山东高考数学一轮总复习学案设计-第二章第九讲函数与方程含答案解析

第九讲函数与方程
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一函数的零点
1．函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．2．几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
知识点二二分法
1．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c
(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c
(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．
重要结论
1．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．
(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a＞0)的图象
与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点
零点个数两个零点一个零点无零点
双基自测
题组一走出误区
1．(多选题)下列结论不正确的是(ABCD)
A．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点
B．函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0
C．若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点
D．函数y＝2x与y＝x2只有两个交点
[解析]A．函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．B．函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.C．若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．D．y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．故选A、B、C、D．题组二走进教材
2．(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1234 5
f(x)－4－2147
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
[解析]由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点，故选B．
3．(必修1P92AT1改编)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(C)
[解析]A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C．
4．(必修1P92AT4改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：
x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5
f(x)－0.871 6－0.578 8－0.281 30.210 10.328 430.641 15
A．1.32 B．1.39
C．1.4 D．1.3
[解析]通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375,1.437 5)内，故选C．
题组三考题再现
5．(2015·安徽，5分)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(A)
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
[解析]y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A．
6．(2019·全国卷Ⅲ，5分)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(B)
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析]f(x)＝2sin x－2sin x cos x＝2sin x(1－cos x)，令f(x)＝0，则sin x＝0或cos x＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0,2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B．
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一 函数的零点
考向1 确定函数零点所在区间——自主练透
例1 (1)若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则下列命题正
确的是( D )
A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点
B ．函数f (x )在区间(1,2)内有零点
C ．函数f (x )在区间(0,2)内有零点
D ．函数f (x )在区间(0,4)内有零点
(2)(多选题)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的零点位于区间可能为( BC )
A ．(－∞，a )
B ．(a ，b )
C ．(b ，c )
D ．(c ，＋∞)
[解析] (1)因为f (1)·f (2)·f (4)<0，所以f (1)、f (2)、f (4)中至少有一个小于0. 若f (1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f (2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f (4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D ．
(2)易知f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )．又a <b <c ，则f (a )>0，f (b )<0，f (c )>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选B 、C ．
名师点拨 ☞
确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 考向2 函数零点个数的确定——师生共研
例2 (1)(2018·课标Ⅲ，15)函数f (x )＝cos(3x ＋π
6
)在[0，π]的零点个数为3.
(2)(2020·云南昆明一中摸底)若函数f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )－log 12
|x |的零点个数是( D )
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
(3)(2020·江淮十校联考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
5|x －
1|－1，x ≥0x 2＋4x ＋4，x <0，则关于x 的方程f 2(x )－5f (x )＋4＝0的实数根的个数为( D )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7
[分析]
画出函数图象，结合图象确定零点的个数，若方
程f (x )＝0可解，也可直接解方程求解．
[解析] (1)本题考查函数与方程．令f (x )＝0，得cos(3x ＋π6)＝0，解得x ＝k π3＋π
9(k ∈Z )．当
k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π
9，又x ∈[0，π]，所以满足要求的零点
有3个．
(2)在同一坐标系中作出f (x )＝|x |、g (x )＝log 12
|x |的图象，由图可知选D ．
(3)解法一：由f 2(x )－5f (x )＋4＝0得f (x )＝1或4. 若f (x )＝1，当x ≥0时，即5|x －
1|－1＝1， 5|x －
1|＝2解得x ＝1±log 52，
当x <0时，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－1或－3.
若f (x )＝4，当x ≥0时，5|x －
1|－1＝4，|x －1|＝1解得x ＝0或2， 当x <0时即x 2＋4x ＝0，解得x ＝－4. 故所求实根个数共有7个．
解法二：由f 2(x )－5f (x )＋4＝0得f (x )＝1或4.
由f (x )图象可知：f (x )＝1有4个根，f (x )＝4有3个根．
∴方程f 2(x ) －5f (x )＋4＝0有7个根．
名师点拨 ☞
函数零点个数的判定有下列几种方法
(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合法：利用函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
〔变式训练1〕
(1)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是2.
