甘肃省西北师范大学附属中学2019届高三数学上学期期中试题 理

2018-2019-1学期高三年级期中考试试题
数学 （理 科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．设全集U 是实数集R ，集合M ＝{x |x <0或x >2}，N ＝{x |y =log 2(x －1) }，则(∁U M )∩N 为( ) A ．{x |1<x <2} B ．{x |1≤x ≤2} C． {x |1<x ≤2} D ．{x |1≤x <2}
2．下列结论中正确的是( )
A ．命题“若x 2
－3x ＋2＝0，则x ＝1”的否命题是“若x 2
－3x ＋2＝0，则x ≠1” B ．命题p ：存在x 0∈R ，sin x 0>1，则
p ：任意x ∈R ，sin x ≤1
C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题
D ．“x 2
＋2x －3<0”是命题．
3. 条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是( )
A ．(4，＋∞)
B ．(－∞，－4)
C ．(－∞，－4]
D ．[4，＋∞)
4．已知f (x )＝3log 0,0.
x
x x a b x >⎧⎨+≤⎩且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )
A ．－3
B ．3
C ．－2
D ．2
5．已知sin(π－α)＝－23，且α∈(－2
π
，0)，则tan(2π－α)的值为( )
A B. C 6. 设函数f (x )=sin(x +
3
π
)，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为−4π
B ．y =f (x )的图像关于直线对称x =6
π
C ．f (x +π)的一个零点为x =
53π D ．f (x )在(2
π
,π)单调递增
7．设f (x )＝x 3
＋bx ＋c ，若导函数f ′(x )>0在[－1，1]上恒成立，且f (-12)·f (12
)<0，则
方程f (x )＝0在[－1，1]内根的情况是( )
A ．可能有3个实数根
B ．可能有2个实数根
C ．有唯一的实数根
D ．没有实数根
8. 将函数y =sin(2x +
3
π
) 图象上各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于直线512
x π
=对称，则m 的最小值为( )
A ．76π
B ．6π
C ．8π
D ．724
π
9. 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ2π)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (24
π
)
＝( )
A
．2
（第9题） （第10题） 10. 函数f (x )＝
2(2)m x
x m
-+的图象如图所示，则m 的取值范围为( )
A ．(－∞，－1)
B ．(1,2)
C ．(0,2)
D ．(－1,2)
11．定义运算
a b
c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，sin sin cos cos αβαβ=，0<β<α<2
π
，则β=( )
A.
12π B.6π C.4π D.3
π 12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其导函数为f ′(x )，若f ′(x ) < f (x )，且 f (x ＋
1)＝
f (3－x )，f (2 015)＝2，则不等式f (x )<2e x -1的解集为( )
A ．(1，＋∞) B．(e ，＋∞) C．(－∞，0) D ．(－∞，1e
)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若曲线y ＝e -x
上点P 处的切线平行于直线3x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 14．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3
＋x 2
f ′(1)，则2
()f x dx ⎰＝________.
15. 已知函数f (x )=x cos x ，现给出如下命题：① 当-4,-3)时，f (x ) > 0；
② f (x )在区间(5,6)上单调递增； ③ f (x )在区间(1,3)上有极大值； ④ 存在M >0，
D
C
B
A
P
使得对任意x R ，都有 f (x M ．其中真命题的序号是 .
16．若△ABC 的内角满足sin A
B ＝2sin
C ，则cos C 的最小值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）
已知函数f (x
21cos cos 2222
x x x -+.
（I ）求函数f (x )的单调递减区间；
（II ）若△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，f (A )=1
2
，a
sin B =2sin C ，求
c .
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA =AD =1，AB =2，∠PAB =120°,
∠PBC =90°.
（I ）平面PAD 与平面PAB 是否垂直？并说明理由； （II ）求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．
19.（本小题满分12分）
某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败． (I) 求图中a 的值； (II) 根据已知条件完成下面
列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与
性别有关？
(III) 将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取3人进行约谈，记这3人
中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望E (X )．
，其中
参考公式：
20. （本小题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>
，点P (0,1)在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-uu u r uu u r .
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）过点P 的直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点.若12
PB AP =uu r uu u r
，求直线l 的方程.
21．（本小题满分12分）
已知函数x ax x a x f ++-=2ln )21()(. （I ）讨论)(x f 的导函数)('x f 的零点个数； （II ）当0<a 时，证明：a
a a a x f 43)211ln(2)(-+--<.
（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第
一题计分.
22. （本小题满分10分）
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2
θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l
：24x y ⎧
=-+
⎪⎪⎨
⎪
=-+⎪⎩
(t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．
(I) 求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （II ）若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．
23. （本小题满分10分）
已知函数f (x )＝|x －1|.
(I) 解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (II) 若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：
()
f ab a ＞()b f a
.
2018-2019-1学期年级期中考试参考答案
高三数学 （理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． (－ln 3,3) 14. －4. 15. ①② 16． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分） 17.（12分）【解析】：（Ⅰ）1
()cos 2
f x x x =
-sin()6x π=- …………………2分
由
226
k x π
π
π+≤-
322
k π
π≤
+，k Z ∈， 得223k x ππ+≤523
k π
π≤+，k Z ∈ …………………5分 ∴函数()f x 的单调递减区间为25[2,2]33
k k ππππ++，k Z ∈ …………………6分 （II ）∵1()sin()62f A A π=-=，(0,)A π∈，∴3A π
=
…………………8分
∵sin 2sin B C =，∴由正弦定理sin sin b c
B C
=，得2b c = …………………10分 又由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-，a =22213442
c c c =+-⨯.
