湖南省邵阳县2020-2021学年八下数学期末质量跟踪监视试题含解析

湖南省邵阳县2020-2021学年八下数学期末质量跟踪监视试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为4，斜边为3，则另一个直角三角形斜边上的高为（）
A．4
3
B．
3
2
C．
8
3
D．5
3．如图，在矩形纸片ABCD中，BC=a，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为BE，点E在边CD上，则CE的长为（）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，，，则（）
A．3 B．C．D．6
5．如图，已知直线11：y＝﹣x+4与直线l2：y＝3x+b相交于点P，点P的横坐标是2，则不等式﹣x+4≤3x+b的解集是（）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2D．x≥2
6．美是一种感觉,本应没有什么客观的标准,但在自然界里,物体形状的比例却提供了在的称与协调上的一种美感的参考,在数学上,这个比例称为黄金分割.在人体由脚底至肚脐的长度与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,也就是说,若此比值越接近0.618,就越给别人一种美的感觉. 某女士身高为1. 60m,脚底至肚脐的长度与身高的比为0.60.为了追求美，地想利用高跟鞋达到这一效果,那么她选的高跟鞋的高度约为（）
A．2.5cm B．5.1cm C．7.5cm D．8.2cm
7．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E是BC边上一点，将沿AE折叠，使点B落在点处，连接，则的最小值是（）
A．B．C．D．
9．已知是正比例函数，则m的值是()
A．8 B．4 C．±3 D．3
10．下列一元二次方程没有实数根的是（）
A．2x+2x+1=0 B．2x+x-2=0 C．2x+1=0 D．2x﹣2x﹣1=0
11．下列4个命题：
①对角线相等且互相平分的四边形是正方形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的是（ ）
A ．②③
B ．②
C ．①②④
D ．③④
12．如图，点C 是线段BE 的中点，分别以BC CE 、为边作等腰ABC ∆和等腰CDE ∆，90BAC CDE ∠=∠=，连接AD BD AE 、、，且BD AE 、相交于点G ，CG 交AD 于点F ，则下列说法中，不正确的是（ ）
A ．CF 是ACD ∆的中线
B ．四边形ABCD 是平行四边形
C ．AE B
D =
D ．AG 平分CAD ∠
二、填空题（每题4分，共24分） 13．在一个不透明的口袋中，装有4个红球和1个白球，这些球除颜色之外其余都相同，那么摸出1个球是红球的概率为________.
14．若解分式方程144
x m x m -=++产生增根，则m ＝_____． 15．根据《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》
，我国20132017-年农村贫困人口统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2018年年末全国农村贫困人口约为______万人，你的预估理由是______．
16．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝70º，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于P ，则∠FPC 的度数为___________．
17．如图，平行四边形ABCD 中，B 30∠=，AB 4=，BC 5=，则平行四边形ABCD 的面积为______．
18．有10个数据的平均数为12，另有20个数据的平均数为15，那么所有这30个数据的平均数是________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）平面直角坐标系xOy 中，对于点M 和图形W ，若图形W 上存在一点N （点M ，N 可以重合），使得点M 与点N 关于一条经过原点的直线l 对称，则称点M 与图形W 是“中心轴对称”的
对于图形1W 和图形2W ，若图形1W 和图形2W 分别存在点M 和点N （点M ，N 可以重合），使得点M 与点N 关于一条经过原点的直线l 对称，则称图形1W 和图形2W 是“中心轴对称”的．
特别地，对于点M 和点N ，若存在一条经过原点的直线l ，使得点M 与点N 关于直线l 对称，则称点M 和点N 是“中心轴对称”的．
（1）如图1，在正方形ABCD 中，点(1,0)A ，点(2,1)C ，
①下列四个点1(0,1)P ，2 (2,2)P ，31,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，413,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
中，与点A 是“中心轴对称”的是________； ②点E 在射线OB 上，若点E 与正方形ABC D 是“中心轴对称”的，求点E 的横坐标E x 的取值范围;
（2）四边形GHJK 的四个顶点的坐标分别为(-2,2)G ，(2,2)H ，(2,2)J -，(2,2)K --,一次函数3y x b =+图象与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段与四边形GHJK 是“中心轴对称”的，直接写出b 的取值范围．
20．（8分）如图，∠AOB ＝30°，OP ＝6，OD ＝23，PC ＝PD ，求OC 的长．
21．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：BM＝CM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？
km h和速度向东航行。

