相似三角形-模型题

相似基本模型———“三点定型”法在相似证明中的应用
一类：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定型”
例1， 已知：在△ABC 中，∠ACB=900
，CD ⊥AB 。

求证：AC 2=AD •AB
分析：要证AC 2=AD •AB ，只需证
AC
AB
AD AC =
，这时看等号的左边A 、C 、D 三点可确定一个三角形，而等号右边A 、C 、B 三点也可确定一个三角形，即证△ACD ∽△ABC 。

或者都看上面的分子为A 、B 、C 及都看下面的分母为A 、C 、D 也可确定去证△ACD ∽△ABC 。

例2， 已知：等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。

求证：BP •PC=BM •CN 分析：要证BP •PC=BM •CN ，只需证
PC
CN
BM BP = 看等号的左边B 、P 、M 和等号右边C 、N 、P 可确定证
△PBM ∽△NCP 。

二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。

例1， 已知；AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 与BC 的延长线交于F 。

求证：
DF 2
=BF •CF
分析：由已知可得DF=AF ，直接证DF 2
=BF •CF 找不出相似三角形，可
改证AF 2
=BF •CF ，即证
AF
CF
BF AF =，这时用“左看、右看”或“上看、下看”定出△ABF ∽△CAF
例2， 已知；在Rt △ABC 中，∠A=900
，四边形DEFG 为正方形。

求证：EF 2
=BE •FC
分析：要证EF 2
=BE •FC ，可证
EF
FC
BE EF =，这时我们不论是“左看、右看” 还是“上看、下看”B 、E 、F 、C 都在同一直线上，不能确定两个三角形。

但在图形中有相等的线段DE=EF=FG ，这时用相等的线段去替换即证
FG
FC
BE DE =即可。

再用“左看、右看”的方法确定证△BDE ∽△GCF 从而完成证明。

例3、如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 且交AC 于F ，过F 作FG ∥AB ，交AE 于G.
求证：AG 2=AF ⋅FC.
证明：∵E 是CD 中点，∴DE=CE ； 又∵AD=BC ，∠D=∠BCE=90°， ∴△DEA ≌△CEB ，即AE=BE ；
∵GF ∥AB ，∴ EG/EA ＝EF/EB ，即AG/AE=BF/BE ， ∵AE=BE ，则AG=BF ；
在Rt △ABC 中，BF ⊥AC ，则△ABF ∽△BCF ， ∴BF 2 =AF •FC ，即AG 2 =AF •FC ．
三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。

例1，已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于O 点，作BE//CD,交CA 的延长线于点E. 求证：OC 2=OA.OE
分析：要证OC 2=OA.OE ,这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”都发现O,C,A,E 在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换；这时，我们可
以利用转化的数学思想，先证OD
OB
OA OC =
，用“上看、下看”定出△OBC ∽△ODC,然后再证
OC
OE
OD OB =
,用同样的方法确定证△OBE ∽△ODC 相似即可。

例2、已知：BD 、CE 是△ABC 的两个高，DG ⊥BC ，与CE 交于F ，GD 的延长线
与BA 的延长线交于H 。

求证：GD 2
=GF •GH
分析：要证GD 2
=GF •GH,这时我们发现G 、D 、E 、F 在同一直线上，并且没有相等 的线段可以替换，这时，我们可以利用直角三角形斜边上的高分的两个三
角形和原三角形相似得出GD 2
=BG •CG ，从而把原题转化为证BG •CG=GF •GH ， 再用“左看、右看、上看、下看”的方法确定证△BGH ∽△FGC 相似即可。

相似基本模型——射影定理的推广及应用
直角三角形ABC 中∠A=90°，AD ⊥BC ，则有：
BC BD AB ⋅=2 CB CD AC ⋅=2
CD BD AD ⋅=2
变式推广
如图（2）：△ＡＢＣ中，D 为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△Ｃ
ＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ2＝ＢＤ•AB ； 例 1 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E
是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

求证：△BFD ∽△BAE 。

证明：∵ ∠ACB=90° ∴ Rt △ECB ，CF ⊥BE
∴ 由射影定理得BE BF BC ⋅=2
又∠ACB=90°，CD ⊥AB
∴ AB BD BC ⋅=2
∴ AB BD BE BF ⋅=⋅ ∴ BE BD
AB BF =
又 ∵ ∠FBD=∠ABE ∴ △BFD ∽△BAE
例2 如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ
２
分析： 易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C ＝∠HBD ，联想到射影定理变式，可得ＢＤ2＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）
相似基本模型——— 一线三等角问题
问题引入
如图，ABC ∆中，90B ∠=︒，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交
BC 延长线与E 。

