关于幂级数的数学实验
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§1 幂级数
关于幂级数的数学实验 一、 二、 结论：
f ( x) = sin x 与 f ( x) = sin( x + x0 ) 的图象
一般函数与多项式函数图象
在一定条件下，不同的函数都可以用多项式函数来近似。
进一步： 在一定条件下，可用幂级数来表示函数。
一 幂级数的收敛区间 1. 幂级数 (1)
lim | an | = ρ 和 lim n→∞
n n→∞
| an+1 | =ρ | an |
求收敛半径. 可用直比法 在例2)中, 令
( x 1) 2 n an ( x) = n 32 n
则
( x 1) 2( n+1) an+1 ( x) n 32 n ( x 1) 2 (n + 1) 32( n+1) = = ( x 1) 2 → (n → ∞) 2n 2( n +1) ( x 1) an ( x) (n + 1) 3 9 n 32 n
对每个
∑ u ( x)
n
设
区间I上一致收敛:
定理14.5 若幂级数(2)的收敛半径为R(>0), 且大x=R(或x= -R)时收敛, 则在它
的区间[0,R](或[-R,0])上一致收敛.
lim n | an | = ρ = +∞ 故收敛半径为: R = 0 收敛域为: {0}
n→∞
2)
( x 1) 2 n ∑ n 32n n =1
∞
令
∞
y = ( x 1) 2 则
(3)
∞ ( x 1) 2 n yn ∑ n 32n = ∑ n 32n n =1 n =1
对幂数(3)
1 n 1 2n an+1 (n + 1) 32( n+1) n 32 n 1 3 = = = → (n → ∞) 2( n +1) n +1 2 1 an (n + 1) 3 9 3 32 n n 32 n
发散, 则对满足
发散 x
发散
x o
∞
x 收敛
x
o
x 发散
证:
设级数∑ an x n收敛, 从而数列{an x n }收敛于零且有界,
n =0
| an x n |< M , (n = 0,1,3...) 即存在正整数M,使得 x < 1 则有 另, 对满足 | x |<| x |的任何x, 设 r = x n n x n n x n =| an x | < Mr n . | an x |= an x x xn ∞ Mr n收敛 故对满足 | x |<| x | 的任何x, 幂级数 (2)收敛且绝对收敛; ∑
2. 幂级数的收剑区间 幂级数
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ∑
n =0
∞
+ an x n +
收敛,则对满足 |
(2)
至少有一收敛点: x=0 定理14.1(阿贝尔引理) 若级数(2)在
x=x≠0
的任何x, 幂级数 (2)收敛且绝对收敛; 若幂级数(2)在 x | x |>| x | 的任何x, 幂级数 (2)发散. 收敛
2)
n =0 ∞
xn = 1 + x + x2 + ∑
∞
∞
xn + 2+ n
+ x n1 +
( x 1) 2 n 5) ∑ n 32 n n =1
∞
n! n 3) ∑ nn x n =1
4)
(n !) n n ∑ (2n)!! x n =1
(1),(2),(3),(4),(5)都是幂级数. 其中(5)缺少奇次项. 幂级数2)的收敛域为: (-1,1) 幂级数1)的收敛域? x=1 是幂级数1)的收敛点; x=-1是幂级数1)的收敛点; 当|x|≤1时, x是1)的收敛点.
故该级数的收敛半径为:
∞
R = +∞ 收敛域为: (∞, ∞)
(3)
2 n x 2 n an ( x ) = 2 n x 2 n (用直比法) ∑
n =1
an+1 ( x) 2n+1 x 2( n+1) = = 2 x 2 → 2 x 2 (n → ∞) an ( x) 2n x 2 n 1 1 2 当<x< 时, 级数收敛 当2 x < 1时, 级数收敛 2 2 1
n n =0
∞
∞
0 < ρ < +∞ 由ρ | x |< 1得, 幂级数(2)的收敛半径 R =
1
n =0
ρ
R = +∞,
ρ = 0,
对任何x, 都有
ρ | x |< 1,
幂级数(2)的收敛半径
ρ = +∞,
除x=0外, 对任何x, 都有
ρ | x |> 1, 幂级数(2)的收敛半径
R=0
3. 幂级数的收敛半径计算 定理14.2 对于幂级数(2),若 (I)
注:
xn x 2 x3 + + 例2 求幂级数 ∑ 2 = x + 4 9 n =1 n
解:
∞
xn + 2+ n
的收敛域.
