山西高二高中数学期中考试带答案解析

山西高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.直线的倾斜角是
A．B．C．D．
2.截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是
A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台
3.用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为，则球的表面积为
A．B．C．D．
4.已知两条直线和互相平行，则实数a等于
A．1或-3B．-1或3C．1或3D．-1或-3
5.已知两条直线，两个平面，下面四个命题中不正确的是
A．
B．
C．
D．
6.某一空间几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为
A．B．
C．D．
7.以为端点的线段的垂直平分线的方程是
A．B．
C．D．
8.如图PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
9.如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为9，则其表面积的值为（）
A．B．C．D．
10.从动点向圆作切线，则切线长的最小值为（）
A．2B．3C．D．
11.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
12.在中，，M为AB的中点，将沿CM折起，使间的距离为，则M到平面ABC的距离为
A．B．C．1D．
二、填空题
1.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得弦长为__________．
2.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是__________．
3.如图所示，在长方体中则在长方体表面上连接两点的所有曲线长度最小值为__________．
4.已知球的直径SC＝4，A，B是该球面上的两点，,则三棱锥S－ABC的体积为
________．
三、解答题
1.求斜率为且与坐标轴围成的三角形面积是6的直线方程．
2.如图，矩形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD, AE平面CDE．
求证：（1）AB//平面CDE;
（2）CD平面ADE．
3.已知圆C ： ，直线: ． （1）求证：对，直线与圆C 总有两个不同的交点； （2）若直线被圆C 截得的弦长最小时，求直线的方程．
4.如图1矩形APCD 中，AD ＝2AP ，B 为PC 的中点，将三角形APB 折沿AB 折起，使得PD ＝PC ，如图
2．
（1）若E 为PD 中点，证明CE//平面APB ； （2）证明：平面APB 平面ABCD ．
5.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC, 是等边三角形． （1）在棱AC 上是否存在一点M ，使直线AB 1//平面BMC 1,请证明你的结论． （2）设D 为AC 的中点，P 为AB 1上的动点， 且AB ＝2，AA 1=．求三棱锥P －BC 1D 的体积．
6.已知一个动点M 在圆上移动，它与定点Q （4,0）所连线段的中点为P ． （1）求点P 的轨迹方程．
（2）过定点（0，－3）的直线l 与点P 的轨迹交于不同的两点且满足
，求
直线l 的方程．
山西高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.直线的倾斜角是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】将直线方程
转化为斜截式为
，所以其斜率为，所以其倾斜角为
，故选B ．
【考点】直线的斜率和倾斜角．
2.截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是 A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球
D ．圆台
【答案】C
【解析】圆柱的截面可以是矩形，圆锥的截面可以是三角形，圆台的截面可以是梯形，值有球的截面都是圆，故选C．
【考点】几何体的截面图形．
3.用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为，则球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据截面圆的面积为，可知该截面圆的半径是，从而可以求得该球的半径为，所以球的表面积为，故选C．
【考点】球的表面积．
4.已知两条直线和互相平行，则实数a等于
A．1或-3B．-1或3C．1或3D．-1或-3
【答案】A
【解析】根据两直线平行的条件，可知，整理得，解得或，故选A．【考点】两直线平行的条件．
5.已知两条直线，两个平面，下面四个命题中不正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据一条直线垂直于互相平行的两个平面中其中之一，那么和另一个平面也垂直，当直线与平面垂直时会垂直于面内的任意直线，所以A对，互相平行的直线其中一条与一个平面垂直，另一条也垂直于这个平面，如果一条直线垂直于互相平行的两个平面之一，那么也和另一个平面垂直，所以B对，C对，对于D项，还可能出现线在面内的情况，所以D是错误的，故选D．
【考点】空间平行垂直关系的判断．
6.某一空间几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题中所给的几何体的三视图可以确定该几何体是一个圆柱和一个四棱锥的组合体，根据几何体的体积公式可以求得其体积为，故选C．