求证：ABC CED ∆∆
其他常见的一线三等角图形
（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）
A
B D
C
E
F
（直角坐标系中一线三等角） （矩形中一线三等角） （1）等腰三角形中一线三等角
例1、 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，
联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ；
（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；
（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
例2、 如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD
（2）当BD =1，FC =3时，求BE
F B A C
D
E B
A
C
D B
E A
D
C
例3、在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.
①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长； ②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；
(3) 当点P 是BC 的中点时，试说明△APQ 是什么三角形，并说明理由．
变式练习1 （浦东新区22题）
如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为AC 中点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值.
（2）等腰梯形中一线三等角
例1、（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD =
，42BC =，∠45B =˚，
直角三角板含45度角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 .
例2、（徐汇区25）．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．
（1）求证：△MEF ∽△BEM ；
（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长．
第18题
E
F
D
C B A
A
B
C
P
Q
（3）坐标系中一线三等角
例、（金山区24）如图，住平面直角系中，直线AB ：()4
40y x a a
=+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴
上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）
且AB BC ⊥时
(1)求证：ABO ∆∽BCD ∆；
(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）；
变式练习、在平面直角坐标系XOY 中，AOB ∆的位置如图所示，已知0
60,90=∠=∠A AOB ,点A 的坐标为(
)
1,
3-，求点B 的坐标；
（4）矩形、正方形中一线三等角
例1、（长宁区24题）．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．
（1）判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论；
（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）是否存在这样的点P ，是△EAP 周长等于△PDC 周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．
P
D
A
例2、如图正方形ABCD 的边长为4，点p 是BC 边上一动点（点p 不与点B 、C 重合），连接AP,过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x ，CQ 的长为y,求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

（东城一模）24. 等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、
AC 交于点E 、F .
（1）如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状；
（2）如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，求y 与x
的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的长.
图1 图2 图3
（1）△EPF 为等边三角形. --------------1分 （2）设BP=x ，则CP ＝6－x.
由题意可 △BEP 的面积为
238
x . △CFP 的面积为
23
(6)2
x . △ABC 的面积为93. 设四边形AEPF 的面积为y.
Q A C D
B P
∴
y =
2
x 2)x -
=2+-自变量x 的取值范围为3＜x ＜6. --------------4分
（3）可证△EBP ∽△PCF.
∴
BP BE
CF CP
=
. 设BP=x ，
则 (6)8x x -=. 解得 124,2x x ==. ∴ PE 的长为4
或 --------------7分
（延庆一模）25. 在Rt ABC △中，902BAC AB AC ∠===，，点D 在BC 所在的直线上运动，
作45ADE ∠=（A D E ，，按逆时针方向）． （1）如图1，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ．
①求证：
ABD DCE △∽△；
②当ADE △是等腰三角形时，求AE 的长．
（2）①如图2，若点D 在
BC 的延长线上运动，DE 的
反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，
写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由；
②如图3，若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE △是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．
25. ①证明：在Rt ABC △中，∵902BAC AB AC ∠===，
∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45° ∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135°
∴∠ADB=∠DEC
∴ ABD DCE △∽△
② 当ADE △是等腰三角形时,分以下三种情况讨论 第一种情况：DE=AE
∵DE=AE
∴∠ADE=∠DAE=45°
∴ ∠AED=90°, 此时，E 为AC 的中点，
∴AE=12
AC=1.
45
A B
D
C
E
第25题图1
45
45
C
D
B A
E
E '
C
A
B
D
E
第25题图2 第25题图3
………………2分 ………………1分 ………………3分
第二种情况：AD=AE （D 与B 重合） AE=2
第三种情况 ：AD=DE
如果AD=DE ，由于ABD DCE △∽△， ∴ △ABD ≌△DCE,
∴BD=CE,AB=DC,设BD=CE=x
在Rt ABC △中，∵902BAC AB AC ∠===，， ∴
BC=
－x
∴－x =2 ,解得，x
= 2 ， ∴ AE= 4 －
综上所述：AE 的值是1，2，4 －
(2)①存在。

当D 在BC 的延长线上，且CD=CA 时，ADE '△是等腰三角形. 证明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE ′,
∴ ∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°, ∴ ∠ADC=∠DEC,又CD=CA ， ∴ ∠CAD=∠CDA , ∴ ∠CAD=∠CED , ∴DA=DE ′,
∴ ADE '△是等腰三角形. ②不存在.
因为 ∠ACD=45°＞∠E , ∠ADE=45° ∴∠ADE ≠∠E
∴ADE '△不可能是等腰三角形。

………………7分
………………6分
………………4分
………………5分。