房山2020高三数学期末答案

房山区2019-2020学年度第一学期期末检测答案
高三数学
一、选择题（每小题5分，共40分）
（11）2
2
(1)(1)2x y -+-= （12）3 （13）1
1(1)()2
n --⋅或1
n
-
（答案不唯一） （14）π；
6
π （15）(,1]-∞；(1,1]- （16）0；217
三、解答题（共6小题，共80分）
（17）（本小题13分） 解：
（Ⅰ）∵33sin DBC ∠=
，22
sin cos 1,02
DBC DBC DBC π∠+∠=<∠< ∴13cos 14
DBC ∠=
在△BDC 中，,3
=
C DBC C BDC π
π∠∠+∠+∠=
∴sin sin()BDC DBC C ∠=∠+∠sin cos cos sin DBC C DBC C =∠⋅+∠⋅
33113343
1421427=
+⋅=
（Ⅱ）在△BDC 中，由正弦定理得
sin sin CD BD
DBC C =
∠333
=
解得7BD = ∵2
ABD DBC π
∠+∠=
，33
sin DBC ∠=
， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
B
C
D
A
D
A
C
B
B
∴cos ABD ∠33
14
=
在△ABD 中，33AB =
2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠
2233
(33)7233749=+-⋅= 解得7AD =
（18）（本小题13分） 解：
（Ⅰ）从A 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，
从B 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，
设“所取两个数据都不低于55”为事件A ，则
11411
()=
=
2020100
P A ⨯ （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2
2016422060
(0)==95C C P X C =，
1116422032
(1)==95C C P X C =，
021642203
(2)==95
C C P X C =，
∴X 的分布列为
X 0 1 2
P
1219
32
95 395
∴期望()0121995955
E X =⨯+⨯+⨯=
（Ⅲ）如果选择A ，可以从A 的亩产数据的中位数或平均值比B 高等方面叙述理由．
如果选择B ，可以从B 的亩产数据比A 的方差小，比较稳定等方面叙述理由． （19）（本小题14分） 解：
（Ⅰ）因为CD ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，AE ⊂平面PAD
所以CD AD ⊥，CD AE ⊥．
又因为△PAD 为等边三角形，E 为PD 的中点， 所以PD AE ⊥．
所以AE ⊥平面PCD ．
（Ⅱ）取AD 的中点O ，连结,OP OB ，则易知 // OB CD ，OB ⊥AD ，OB ⊥OP ．
因为△PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥．
以O 为原点，以OA OB OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴如图建系，
133
(1,0,0),((0,2,0)2A E F B -
33(2u u u r AE =-，1
(,1,0)2u u u r EF =
设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =r
，则：
00
r u u u r r u u u
r n AE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33022102
x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令2x =，得平面AEF 的一个法向量(2,1,3)r
n =-
易知平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)OB =u u u r
17cos ,1724112
u u u r r
u u u r r u u u r r OB n OB n OB n ⋅<>==
=-++ 所以平面AEF 与平面PAD 17
． （Ⅲ）假设棱PC 上存在点G ，使得 //DG 平面AEF ，且
设[],0,1PG
PC
λλ=∈，则PG PC λ=u u u r u u u r ， (0,03),(1,2,0),(1,0,0)P C D --，(1,2,3)PC =-u u u r
，则(,233)G λλλ-
(1,233)DG λλλ=-u u u r
要使得 //DG 平面AEF ，则222660u u u r r DG n λλλ⋅=--+-=，得4
5
λ=，
所以线段PC 上存在点G ，使得 //DG 平面AEF ，
4
5
PG PC =． （20）（本小题14分）
（Ⅰ）由已知得，2c =，2b =，2228a b c =+=
椭圆E 的方程为22
184
x y += z y
x
O A B D
E
F P
离心率为22
c e a =
= （Ⅱ）在x 轴存在定点M ，M 为(20)，-使MP MQ ⊥
证明：
设直线方程为y kx m =+
代入22
184
x y +=得222()8x kx m ++=，化简得222(21)4280k x kmx m +++-= 由2
2
2
(4)4(21)(28)0km k m ∆=-+-=，得22840k m +-=，2284m k =+，
22821km k
x k m
--=
=+
设00(,)P x y ，则08k x m -=，2200884k m k y kx m k m m m m --=+=⋅+==，则84
(,)k P m m
- 设1(4,)Q y -，则14y k m =-+，则(4,4)Q k m --+
001(2,)(2,)u u u r u u u u r
MP MQ x y y ⋅=+⋅-0012(2)x y y =-++
842(
2)(4)k k m m m -=-++-+164
4(4)0k k m m m
=-+-+= 所以在x 轴存在定点()20，M -使MP MQ ⊥．
解法二：由椭圆的对称性不妨设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x ．
22184x y +=得2
218
=-x y 得002x k y =-．
切线方程为0
000
()2x y y x x y -=-
-，令4x =-得22000001000004224
(4)22x x x y x y x y y y y --++=--+==
，002(2)(4,)y x Q +-． 所以，000100
2(2)
(2,)(2,)2(2)0u u u r u u u u r x MP MQ x y y x y y +⋅=+⋅-=-++=． 所以在x 轴存在定点()20，M -使MP MQ ⊥． （21）（本小题13分）
（Ⅰ）由()(21)ln 1f x x x x =-+-，得1
'()2ln 3f x x x
=-
+
(1)2(1)0f f '∴==，
则切线方程为22y x =-. （Ⅱ）证法1：1
'()2ln 3,(0,)f x x x x
=-
+∈+∞， 令1
()2ln 3,(0,)h x x x x
=-
+∈+∞， 222121
'()0x h x x x x
+∴=+=>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增.