【考点】根据几何体的三视图求其体积．
7.以为端点的线段的垂直平分线的方程是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据线段的中垂线过线段的中点，且与线段垂直，又，所以线段的中垂线的斜率为，且
线段的中点为，根据点斜式可以得出其方程为，即，故选B．
【考点】线段的中垂线方程．
8.如图PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】D
【解析】观察图形，根据空间垂直关系的判定方法，可以得出下面几组互相垂直的平面：面面，面面，面面，面面，面面，一共对，故选D．
【考点】面面垂直的判定．
9.如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为9，则其表面积的值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设该正四面体的棱长为，则一个面的面积为，定点到底面的距离即正四面体的高为，所以其体积为，解得，所以其表面积为
，故选A．
【考点】正四面体的体积和表面积．
10.从动点向圆作切线，则切线长的最小值为（）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【解析】由于切线、过切点的半径、与圆心的连线构成一个以为斜边的直角三角形，而半径是定值,所以要使得切线长最小,只需长度最小即可，由于，在直线上运动,所以的最小值就是到直线的距离，所以切线长的最小值是，故选D．
【考点】圆的有关性质，与圆有关的最值．
【思路点睛】该题考查的是有关圆的切线长的问题，首先画图，能够从切线、半径以及圆心与圆外的一点所构成的直角三角形中看到圆的半径是定量，切线的长短受圆外的点到圆心的距离的大小，从而将问题转化为判断什么时候圆外的点到圆心的距离最近，还有从点的坐标判断出点在直线上，转化为点到直线的距离来求解，再应用勾股求出相应的值．
11.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】直线表示斜率为的直线，而曲线表示以为圆心以为半径的下半圆，如图
由图可知，当直线与曲线相切时取到最小值，则有，解得；当直
线经过点时取到最大值，此时。

所以，故选D．
【考点】直线与曲线有公共点是参数的取值范围，数形结合思想的应用．
【易错点睛】该题考查的是有关直线与曲线有公共点时参数的取值范围的问题，属于较难题目，在做题的过程中，要注意看清化简后的曲线与圆有关，但是并不是整个圆，而是下半个圆，如果不注意这点，很容易错选，再结合着图形，找出相应的边界值，从而确定出最后的结果，一个边界值是相切的时候，一个不是．
12.在中，，M为AB的中点，将沿CM折起，使间的距离为，则M到平面ABC的距离为
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】由已知得，，，由为等边三角形，取中点，则，交于，则，，．折起后，由，知
，又，∴，于是
,∴．∵，∴平面，即是三棱锥的高，,设点
到面的距离为，则因为，所以由，可得，所以，故选A．
【考点】翻折问题，利用等级法求点面距离．
【思路点睛】该题属于求点到面的距离问题，属于中等题目，一般情况下，在文科的题目中，出现求点到平面的距离问题时，大多数情况下，利用等级法转换三棱锥的顶点和底面，从而确定出所求的距离所满足的等量关系式，在做题的过程中，可以做一个模型，可以提高学生的空间想象能力，提升做题的速度．
二、填空题
1.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得弦长为__________．
【答案】
【解析】将圆的方程可以转化为：，即圆的圆心为，半径为，∴
到直线的距离，即弦心距为，∴，所以弦长为．
【考点】直线被圆截得弦长问题．
2.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为已知直线过点，那么圆的方程配方可知为，表示的是圆心为，半径为的圆，那么设过点的直线的斜率为，直线方程为:，则点到直线距离等于圆的
半径，有，化简得，所以，然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候，可知斜率的取值范围是，故答案为．
【考点】直线与圆的位置关系．
【方法点睛】该题考查的是直线与圆的位置关系，属于中档题目，要求解直线与圆有两个交点时的情况，先考虑临界情况，那就是相切时，然后结合图形，直线的倾斜角与斜率的关系，进而分析得到，而后者的运用是解决该题的核心知识点．
3.如图所示，在长方体中则在长方体表面上连接两点的所有曲线长度最小
值为__________．
【答案】
【解析】将长方体的面分别展开平铺，当四边形和四边形在同一平面内时，最小距离为四边形的对角线，长度是，当四边形和四边形在同一平面内时，最小距离为
四边形的对角线，长度是，四边形和四边形在同一平面内时，最小距
离为四边形的对角线，长度是，所以最小距离是．
【考点】平铺展开求最值．
【易错点睛】该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连结两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个就是，容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果就是，从而出现错误，所以一定要注意应该有三条路径．
4.已知球的直径SC＝4，A，B是该球面上的两点，,则三棱锥S－ABC的体积为
________．
【答案】
【解析】取的中点，则为球心，则，，所以在垂直于的大圆圆周上，即,故三棱锥的体积等于棱锥和棱锥
的体积之和，即．
【考点】求球的内接棱锥的体积．