解得1c = …………………12分 18.（12分）【解析】（I ）平面PAD
⊥平面PAB ； (1)
分
证明：由题意得AD AB ⊥且//AD BC
又BC PB ⊥，则DA PB ⊥ …………………………3分
则DA ⊥平面PAB , ………………5分
故平面PAD ⊥平面PAB ………………6分 （Ⅱ）以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为ｙ轴建立
空间直角坐标系如右图示，则(0,0,1)D ,(0,2,1)C ,1,0)2
P -
可得5
,1)2
CP =--uur , 02,0DC =（,）uuu r ……………………… 7分
设平面PCD 的法向量为,m x y z =（,）u r
,
则502
20y z y --=⎪=⎩
， 令x =2
得，2m =（,u r ……………………………………9分 又平面ABCD 的一个法向量为10,0m =（,）u r
， ……………………………………10分 设平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的大小为θ，显然为锐角θ，
∴cos θ
. ……………………………………12分 方法二：过点P 作BA 的垂线交BA 的延长线于点F,过点F 作EF⊥AB, 交CD 的延长线于点D.
则∠PEF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角. …………………8分 ∵PA=1, ∠PAB=120°,
又EF =AD =PA = 1
, …………………10分 ∴∠PEF=EF PE ==
…………………12分
19.（12分）【解析】Ⅰ由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，
可知
，解得
；…………………2分 Ⅱ由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为
人，填表如下：
……………4分 假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得，……………6分 所以有超过
的把握认为“晋级成功”与性别有关；……………7分
Ⅲ由频率分布直方图知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，
这人晋级失败的概率为，所以X 可视为服从二项分布，即，…………8分，故，
，
，
，
所以X的分布列为
…………11分数学期望为，或
………12分
20. （12分）【解析】（1）由题意，e =
c
a
=a
又C
(0,b)，D(0,-b). ∴PC PD
⋅=(b-1)(-b-1)=-1，∴b2=2
∴a=2, 所以椭圆E的方程为
2
2
1
4
2
x y
+=分
（2）当直线l的斜率不存在时，01
PB=-
（）
uu r
，01
AP=+
（）
uu u r
，
1
2
PB AP
≠
uu r uu u r
，不符合题意，不存在这样的直线. 6分
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1. A(x1,y1) , B(x2,y2).
联立方程
22
1
42
1
x y
y kx
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,
由韦达定理得x 1+x 2=
2412k k -+，x 1x 2=2
2
12k
-+，8分
由12PB AP =uu r uu u r 得，(x 2,y 2-1)= 12
(-x 1,1-y 1), ∴x 2=-1
2x 1,
∴x 1 =2812k k -+，x 12 =
2412k +， 解得k 2
=114， ∴k =
所以直线l 的方程为y =x +1. 12分
21．（12分）【解析】(Ⅰ) f (x )的定义域为(0,+∞)，
2(212)(1)
(12212)21a ax x ax a x f x ax x x a x
+-+'=-++++=
-=. ……2分 若0a =，由10-<，()f x '没有零点；. ……3分 若0a <或12
a >，由2102a a ->，21
()02a f a -'=，10-<，()f x '有一个零点；. ……4分 若1
02
a <≤
，由
2102a a -≤，10-<，()f x '没有零点．. ……5分 综上所述，当0a <或1
2a >时()f x '有一个零点；当102a ≤≤时()f x '没有零点．. ……6分
(Ⅱ)由（1）知，(212)(1)
()ax a x f x x
+-+'=， 0a <时
当1
(0,1)2x a
∈-
时，()0f x '>；当1(1)2x a ∈-+∞，时，()0f x '<. 故()f x 在1(0,1)2a
-
单调递增，在1
(1)2a -+∞，单调递减.. ……7分 所以()f x 在1
12x a
=-取得最大值， 最大值21111(1)(12)ln(1)(1)12222f a a a a a a
-=--+-+-，. ……8分 即111(1)(12)ln(1)224f a a a a a
-
=--+-. 所以13
()2ln(1)24f x a a a a <--+-等价于11ln(1)022a a
-
+<， 即11ln(1)(1)1022a a
-
--+<，其中1
112a ->． . ……10分 设()ln 1g x x x =-+，则1
()1g x x
'=
-.
当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<. 所以()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减.
故当1x =时()g x 取得最大值，最大值为(1)0g =. ……11分 所以当1x >时，()0g x <. 从而当0a <时11
ln(1)(1)1022a a
---+<， 即13()2ln(1)24f x a a a a
<--
+-． . ……12分 22. （10分）【解析】(Ⅰ)把⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2
＝2ax (a >0)， (2)
分
由24x y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪
=-⎪⎩
(t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，……………4分 ∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2
＝2ax (a >0)，x －y －2＝0. ……5分
(II)
将24x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪
=-⎪⎩
(t 为参数)代入y 2＝2ax ， 整理得t 2
－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. ……………7分
设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ……………8分 ∵|MN |2
＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2
＝(t 1＋t 2)2
－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1. ……………10分
23. （10分） 【解析】 (Ⅰ)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝
⎩⎪⎨
⎪⎧
－3x －2，x ＜－3，
－x ＋4，－3≤x ＜12，3x ＋2，x ≥1
2
，
当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－10
3； ……………1分
当－3≤x ＜1
2
时，－x ＋4≥8无解；……………2分
哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊
当x ≥12
时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2. ……………3分 所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－103或x ≥2.……………5分 (II)证明：
()f ab a ＞()b f a 等价于f (ab )＞|a |()b f a
，即|ab －1|＞|a －b |. ……………7分 因为|a |＜1，|b |＜1，
所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2
－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立．……………10分。