又1(1)20,()1ln 4ln 024
e
h h =>=-=<，又()h x 在(0,)+∞上连续，
01
(,1)2
x ∴∃∈使得0()0h x =，即0'()0f x =，
∴00
1
2ln 30x x -
+=.（*） '(),()f x f x 随x 的变化情况如下：
x 0(0,)x 0x 0(,)x +∞
'()f x -
+ ()f x
↘
极小值
↗
∴min 0000()()(21)ln 1f x f x x x x ==-+-.
由（*）式得0013
ln 22
x x =
-，代入上式得 min 0000001313
()()(21)()122222
f x f x x x x x x ==--+-=--+.
令131
()2,(,1)222t x x x x =--+∈，
221(12)(12)'()2022x x t x x x +-=-=<，故()t x 在1
(,1)2
上单调递减.
()(1)t x t ∴>，又(1)1t =-，.
即0()1f x >-()1f x ∴>-.
证法2：()(21)ln 12ln ln 1,(0,)f x x x x x x x x x =-+-=-+-∈+∞， 令()2ln ,()ln 1,(0,)h x x x t x x x x ==-+-∈+∞，
'()2(ln 1)h x x =+，令'()0h x =得1
x e
=.
'(),()h x h x 随x 的变化情况如下：
x
1(0,)e 1e 1
(,)e
+∞ '()h x -
+
()h x
↘
极小值
↗
min ()()h x h e e
∴==-，即2ln x x e ≥-，当且仅当1x e =时取到等号.
1'()x t x x
-=，令'()0t x =得1x =.
'(),()t x t x 随x 的变化情况如下：
x
(0,1) 1 (1,)+∞
'()t x -
+
()t x
↘
极小值
↗
min ()(1)0t x t ∴==，即1ln 0x x --≥，当且仅当1x =时取到等号.
2
2ln (ln 1)1x x x x e
∴+-+->->-.
即()1f x >-. （22）（本小题13分）
（Ⅰ）集合A 不是，因为1233813+=++，即子集{1,23}与子集{3,8,13}元素之和相等； 集合B 是，因为集合B 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等. （Ⅱ）由集合P 是“差异集合”知：
123{,,,,}k a a a a L 的21k -个非空子集元素和为互不相等的21k -个正整数，
于是1221k
k a a a +++≥-L ，
所以
0111212(2)(2)(2)
()(21)0k k k k
k D a a a a a a -=-+-++-=+++--≥L L
（Ⅲ））不妨设123n a a a a <<<<L ，考虑
11231111111(1)()()()242--+-+-++-L n n
a a a a
13121
1234
212242------=++++L n n n n
a a a a a a a a 32
11211123242-----=++++L n n n n
D D D D D D D a a a a 1212211122311111111()()()222222-----=-+-++-+L n n n n n n n n
D D D D a a a a a a a 0≥
而111111
122422
--++++=-L n n ，所以112111122L n n a a a -+
++≤- 当1
{1,2,4,,2}n P -=L 时，112111122
n n a a a -+
++=-L ；
综上，
12111n a a a +++L 的最大值为1122
n --.。