会理县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

会理县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 复数2
(2)i z i
-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）
A ．43i -+
B ．43i +
C ．34i +
D ．34i -
【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 2． 若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0 D ．0＜a ＜1且b ＜0
3． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正
方形所组成，该八边形的面积为（ ）
A ．2sin 2cos 2αα-+ B
．sin 3αα+
C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+
4． 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．￢p 或q
D ．p 且￢q
5． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为5，
则n =（ ）
A ．35
B ． 36
C ．120
D ．121
6． 已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）
为平面区域
上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ）
A ．5
B ．3
C ．
2 D
．
7． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞
8． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
9． 已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ） A.2-
B.1-
C. 1
D.
2
【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 10．设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）
A ．-2或-1
B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-1
11．已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，），
且a 2
＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（ ）
A ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，）
B ．（﹣，a 2）∪（﹣a 2，）
C ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ）
D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2，）
12．函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，
），使f （sin φ）=f （cos φ），则实
数m 的取值范围是（ ）
A ．（）
B ．（，
]
C ．（
） D ．（
]
二、填空题
13．函数()x f x xe =在点()()
1,1f 处的切线的斜率是 . 14．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是
15．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32
x = 处的导数302f ⎛⎫
'<
⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
___________．
16．等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，则S 6= ．
17．长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、， 则222sin sin sin αβγ++= ．
三、解答题
18．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各 10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．
已知男、女生成绩的平均值相同． （1）求的值；
（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．
19．（本小题满分12分）
一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．
（Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；
（Ⅱ）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．
20．已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
21．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
22．求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线．求双曲线C的方程．
（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．
23．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()2
ln R f x x ax x a =-+-∈.
（1）若函数()f x 是单调递减函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间()0,3上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.
会理县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】根据复数的运算可知43)2()2(22
--=--=-=i i i i
i z ，可知z 的共轭复数为43z i =-+，故选A.
2． 【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x
﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限， ∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0
﹣b ﹣1＜0，
即a ＞1，b ＞0， 故选：B
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()
ααcos 22cos 2-11221-=+=S ；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积ααsin 2sin 112
1
42=⨯⨯⨯⨯=S ；故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.
考点：余弦定理和三角形面积的求解.
【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角
形面积公式ααsin 2
1
sin 1121=⨯⨯⨯=
S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()
αcos 2-1122+，进而得到正方形的面积()
ααcos 22cos 2-112
21-=+=S ，最后得到
答案.
4． 【答案】 C
【解析】解：在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中
命题p ：平面AC 为平面α，平面A 1C 1为平面β，直线A 1D 1，和直线AB 分别是直线m ，l ，
显然满足α∥β，l ⊂α，m ⊂β，而m 与l 异面，故命题p 不正确；﹣p 正确；
命题q ：平面AC 为平面α，平面A 1C 1为平面β，
直线A 1D 1，和直线AB 分别是直线m ，l ， 显然满足l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，而α∥β，故命题q 不正确；﹣q 正确；
故选C ．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
5． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114
n n n n
a a a a ++-=
+得
2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴2
44(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得
n a =
111
2n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n
项和为
1111
1)(11)522
22
n ++++=
=，∴120n =，选C
． 6． 【答案】D 【解析】解：不等式组
表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A 到直线2x+y ﹣2=0的距离， 即|AM|min =．
故选：D ．
【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．
【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
x
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 8． 【答案】 D
【解析】解：模拟执行算法框图，可得 A=1，B=1
满足条件A ≤5，B=3，A=2 满足条件A ≤5，B=7，A=3 满足条件A ≤5，B=15，A=4 满足条件A ≤5，B=31，A=5 满足条件A ≤5，B=63，A=6
不满足条件A ≤5，退出循环，输出B 的值为63． 故选：D ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A ，B 的值是解题的关键，属于基础题．
【解析】由||||a b a b +=-知，a b ⊥，∴(2)110a b t t ⋅=++⨯=，解得1t =-，故选B. 10．【答案】D 【解析】
试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以
422
2
4==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.