(2)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] (1)x 2－2＝0，解得x ＝±2，∵x <0，∴x ＝－2，2x －6＋ln x ＝0，设y ＝ln x ，y ＝6－2x ，分别画函数图象(图略)可得一个交点，故原函数有两个零点．
(2)f (x )＝e x ＋x －3在(0，＋∞)上为增函数，f (12)＝e 1
2 －5
2
<0，f (1)＝e －2>0，∴f (x )在(0，＋
∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f (x )在(－∞，0)上也有一个零点，又f (0)＝0，所以f (x )有三个零点，故选C ．
考向3 函数零点的应用——多维探究 角度1 与零点有关的比较大小
例3 已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －log 12
x ，h (x )＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，
x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( D )
A ．x 1>x 2>x 3
B ．x 2>x 1>x 3
C ．x 1>x 3>x 2
D ．x 3>x 2>x 1
[解析] 由f (x )＝2x ＋x ＝0，g (x )＝x －log 12
x ＝0，h (x )＝log 2x －x ＝0，得2x ＝－x ，x ＝log 12
x ，log 2x ＝x ，在平面直角坐标系中分别作出y ＝2x 与y ＝－x 的图象；y ＝x 与y ＝log 12
x 的图
象；y ＝log 2x 与y ＝x 的图象，由图可知：－1<x 1<0,0<x 2<1，x 3>1.所以x 3>x 2>x 1.
角度2 已知函数的零点或方程的根求参数
例4 (2019·天津，5分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ，0≤x ≤1，
1x
，x >1.若关于x 的方程f (x )＝－
1
4
x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( D ) A ．[54，94]
B ．(54，94]
C ．(54，9
4
]∪{1}
D ．[54，9
4
]∪{1}
[解析] 由题意画出f (x )的图象，如图所示，当直线y ＝－14x ＋a 与曲线y ＝1
x (x >1)相切时，
方程1x ＝－14x ＋a 有一个解，x 2－4ax ＋4＝0，Δ＝(－4a )2－4×4＝0，得a ＝1，此时f (x )＝－1
4x
＋a 有两个互异的实数解．当直线y ＝－14x ＋a 经过点(1,2)时，即2＝－14×1＋a ，所以a ＝94，
当直线y ＝－14x ＋a 经过点(1,1)时，1＝－14×1＋a ，得a ＝54，从图象可以看出当a ∈[54，9
4
]时，
函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ，0≤x ≤1，1x
，x >1的图象与直线y ＝－14x ＋a 有两个交点，即方程f (x )＝－1
4x ＋a
有两个互异的实数解．故选D ．
名师点拨 ☞
1．比较零点大小常用方法：
(1)确定零点取值范围，进而比较大小； (2)数形结合法．
2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·安徽蚌埠月考)已知函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( B )
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．a >b >c
D ．c >a >b
(2)(角度2)(2018·课标Ⅰ，9)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝
f (x )＋x ＋a .若
g (x )存在2
个零点，则实数a 的取值范围是( C )
A ．[－1,0)
B ．[0，＋∞)
C ．[－1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
[分析] (1)解法一：依据零点存在定理，确定a ，b ，c 所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y ＝3x 、y ＝log 3x 、y ＝x 3与y ＝－x 的图象，比较其交点横坐标的大小即可．
[解析] (1)解法一：∵f (－1)＝3－
1－1＝－23，f (0)＝1，∴a ∈(－23，0)，又g (13)＝log 313＋13＝
－23，g (1)＝1，∴b ∈(1
3
，1)，显然c ＝0，∴a <c <b ，故选B ．
解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y ＝3x 、y ＝log 3x 、y ＝－x 的图象，结合图象及c ＝0可知a <c <b ，故选B ．
(2)本题主要考查函数的零点及函数的图象．g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点等价于函数f (x )
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ，x ≤0，ln x ，x >0与h (x )＝－x －a 的图象存在2个交点，当x ＝0时，h (0)＝－a ，由图可知要满
足y ＝f (x )与y ＝h (x )的图象存在2个交点，需要－a ≤1，即a ≥－1.故选C ．
考点二 二分法及其应用——自主练透
例5 (1)用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，
可得其中一个零点x 0∈(0,0.5)，第二次应计算f (0.25).