1 an = 2 n
an+1 n2 = → 1(n → ∞) 2 an (n + 1)
1 ∑ n2 收敛 n =1 故该级数在x=-1和x=1处收敛.
∞
所以, 该幂级数的收敛半径为:R=1, 收敛区间为(-1,1)
lim n | an | = ρ
n→∞
则当
0 < ρ < +∞ 时, 幂级数(2)的收敛半径 R =
1
(II) (III)
ρ = 0,
时, 幂级数(2)的收敛半径
R = +∞,
ρ
ρ = +∞, 时, 幂级数(2)的收敛半径 R = 0
| an+1 | lim n | an | = ρ lim =ρ n→∞ n→∞ | a | n | an+1 | = ρ 求幂级数(2)的收敛半径. 故可用 lim n→∞ | a | n
R = +∞ 时, 幂级数(2) 在 (∞, ∞)上收敛; 当 0 < R < +∞ 幂级(2)在(-R,R) 上收敛; 当| x |> R 时, (2)发散.
= ±R
处, 幂级数(2)可能收敛, 也可能发散.
注: 在 x
幂级数(2)的收敛区间 对于幂级数(2):
≠
幂级数(2)的收敛域
A. 求其收敛半径; B. 讨论收敛区间端点的收敛情况.
(2)
定理14.4 若幂级数(2)的收敛半径为R, 则在它的收敛区间(-R,R)内任一闭
区间[a,b]上, 级数(2)都一致收敛.
证:
设x = max{| a |,| b |}, x ∈ ( R, R ). 则 对任意x ∈ [ a, b], 都有
|an x n |≤| an x n | .
而∑ | an x n |收敛, 由M-判别法, 级数(2)在[a,b]上一致收敛.
(±1) 1 当x = ±1时, 有 2 = 2 n n
故该幂级数的收敛域为: [-1,1]
n! n 例3 求幂级数 ∑ n x 的收敛半径. n =1 n
解:
∞
故该幂级数的收敛半径为: R=e
an+1 (n + 1)! n n 1 1 n ! lim = lim = lim = an = n , n→∞ n +1 an n→∞ (n + 1) n ! n→∞ (1 + 1 ) n e n n
an ( x x0 ) n = a0 + a1 ( x x0 ) + a2 ( x x0 ) 2 + ∑
n =0 ∞ n =0 ∞
∞
+ an ( x x0 ) n +
(2)
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + 着重讨论: ∑
例1
+ an x n +
xn x 2 x3 + + 1) ∑ 2 = x + 4 9 n =1 n
( x 1) 2( n+1) an+1 ( x) n 32 n ( x 1) 2 (n + 1) 32( n+1) 2 = = ( x 1) → (n → ∞) 2n 2( n +1) ( x 1) an ( x) (n + 1) 3 9 n 32 n ( x 1) 2 当 < 1 时, 级数收敛, 故收敛半径为: R=3
3. 幂级数的收敛半径计算 定理14.2 对于幂级数(2),若 (I)
lim n | an | = ρ
n→∞
则当
0 < ρ < +∞ 时, 幂级数(2)的收敛半径 R =
1
(II) (III) 证: 对于级数
ρ = 0,
∞
时, 幂级数(2)的收敛半径
R = +∞,
ρ
ρ = +∞, 时, 幂级数(2)的收敛半径 R = 0
n =0 ∞
将以上性质称为：幂级数在收敛区间(-R,R)的内闭一致收敛性.
定理14.5 若幂级数(2)的收敛半径为R(>0), 且大x=R(或x= -R)时收敛, 则在它
的区间[0,R](或[-R,0])上一致收敛.
