高三数学专题06解析几何题怎么解

高三数学专题06解析几何题怎么解
安振平
高考解析几何试题一样共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一样紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的差不多知识, 这点值得考生在复课时强化.
例1 已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB 为直腰作直角梯形B B A A ''，使A A '垂直且等于AT ，使B B '垂直且等于BT ，B A ''交半圆于P 、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.
(1)写出直线B A ''的方程； （2）运算出点P 、Q 的坐标；
（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.
讲解: 通过读图, 看出'
'
,B A 点的坐标.
(1 ) 明显()t A -1,1', ()，，‘
t B +-11 因此 直线B A ''
的方程为1+-=tx y ；
（2）由方程组⎩⎨⎧+-==+,
1,
122tx y y x
解出 ),(10P 、),(22
21112t t t t Q +-+；
（3）t
t k PT 1
001-=--=,
t t t t t
t t t t k QT
11112011222
22
=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.
需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有味吗?
例2 已知直线l 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y
轴分别交于R 、S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．
讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,
由已知，直线l 只是椭圆的四个顶点，因此设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得
.)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程
.02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a
因此其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆ 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①
在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x =0，求得).,0(),0,(m S k
m
R -
令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12
2
22=+y b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．
方程12
2
22=+y b x a 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?
例3已知双曲线122
22=-b
y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距
离是
.2
3
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.
讲解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-b
y a x 的距离
.
3,1.23
2
2=
=∴==+=
a b c ab b a ab d .
故所求双曲线方程为 .13
22
=-y x
（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则
.
11,315
5311520020
02210k
x y k k kx y k k x x x BE
-=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x
即
7,0,0315311522
2=∴≠=+-+-k k k k
k k k 又 故所求k=±7.
为了求出k 的值, 需要通过消元, 方法设法建构k 的方程.
例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程． 讲解：（1）设
c
F F r PF r PF 2||,||,||212211===, 对,21F PF ∆ 由余弦定理, 得
1)2
(2441244242)(24cos 2
212
22
12221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F
0212=-=e ， 解出 .2
2=e
（2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情形：
i) 当k 存在时，设l 的方程为)(c x k y +=………………①
椭圆方程为),(),,(,1221122
22y x B y x A b y a x =+
由.2
2=e 得 2222,2c b c a ==.
因此椭圆方程可转化为 0
22222=-+c y x ………………② 将①代入②，消去y 得 02)(22222=-++c c x k x ,
整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k .
则x 1、x 2是上述方程的两根．且
2
2
1221122||k
k c x x ++=-， 2
2122
21)1(22||1||k k c x x k AB ++=
-+=，
AB 边上的高,1||2sin ||2
2121k k c F BF F F h +⨯
=∠=
也可如此求解：
||||2
1
2121y y F F S -⋅=
||||21x x k c -⋅⋅=
c k k k k c S 21||)211(2221222+++=
.
2141224412221||12222
42
4
2422
222
c k k c k k k k c
k k k c
<++
=+++=++=
ii) 当k 不存在时，把直线c x -=代入椭圆方程得
2
2221,2||,22c c S c AB c y ⨯==±=
由①②知S 的最大值为22c 由题意得22c =12 因此2226b c == 2122=a
故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12
62122
2=+y x
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：c my x -=…………① （如此设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）
椭圆的方程为：),(),,(,122112
2
22y x B y x A b
y a x =+
由.2
2=
e 得：,,22222c b c a ==因此椭圆方程可化为：0222
22=-+c y x ……② 把①代入②并整理得：02)2(222=---c mcy y m
因此21,y y 是上述方程的两根.
|
|1)()(||122221221y y m y y x x AB -+=-+-=2
)
2(441222222
++++=m m c c m m
2
)1(2222++=
m m c , AB 边上的高2
12m
c h +=
,
从而2
22
2
2
2
)2(122122
)1(2221||21++=+⨯
++⨯==m m c
m c m m c h AB S
.
221
1
112222
22
c m m c ≤+++
+=
当且仅当m=0取等号，即.22max c S =
由题意知1222=c , 因此 212,26222===a c b .
故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12
62122
2=+y x
例5 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两点，且线段
AB 的中点在直线02:=-y x l 上.
（１）求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆42
2
=+y x 上，求此椭圆的方程.