(2)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为(3
2
，2).
(3)在用二分法求方程x 2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是7.
[解析] (1)因为f (0)<0，f (0.5)>0，由二分法原理得一个零点x 0∈(0,0.5)；第二次应计算f (0＋0.52
)＝f (0.25)．
(2)区间(1,2)的中点x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，f (32)＝27
8－4<0，f (2)＝8－4－1>0，则根所
在区间为(3
2
，2)．
(3)设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.4
2n
<0.001，即2n >100.由26＝64,27＝128，知n ＝
7.
名师点拨 ☞
1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．
2．利用二分法求近似解需注意的问题
(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f (a )，f (b )的值比较容易计算且f (a )·f (b )<0； (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的． (3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升
函数零点的综合问题
例6 (2020·安徽淮南第一次模拟)已知函数f (x )的图象，若函数g (x )＝[f (x )]2－kf (x )
＋1恰有4个零点，则实数k 的取值范围是( B )
A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B ．(4e 2＋e 2
4，＋∞)
C ．(8
e
2，2)
D ．(2，4e 2＋e 2
4
)
(2)(2020·山西五校联考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2x ，x ≤0
－x 2＋x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－a 恰有三个互
不相同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( A )
A ．(－1
32，0)
B ．(－1
16，0)
C ．(0，1
32
)
D ．(0，1
16
)
[解析] (1)∵g (x )＝[f (x )]2－kf (x )＋1恰有4个零点，
∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在(0，4e 2)上有1个解，在(4
e 2，＋∞)∪{0}上有1解，显然t
＝0不是方程t 2－kt ＋1＝0的解，
∴关于t 的方程t 2－kt ＋1＝0在(0，4e 2)和(4
e 2，＋∞)上各有1个解，
∴16e 4－4k e 2＋1<0，解得k >4e 2＋e 2
4
.故选B ． (2)解法一：显然x ≤0时，－2x ＝a ，有一根不妨记为x 1，则x 1＝－a
2(a ≥0)，当x >0时－
x 2＋x ＝a 即x 2－x ＋a ＝0有两个不等正根，不妨记为x 2，x 3，则Δ＝1－4a >0，即a <1
4，从而－
a 2∈(－
116，0)且x 2x 3＝a .∴x 1x 2x 3＝－a 22∈(－1
32
，0)，故选A ．
解法二：作出y ＝f (x )及y ＝a 的图象，显然0<a <1
4，不妨设x 1<x 2<x 3显然x 1<0，x 2>0，x 3>0，
∴x 1x 2x 3<0排除C 、D ，又当x 2趋近x 3时，x 2x 3趋近14，x 1趋近－18，故x 1x 2x 3趋近－1
32
.故选A ．
名师点拨 ☞
以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题．
〔变式训练3〕
(1)已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|lg x |，x >0
2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是5.
(2)(2020·哈师大附中开学考)设方程2x ＝|log 2(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( B ) A ．x 1x 2<0 B ．0<x 1x 2<1 C ．x 1x 2＝1
D ．x 1x 2>1
[解析] (1)解法一：由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝1或f (x )＝1
2.
当x >0时|lg x |＝1得lg x ＝±1，解得x ＝10或1
10；
|lg x |＝12得lg x ＝±12，解得x ＝10或1010；
当x ≤0时，2|x |＝1得x ＝0,2|x |＝1
2无解
故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1有5个零点．
解法二：由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝1或f (x )＝1
2
.
在坐标系中分别作出y 1＝f (x )、y 2＝1、y 3＝1
2的图象，如图可知它们共有5个交点，故y ＝
2f 2(x )－3f (x )＋1共有5个零点．
(2)作出y ＝2x 及y ＝|log 2(－x )|的图象，不妨设x 1<x 2则2x 1＝log 2(－x 1)，2x 2＝－log 2(－x 2)．
由y＝2x是增函数知2x1－2x2<0(x1<0，x2<0)，∴log2(－x1)＋log2(－x2)<0，即log2(x1x2)<0，∴0<x1x2<1，故选B．。