证明思路: 用阿贝尔判别法证之. 阿贝尔判别法 (i) (ii) (iii)
x ∈ I , {vn ( x)} 是单调的; 和自然数n, 存在正数M, {vn ( x)} 在区间I上一致有界, 即对一切 x ∈ I vn ( x) |< M , 则级数 ∑ n
n | an x n | 由于 lim n | an x | == lim n | an | | x |= ρ | x | ∑ n→∞ n→∞
n =0
由根式判别法, 当ρ | x |< 1时, (I) (II) (III)
| an x |收敛, 当ρ | x |> 1时, | an x n |发散 ∑ ∑
故 级数的收敛半径为: R=1 又当x=1和x=-1时, 级数(1)收敛, 故级数的收敛域为: [-1,1]
(2) (用直比法)
(1) x ∑ (2n)! n =1
∞ n
2n
(1) n x 2 n an ( x) = (2n)!
(1) n+1 x 2( n+1) an+1 ( x) x2 (2(n + 1))! = = → 0(n → ∞) n 2n (1) x (n + 1)(n + 2) an ( x) (2n)!
x
=x
x |<| x |
发散, 则对满足
发散 x
发散
x o
x 收敛
x
o
x 发散
定理14.1(阿贝尔引理) 若级数(2)在
x=x≠0
收敛,则对满足 |
的任何x, 幂级数 (2)收敛且绝对收敛; 若幂级数(2)在 x | x |>| x | 的任何x, 幂级数 (2)发散. 收敛
x
=x
x |<| x |
n =0
(第二部分的证明详见书) 幂级数
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ∑
n =0
∞
+ an x n +
(2)
的收敛区域: 是以原点为中心的区域 若以2R表示区间的长度, 则称R为幂级数(2)的收敛半径, (-R,R)称为(2)的收敛区间. (I) R=0时, 幂级数(2)仅在x=0处收敛; (2) 当 (3)
故幂级数的收敛半径为：R =
又当x = ±
1 2
2
时, 级数发散,故级数的收敛域为(-
1 2
,
1 2
)
(4)
xn ∑ np n =1
∞
1 an = p n
lim n | an | = lim n
n→∞ n→∞
1 =1 p n
故幂级数的收敛半径为： R = 1 (I) 当
p ≤ 0时, 级数在x = ±1处发散, 此时收敛域为:(-1,1)
9
例2
求下列幂级数的收敛域:
xn (1) ∑ n =1 n( n + 1)
(3)
∞
(2)
(1) n x 2 n ∑ (2n)! n =1
∞
2n x 2 n ∑
n =1
∞
(4)
xn ∑ np n =1
1 lim | an | = lim n =1 n→∞ n→∞ n(n + 1)
n
∞
解:
(1)
1 an = n(n + 1)
此时收敛域为:[-1,1) (II) 当 0 < p ≤ 1时, 级数在x = 1处收敛, 在x = 1处发散，
(III) 当 p ≤ 0时, 级数在x = ±1处收敛, 此时收敛域为:[-1,1]
4. 幂级数的一致收敛性
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ∑
n =0
∞
+ an x n +
故幂级数(3)收敛半径为: R=9
∞ yn 32 n =∑ 当y=9时, 级数(3) ∑ 2n 2n n =1 n 3 n =1 n 3 ∞
发散
32 n ( → 1 ≠ 0) 2n n3
故幂级数(3)收敛域为: (-9,9) 故原级数的收敛域为:
( x 1) 2 < 9
2 < x < 4
注: 对于无论从哪项开始都缺项的幂级数, 不能直接用
例1 求下列幂数的收敛域: 1) 解: 1)
(n !) n n ∑ (2n)!! x n =1
∞
2)
( x 1) 2 n ∑ n 32n n =1
∞
(n !) n (n !) n an = = n (2n)!! 2 n !