讲解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=11).,(),,(22
2
22211b y a
x x y y x B y x A ，则由 得 02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,
依照韦达定理，得
,22)(,22
22
212122
221b a b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为（2
22
222,b
a b b a a ++）. 由已知得2222222
22
22
22)(22,02c a c a b a b
a b b a a =∴-==∴=+-+ 故椭圆的离心率为2
2
=
e . （2）由（1）知,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线
02:=-y x l 的对称点为,02
221210),,(000000=⨯-+-=⋅--y
b x b x y y x 且则
解得 b y b x 5
4
5300==
且 由已知得 4,4)5
4()53(,42
222020=∴=+∴=+b b b y x
故所求的椭圆方程为14
82
2=+y x .
例6 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(2
2
=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B
两点， （1）假如3
2
4||=
AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.
讲解:（1）由324||=
AB ，可得,3
1)322(1)2||(||||2222
=-=-=AB MA MP 由
A O
B C
射影定理，得 ,3|||,|||||2
=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中， 523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ， 故55-==
a a 或，
因此直线AB 方程是
;0525205252=+-=-+y x y x 或
（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由 点M ，P ，Q 在一直线上，得
(*),22x
y a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得
).2(16
1
)47(22≠=-+y y x
适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.
例7 如图，在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC=
2
2。

DO ⊥AB 于O 点，OA=OB ，DO=2，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；
（2）过D 点的直线L 与曲线E 相交于不同的两点M 、N 且M 在D 、N 之间，设
λ=DN
DM
，
试确定实数λ的取值范畴．
讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y
=
22)2
2
(22222=++ ∴动点P 的轨迹是椭圆 . x
∵.1,1,2===
c b a
∴曲线E 的方程是 12
22
=+y x . （2）设直线L 的方程为 2+=kx y , 代入曲线E 的方程222
2
=+y x ，得
① ②
③ 068)12(2
2=+++kx x k
设M 1（),(),
221,1y x N y x , 则
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
+=+-=+>⨯+-=∆.126,128,06)12(4)8(2212212k x x k k x x k k i) L 与y 轴重合时，3
1
||||==
DN DM λ
ii) L 与y 轴不重合时， 由①得 .2
32
>k 又∵2
1x x x x x x DN DM
N D M D =--==
λ, ∵,012<<x x 或 ,012>>x x
∴0＜λ＜1 ,
∴21
2)(122121221++=++=⋅+λ
λx x x x x x x x .
∵
)
12(332)
12(664)(22
2
2
12
2k
k k x x x x +=+=⋅+
而,232
>k ∴.8)1
2(362<+<k
∴ ,3
16
)1
2(33242<
+
<
k
∴ 31621
4<
++
<λ
λ, 3
1012<+<λλ,
.13
1
,3101,21,10<<⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧
<+>+<<λλλλλλ ∴λ的取值范畴是⎪⎭
⎫⎢⎣⎡1,31 .
值得读者注意的是，直线L 与y 轴重合的情形易于遗漏，应当引起小心.
例8 直线l 过抛物线)0(22
≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于A ),(),(2211y x B y x 和两点. （1）求证：2
214p x x =;
（2）求证：关于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线.
讲解: （1）易求得抛物线的焦点)0,2
(P F .
若l ⊥x 轴，则l 的方程为4
,22
21P x x P x ==显然.
若
l 不垂直于x
轴，可设)2
(P x k y -=,代入抛物线方程整理得
4,04)21(221222
P x x P x k
P P x =
=++-则. 综上可知 2
214p x x =.
（2）设d c d p
d D c p
c C ≠且),2(),,2(2
2
，则CD 的垂直平分线l '的方程为
)
4(2222p
d c x p d c d c y +-+-=+-
假设l '过F ，则)42(2202
2p
d c p p d c d c +-+-=+-整理得
0)2)((222=+++d c p d c 0≠p 02222≠++∴d c p ，0=+∴d
c .
这时l '的方程为y=0，从而l '与抛物线px y 22
=只相交于原点. 而l 与抛物线有两个不同的交点，因此l '与l 不重合，l 不是CD 的垂直平分线.
此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在经历中积存，能力在联想中提升.
课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！
例9 某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口A 和B ，沿着道路AP 、
BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ，∠APB=60°，试说明如何样运土石最省工？
讲解: 以直线l 为x 轴，线段AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在l 一侧必存在经A 到P 和经B 到P 路程相等的点，设如此的点为M ，则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
750||=AB ,
∴M 在双曲线16
25252
2
22=⨯-y x 的右支上. 故曲线右侧的土石层经道口B 沿BP 运往P 处，曲线左侧的土石层经道口A 沿AP 运往P 处，按这种方法运土石最省工.
相关解析几何的实际应用性试题在高考中看起来还未涉及，事实上在课本中还可找到典型的范例，你明白吗？
解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 表达在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.。