴⎨=⎩
解得2,1c d =-⎧⎨=-⎩或2,1
c d =⎧⎨=⎩（舍去）. 2z i ∴=--.
（Ⅱ）2z i =-+，∴()211111112
i z i i i z i i ++--+====+-+- ∴201920192016311z i i z ++⎛⎫== ⎪+⎝⎭()50450443431i i i ⨯+==⋅=-，
∴2a i -==
，∴a =
【点睛】
本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
23．(1)1279z z i =--;(2)
121131010
z i z =+. 【解析】
【分析】
由复数的平方，复数的除法，复数的乘法运算求得下面各式值．
【详解】
(Ⅰ)因为()221552i z i -==+155(155)(34)3425
i i i i ---==+=13i - 所以()()12231379z z i i i =--=--；
(Ⅱ)122313z i z i -==-(23)(13)(13)(13)i i i i -+-+=1131010
i +. 【点睛】
复数代数形式的四则运算
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R.
z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.
z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.
12222
2(0)z a bi ac bd bc ad i c di z c di c d c d ++-==++≠+++ 24．（1）0a >；（2）1z i =-+
【解析】
试题分析：（1）求出复数21z az +的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出a 的范围；（2）由已知得出1212z z z z z -=
+ ，代入12,z z 的值，求出1,1z i z i =--=-+ ． 试题解析;（I ）
=， 由题意得 解得
（2）()()()()12121234261,123442i i z z i z i z z i i i
--+---====--+-+++ 1.z i =-+
25．(22,11,22⎤⎡--⋃⎦⎣
【分析】 220x ax ++=的两根都是虚数，说明该方程在实数范围内无实根，由命题q 为真，可知复平面上的圆224x y +=和圆()2
21x a y ++=有公共交点，从而可得结果. 【详解】
由命题p 为真，可得(28022,22a a ∆=-<⇒∈-，
又224x y +=表示以()0,0为圆心，以2为半径的圆， 而()2
21x a y ++=是以(),0a -为圆心，以1为半径的圆； 因为存在复数z 同时满足2z =且1z a +=，
所以224x y +=与()2
21x a y ++=有公共点，
可得实数[][]3,11,3a ∈--⋃， 故两个命题同时为真的实数a
的取值范围是
(1a ⎤⎡∈--⋃⎦⎣.
【点睛】
本题主要考查复数的几何意义、圆圆的位置关系，属于中档题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi --表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r --=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.
26．（1）11z =， 11[,]22
-；（2）证明见解析；（3）1.
【分析】
（1）设出复数1z ，写出2z 的表示式，进行复数的运算，把2z 整理成最简形式，再根据所给2z 的范围，得到2z 的虚部为0，实部属于这个范围，得到1z 的实部的范围； （2）根据设出的1z ，整理ω的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到ω是一个纯虚数； （3）2
222221112222[(1)]3(1)(1)11b a a a a a a a a z a a ω--=+=+=+=++-++++-，再利用基本不等式即可求得结果
【详解】
解：（1）由1z 是虚数，设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，则
21222222
111()a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -=+=++=++=++-++++， 因为2z 为实数，所以220b b a b
-
=+且0b ≠，所以221a b += 所以11z =，
此时22z a =， 因为211z -≤≤，所以121a -≤≤，得1122
a -
≤≤ （2）因为122111()[(1)][(1)]11()(1)z a bi a bi a bi z a bi a b ω--+--+-===+++++，且221a b +=， 所以1b i a
ω=-+， 因为0b ≠，1122a -
≤≤，所以ω为纯虚数 （3）2222221112222[(1)]3(1)(1)11
b a a a a a a a a z a a ω--=+=+=+=++-++++-，
由
11
22
a
-≤≤，得
1
(1)2
1
a
a
++≥
+
，
故当且仅当
1
1
1
a
a
+=
+
，即0
a=时，2
2
zω
-有最小值1
【点睛】
此题考查复数的代数形式的运算，运算量比较大，考查了运算能力，属于中档题.。