n
n! n! n ! (n 1)! | an | = n > = = → ∞(n → ∞) n n 2n 2 2 n! 2 n
关于幂级数的数学实验 一、 二、 结论：
f ( x) = sin x 与 f ( x) = sin( x + x0 ) 的图象
一般函数与多项式函数图象
在一定条件下，不同的函数都可以用多项式函数来近似。
进一步： 在一定条件下，可用幂级数来表示函数。
一 幂级数的收敛区间 1. 幂级数 (1)
lim | an | = ρ 和 lim n→∞
n n→∞
| an+1 | =ρ | an |
求收敛半径. 可用直比法 在例2)中, 令
( x 1) 2 n an ( x) = n 32 n
则
( x 1) 2( n+1) an+1 ( x) n 32 n ( x 1) 2 (n + 1) 32( n+1) = = ( x 1) 2 → (n → ∞) 2n 2( n +1) ( x 1) an ( x) (n + 1) 3 9 n 32 n
对每个
∑ u ( x)
n
设
区间I上一致收敛:
定理14.5 若幂级数(2)的收敛半径为R(>0), 且大x=R(或x= -R)时收敛, 则在它
的区间[0,R](或[-R,0])上一致收敛.
lim n | an | = ρ = +∞ 故收敛半径为: R = 0 收敛域为: {0}
n→∞
2)
( x 1) 2 n ∑ n 32n n =1
∞
令
∞
y = ( x 1) 2 则
(3)
∞ ( x 1) 2 n yn ∑ n 32n = ∑ n 32n n =1 n =1
对幂数(3)
1 n 1 2n an+1 (n + 1) 32( n+1) n 32 n 1 3 = = = → (n → ∞) 2( n +1) n +1 2 1 an (n + 1) 3 9 3 32 n n 32 n
发散, 则对满足
发散 x
发散
x o
∞
x 收敛
x
o
x 发散
证:
设级数∑ an x n收敛, 从而数列{an x n }收敛于零且有界,
n =0
| an x n |< M , (n = 0,1,3...) 即存在正整数M,使得 x < 1 则有 另, 对满足 | x |<| x |的任何x, 设 r = x n n x n n x n =| an x | < Mr n . | an x |= an x x xn ∞ Mr n收敛 故对满足 | x |<| x | 的任何x, 幂级数 (2)收敛且绝对收敛; ∑
2. 幂级数的收剑区间 幂级数
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ∑
n =0
∞
+ an x n +
收敛,则对满足 |
(2)
至少有一收敛点: x=0 定理14.1(阿贝尔引理) 若级数(2)在
x=x≠0
的任何x, 幂级数 (2)收敛且绝对收敛; 若幂级数(2)在 x | x |>| x | 的任何x, 幂级数 (2)发散. 收敛
2)
n =0 ∞
xn = 1 + x + x2 + ∑
∞
∞
xn + 2+ n
+ x n1 +
( x 1) 2 n 5) ∑ n 32 n n =1
∞
n! n 3) ∑ nn x n =1
4)
(n !) n n ∑ (2n)!! x n =1
(1),(2),(3),(4),(5)都是幂级数. 其中(5)缺少奇次项. 幂级数2)的收敛域为: (-1,1) 幂级数1)的收敛域? x=1 是幂级数1)的收敛点; x=-1是幂级数1)的收敛点; 当|x|≤1时, x是1)的收敛点.
故该级数的收敛半径为:
∞
R = +∞ 收敛域为: (∞, ∞)
(3)
2 n x 2 n an ( x ) = 2 n x 2 n (用直比法) ∑
n =1
an+1 ( x) 2n+1 x 2( n+1) = = 2 x 2 → 2 x 2 (n → ∞) an ( x) 2n x 2 n 1 1 2 当<x< 时, 级数收敛 当2 x < 1时, 级数收敛 2 2 1
n n =0
∞
∞
0 < ρ < +∞ 由ρ | x |< 1得, 幂级数(2)的收敛半径 R =
1
n =0
ρ
R = +∞,
ρ = 0,
对任何x, 都有
ρ | x |< 1,
幂级数(2)的收敛半径
ρ = +∞,
除x=0外, 对任何x, 都有
ρ | x |> 1, 幂级数(2)的收敛半径
R=0
3. 幂级数的收敛半径计算 定理14.2 对于幂级数(2),若 (I)
注:
xn x 2 x3 + + 例2 求幂级数 ∑ 2 = x + 4 9 n =1 n
解:
∞
xn + 2+ n
的收敛域.