考点：等比数列的性质. 11．【答案】A
【解析】解：∵f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2
，b ），g （x ）＞0的解集为（，
），且a 2
＜，
∴f （x ）＜0的解集为（﹣b ，﹣a 2
），g （x ）＜0的解集为（﹣，﹣
），
则不等式f （x ）g （x ）＞0等价为
或，
即a 2＜x ＜或﹣＜x ＜﹣a 2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a 2）∪（a 2
，），
故选：A ． 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f （x ）＜0和g （x ）＜0的解集是
解决本题的关键．
12．【答案】A
【解析】解：∵函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ）， ∴函数f （x ）关于x=m 对称，
若φ∈（
，
），
则sin φ＞cos φ，
则由f （sin φ）=f （cos φ）， 则=m ，
即m==
（sin φ×
+cos αφ）=sin （φ+
）
当φ∈（
，
），则φ+
∈（
，
），
则＜sin （φ+
）＜，
则＜m ＜，
故选：A
【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】2e 【解析】 试题分析：
()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率. 14．【答案】 0
【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin +sin
+…+sin
的值，
由于sin 周期为8，
所以S=sin
+sin
+…+sin
=0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．
15．【答案】12
【解析】
考
点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就
是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和ω，再结合极值点的导数等于零，可求出ϕ.在求ϕ的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用
302f ⎛⎫
'< ⎪⎝⎭
来验证.求出()f x 表达式后，就可以求出13f ⎛⎫
⎪⎝⎭
.1 16．【答案】 ﹣21 ．
【解析】解：∵等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，
∴a 1（﹣）5
=1，解得a 1=﹣32，
∴S 6=
=﹣21
故答案为：﹣21
17．【答案】 【解析】
试题分析：以1AC 为斜边构成直角三角形：1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆，由长方体的对角线定理可得：
222
2
2
2
1111
222111sin sin sin BC DC AC AC AC AC αβγ++=++22212
12()2AB AD AA AC ++==.
考点：直线与直线所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键．
三、解答题
18．【答案】（１） 7a =；（２） 3
10
P =． 【解析】
试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．
其
中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况． 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率3
10
P =．1 考点：平均数；古典概型．
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有
时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好． 19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，
∴所求概率为22
44225516
125
C C P C C =-⋅=（6分）
（Ⅱ）0,1,2,ξ= 23253(0)10C P C ξ===，1123253(1)5C C P C ξ⋅===，2
22
51
(2)10
C P C ξ===，（9分） 故
的分布列为：
（10分）
∴3314
012105105
E ξ=⨯
+⨯+⨯= （12分） 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f （x ）=sin cos +cos 2
=sin （+），
∴由2k
≤+
≤2k π
，k ∈Z 可解得：4k π﹣
≤x ≤4k π，k ∈Z ，
∴函数f （x ）单调递增区间是：[4k π﹣，4k π
]，k ∈Z ．
（Ⅱ）∵f （A ）=sin （+
）
，
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA ﹣sinC ）cosB=2sinAcosB ﹣sinCcosB ， ∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB ，
∴sin （B+C ）=2sinAcosB ，又sin （B+C ）=sinA ≠0，
∴cosB=，又0＜B ＜π，
∴B=
．
∴可得0＜A ＜，
∴＜+
＜
，
∴
sin （+
）＜1，
故函数f （A ）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有10÷0.25=40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为： 40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：
×=2.9；
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A ，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，
则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，
则P （B ）=
．
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．
22．【答案】
【解析】解：（1）由椭圆
+
=1，得a 2=8，b 2=4，
∴c 2=a 2﹣b 2
=4，则焦点坐标为F （2，0），
∵直线y=x 为双曲线的一条渐近线，
∴设双曲线方程为（λ＞0），
即
，则λ+3λ=4，λ=1．
∴双曲线方程为：；
（2）由3x ﹣4y ﹣12=0，得
，
∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，﹣3）， ∴分别以（4，0），（0，﹣3）为焦点的抛物线方程为：
y 2=16x 或x 2=﹣12y ．
【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1）的求解，设出以直线为一条渐近线的双
曲线方程是关键，是中档题．
23．【答案】（1）a ≤2）193
a <<. 【解析】试题分析：
（1）原问题等价于()0f x '≤对()0,+∞恒成立，即1
2a x x
≤+对()0,+∞恒成立，结合均值不等式的结论可
得a ≤
（2）由题意可知()221
0x ax f x x
-+-'=
=在()0,3上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数a 的
取值范围是19
3
a <<.
试题解析：
（2）∵函数()f x 在()0,3上既有极大值又有极小值，
∴()221
0x ax f x x
-+-'=
=在()0,3上有两个相异实根， 即2
210x ax -+=在()0,3上有两个相异实根，
记()2
21g x x ax =-+，则()()0
03{ 4
0030a
g g ∆><<>>
，得{012 19
3
a a a a -<<<
，
即19
3
a <<.。