【方法点睛】该题属于求球的内接三棱锥的体积的问题，属于中档题目，求三棱锥的体积关键是确定底面和高，一般的时候，找一个易求高的底面，还可以对几何体进行适当的割补，而该题根据题意画好图之后，能够发现三棱锥的定点所处的位置的特殊性，再确定出相关的量，最后应用体积公式求得结果．
三、解答题
1.求斜率为且与坐标轴围成的三角形面积是6的直线方程．
【答案】或．
【解析】该题考查的是有关直线方程的问题，在解题的过程中，首先根据条件用斜截式先设出直线的方程，求得直线与坐标轴的交点的坐标，即直线在坐标轴上的相应的截距，应用三角形的面积公式，列出相应的等量关系式，从而求得结果．
试题解析：设直线方程为，令得，令得，
所以有
解得，．
所以直线的方程为：或．
【考点】直线方程的斜截式，三角形的面积．
2.如图，矩形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD, AE平面CDE．
求证：（1）AB//平面CDE;
（2）CD平面ADE．
【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析．
【解析】第一问利用矩形的对边平行得到相互平行的直线，再结合线面平行的判定定理，得到对应的结果，第二问根据题中所给的条件线面垂直，结合线面垂直的性质，得到，再根据矩形的条件得出，从而根据线面垂直的判定定理得出对应的结果．
试题解析：（1）在矩形中，，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，且平面，所以，
在矩形中，且，所以平面．
【考点】线面平行的判定，线面垂直的判定．
【易错点睛】该题考查的是有关线面平行的判定以及线面垂直的判定，属于较易题目，在解题的过程中，需要学生对相应的判定定理的条件掌握的很好，在书写的过程中，线面平行的判定定理的条件，线在面内和线在面外的条件很容易被忽略，从而得不了满分，所以要时刻关注着，在证明线面垂直的时候，要把握好线面垂直的判定定理，而线面垂直的判定定理中，两条直线相交这一条是万万不能丢的．
3.已知圆C：，直线: ．
（1）求证：对，直线与圆C总有两个不同的交点；
（2）若直线被圆C截得的弦长最小时，求直线的方程．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】第一问利用直线所过的定点在圆的内部，从而得到直线与圆是相交关系，从而确定出直线与圆有两个不同的交点，第二问利用与圆相关的性质，得到过圆内的一点最长弦为直径，最短弦为垂直于相应的直径的弦，之后再利用点斜式确定出直线的方程．
试题解析：（1）证明：直线恒过定点，又，
所以点在圆的内部，
所以直线与圆总有两个不同的交点；
（2）当直线被圆截得的弦长最小时，直线垂直于点与定点的连线，
因为
，所以
，
所以所求直线的方程为，即
．
【考点】直线与圆的位置关系，过定点的直线被圆截得最短弦问题．
4.如图1矩形APCD 中，AD ＝2AP ，B 为PC 的中点，将三角形APB 折沿AB 折起，使得PD ＝PC ，如图
2．
（1）若E 为PD 中点，证明CE//平面APB ； （2）证明：平面APB 平面ABCD ． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】
试题解析：（1）证明：如图，取中点，，连结，
为中点，
且．
且
，
且，四边形为平行四边形，． 平面，平面， 平面．
（2）证明：如图，取中点，中点，连接． ，为中点，， 又，平面，平面， 平面． 又平面，． 在中，，是中点，， 平面，平面，和相交， 平面． 平面， 平面平面．
【考点】线面平行的判定，面面垂直的判定．
5.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC, 是等边三角形． （1）在棱AC 上是否存在一点M ，使直线AB 1//平面BMC 1,请证明你的结论． （2）设D 为AC 的中点，P 为AB 1上的动点， 且AB ＝2，AA 1=．求三棱锥P －BC 1D 的体积． 【答案】（1）存在一点且为中点满足条件，证明见解析； （2）．
【解析】第一问属于是否存在类问题，假设村子，并且自己认为是为中点， 之后结合三角形的中位线的性质，应用线面平行的判定定理证得结果，第二问
利用三棱锥的顶点和底面转换体积相等，即等级法，再进一步转换，得到棱锥的体积和棱柱的体积的关系，从而求得结果．
试题解析：（1）存在一点且为中点，连接交于点O ，面，
面
，
平面
．
由（1）得
【考点】是否存在类问题，线面平行的判定，几何体的体积．
6.已知一个动点M在圆上移动，它与定点Q（4,0）所连线段的中点为P．
（1）求点P的轨迹方程．
（2）过定点（0，－3）的直线l与点P的轨迹交于不同的两点且满足，求
直线l的方程．
【答案】（1）；
（2），，．
【解析】第一问先设出相应的点的坐标，根据中点坐标公式，找出两点坐标之间的关系，应用相关点法求得对应的轨迹方程，第二问根据题意，设出直线的方程，与第一问所求的轨迹方程联立，根据韦达定理找出两根的关系，代入题中所给的等量关系式，求得直线的斜率，从而求得对应的直线方程，需要注意的是，在求出斜率以后，需要验证判别式大于零，还有千万不能忘记斜率不存在的时候．
试题解析：（1）设,动点,
由中点的坐标公式得,解得,
由,得,
点P的轨迹方程是
（2）当直线的斜率不存在时，直线，与圆交于，，此时，满足，符合题意．
当直线的斜率存在时，设直线，
则，消去，得，整理得，①
，，
由已知得：，，
整理得，解得或．
把值代入方程①中的判别式中，判别式的值都是正数，或，
直线为：，，
即，，
综上，直线为：，，．
【考点】点的轨迹方程，直线与圆的综合问题．
【易错点睛】该题属于解析几何部分的内容，属于中档偏上的题目，在求解的过程中，第一问应用相关点法很容易求得对应的轨迹方程，第二问应用此类问题的常规思路，设出直线的方程，与第一问的轨迹方程联立，利用伟大定理，找出相应的等量关系式，求得结果，容易出错的地方一是需要对所求的斜率需要验证，而是需要对直线的斜率不存在的时候加以验证．。