1 an = 2 n
an+1 n2 = → 1(n → ∞) 2 an (n + 1)
1 ∑ n2 收敛 n =1 故该级数在x=-1和x=1处收敛.
∞
所以, 该幂级数的收敛半径为:R=1, 收敛区间为(-1,1)
lim n | an | = ρ
n→∞
则当
0 < ρ < +∞ 时, 幂级数(2)的收敛半径 R =
1
(II) (III)
ρ = 0,
时, 幂级数(2)的收敛半径
R = +∞,
ρ
ρ = +∞, 时, 幂级数(2)的收敛半径 R = 0
| an+1 | lim n | an | = ρ lim =ρ n→∞ n→∞ | a | n | an+1 | = ρ 求幂级数(2)的收敛半径. 故可用 lim n→∞ | a | n
R = +∞ 时, 幂级数(2) 在 (∞, ∞)上收敛; 当 0 < R < +∞ 幂级(2)在(-R,R) 上收敛; 当| x |> R 时, (2)发散.
= ±R
处, 幂级数(2)可能收敛, 也可能发散.
注: 在 x
幂级数(2)的收敛区间 对于幂级数(2):
≠
幂级数(2)的收敛域
A. 求其收敛半径; B. 讨论收敛区间端点的收敛情况.
(2)
定理14.4 若幂级数(2)的收敛半径为R, 则在它的收敛区间(-R,R)内任一闭
区间[a,b]上, 级数(2)都一致收敛.
证:
设x = max{| a |,| b |}, x ∈ ( R, R ). 则 对任意x ∈ [ a, b], 都有
|an x n |≤| an x n | .
而∑ | an x n |收敛, 由M-判别法, 级数(2)在[a,b]上一致收敛.
(±1) 1 当x = ±1时, 有 2 = 2 n n
故该幂级数的收敛域为: [-1,1]
n! n 例3 求幂级数 ∑ n x 的收敛半径. n =1 n
解:
∞
故该幂级数的收敛半径为: R=e
an+1 (n + 1)! n n 1 1 n ! lim = lim = lim = an = n , n→∞ n +1 an n→∞ (n + 1) n ! n→∞ (1 + 1 ) n e n n
an ( x x0 ) n = a0 + a1 ( x x0 ) + a2 ( x x0 ) 2 + ∑
n =0 ∞ n =0 ∞
∞
+ an ( x x0 ) n +
(2)
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + 着重讨论: ∑
例1
+ an x n +
xn x 2 x3 + + 1) ∑ 2 = x + 4 9 n =1 n
( x 1) 2( n+1) an+1 ( x) n 32 n ( x 1) 2 (n + 1) 32( n+1) 2 = = ( x 1) → (n → ∞) 2n 2( n +1) ( x 1) an ( x) (n + 1) 3 9 n 32 n ( x 1) 2 当 < 1 时, 级数收敛, 故收敛半径为: R=3
3. 幂级数的收敛半径计算 定理14.2 对于幂级数(2),若 (I)
lim n | an | = ρ
n→∞
则当
0 < ρ < +∞ 时, 幂级数(2)的收敛半径 R =
1
(II) (III) 证: 对于级数
ρ = 0,
∞
时, 幂级数(2)的收敛半径
R = +∞,
ρ
ρ = +∞, 时, 幂级数(2)的收敛半径 R = 0
n =0 ∞
将以上性质称为：幂级数在收敛区间(-R,R)的内闭一致收敛性.
定理14.5 若幂级数(2)的收敛半径为R(>0), 且大x=R(或x= -R)时收敛, 则在它
的区间[0,R](或[-R,0])上一致收敛.
证明思路: 用阿贝尔判别法证之. 阿贝尔判别法 (i) (ii) (iii)
x ∈ I , {vn ( x)} 是单调的; 和自然数n, 存在正数M, {vn ( x)} 在区间I上一致有界, 即对一切 x ∈ I vn ( x) |< M , 则级数 ∑ n
n | an x n | 由于 lim n | an x | == lim n | an | | x |= ρ | x | ∑ n→∞ n→∞
n =0
由根式判别法, 当ρ | x |< 1时, (I) (II) (III)
| an x |收敛, 当ρ | x |> 1时, | an x n |发散 ∑ ∑
故 级数的收敛半径为: R=1 又当x=1和x=-1时, 级数(1)收敛, 故级数的收敛域为: [-1,1]
(2) (用直比法)
(1) x ∑ (2n)! n =1
∞ n
2n
(1) n x 2 n an ( x) = (2n)!
(1) n+1 x 2( n+1) an+1 ( x) x2 (2(n + 1))! = = → 0(n → ∞) n 2n (1) x (n + 1)(n + 2) an ( x) (2n)!
x
=x
x |<| x |
发散, 则对满足
发散 x
发散
x o
x 收敛
x
o
x 发散
定理14.1(阿贝尔引理) 若级数(2)在
x=x≠0
收敛,则对满足 |
的任何x, 幂级数 (2)收敛且绝对收敛; 若幂级数(2)在 x | x |>| x | 的任何x, 幂级数 (2)发散. 收敛
x
=x
x |<| x |
n =0
(第二部分的证明详见书) 幂级数
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ∑
n =0
∞
+ an x n +
(2)
的收敛区域: 是以原点为中心的区域 若以2R表示区间的长度, 则称R为幂级数(2)的收敛半径, (-R,R)称为(2)的收敛区间. (I) R=0时, 幂级数(2)仅在x=0处收敛; (2) 当 (3)
故幂级数的收敛半径为：R =
又当x = ±
1 2
2
时, 级数发散,故级数的收敛域为(-
1 2
,
1 2
)
(4)
xn ∑ np n =1
∞
1 an = p n
lim n | an | = lim n
n→∞ n→∞
1 =1 p n
故幂级数的收敛半径为： R = 1 (I) 当
p ≤ 0时, 级数在x = ±1处发散, 此时收敛域为:(-1,1)
9
例2
求下列幂级数的收敛域:
xn (1) ∑ n =1 n( n + 1)
(3)
∞
(2)
(1) n x 2 n ∑ (2n)! n =1
∞
2n x 2 n ∑
n =1
∞
(4)
xn ∑ np n =1
1 lim | an | = lim n =1 n→∞ n→∞ n(n + 1)
n
∞
解:
(1)
1 an = n(n + 1)
此时收敛域为:[-1,1) (II) 当 0 < p ≤ 1时, 级数在x = 1处收敛, 在x = 1处发散，
(III) 当 p ≤ 0时, 级数在x = ±1处收敛, 此时收敛域为:[-1,1]
4. 幂级数的一致收敛性
an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + ∑
n =0
∞
+ an x n +
故幂级数(3)收敛半径为: R=9
∞ yn 32 n =∑ 当y=9时, 级数(3) ∑ 2n 2n n =1 n 3 n =1 n 3 ∞
发散
32 n ( → 1 ≠ 0) 2n n3
故幂级数(3)收敛域为: (-9,9) 故原级数的收敛域为:
( x 1) 2 < 9
2 < x < 4
注: 对于无论从哪项开始都缺项的幂级数, 不能直接用
例1 求下列幂数的收敛域: 1) 解: 1)
(n !) n n ∑ (2n)!! x n =1
∞
2)
( x 1) 2 n ∑ n 32n n =1
∞
(n !) n (n !) n an = = n (2n)!! 2 n !
n
n! n! n ! (n 1)! | an | = n > = = → ∞(n → ∞) n n 2n 2 2 n! 2 n