半小时后，乙船也由M港出发，以相22．（10分）上午6：00时，甲船从M港出发，以80/
同的速度向南航行。

上午8：00时，甲、乙两船相距多远？要求画出符合题意的图形.
23．（10分）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC上，EF与AC相交于点O，AG=CH，BE=DF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）当EG=EH时，连接AF
①求证：AF=FC；
②若DC=8，AD=4，求AE的长．
24．（10分）为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
A型B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
（1）求a，b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱
的购买方案．
25．（12分）已知反比例函数1k y x =的图象与一次函数2y ax b =+的图象交于点A （1，4）和点B （m ，）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）观察图象，当x >0时，直接写出1y >2y 时自变量x 的取值范围；
（3）如果点C 与点A 关于x 轴对称，求△ABC 的面积．
26．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-，同时，当两点所在
的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .
（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.
已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______； （2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由． （3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】
【分析】
解答本题的关键是记住多边形内角和公式为（n-2）×180°，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．
【详解】
多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，外角和是固定的360°，从而可根据内角和比他的外角和的3倍少180°列方程求解．
设所求n边形边数为n，
则（n-2）•180°=360°×3-180°，
解得n=7，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是记住多边形内角和公式为（n-2）×180°.
2、C
【解析】
【分析】
先求出这个三角形斜边上的高，再根据全等三角形对应边上的高相等解答即可．
【详解】
解：设面积为4的直角三角形斜边上的高为h，则1
2
×3h=4，
∴h=8
3
，
∵两个直角三角形全等，
∴另一个直角三角形斜边上的高也为8
3
．
故选：C．【点睛】
本题主要考查全等三角形对应边上的高相等的性质和三角形的面积公式，较为简单．
3、C
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到BC=BO，∠BCD=∠BOE=90°，根据等腰三角形的性质得到BE=DE，再利用勾股定理得到结论．【详解】
∵由折叠可得， BC=BO，∠BCD=∠BOE=90°, ∴BC=BO,BE=DE,∵BD=2BO, BC=a
∴BD=2a，
∵在矩形纸片ABCD中，BC=a,BD=2a，，
由勾股定理求得：DC=a，
设CE=x,则DE=DC-CE=a-x，
在Rt△BCE中,，
解得：x=，
即AE的长为.故选C.
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
4、A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴BC= AB= ×6=3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了含30度的直角三角形的性质，正确掌握定理是解题的关键．
5、D
【解析】
【分析】
利用函数图象，写出直线l1不在直线l1上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：如图：
当x≥1时，﹣x+4≤3x+b，
所以不等式﹣x+4≤3x+b的解集为x≥1．
故选：D．
【点睛】
此题考查不等式与一次函数的关系，数形结合即可求解．
6、C
【解析】
【分析】
根据已知条件算出下半身身高，然后设选的高跟鞋的高度为xcm，根据比值是0.618列出方程，解方程即可【详解】
根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm
设选的高跟鞋的高度为xcm，
有
96
0.618 160
x
x
+
=
+
解得x≈7.5
经检验x≈7.5是原方程的解
故选C
【点睛】
本题考查分式方程的应用，能够读懂题意列出方程是本题关键7、A
【解析】
试题分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，因此，
∵x=3是原方程的根，∴将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．故选A．
8、A
【解析】
【分析】
由矩形的性质得出∠B=90°，BC=AD=3，由折叠的性质得：AB'=AB=1，当A、B'、C三点共线时，CB'的值最小，由勾股定理得出AC==，得出CB'=AC-AB'=-1．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=3，
由折叠的性质得：AB'=AB=1，
当A、B'、C三点共线时，CB'的值最小，
此时AC==，
∴CB'=AC-AB'=-1；
故选：A．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．9、D
【解析】
【分析】
直接利用正比例函数的定义分析得出即可．
【详解】
∵y＝(m+2)x m2﹣8是正比例函数，
∴m2﹣8＝2且m+2≠0，
解得m＝2．
故选：D．
【点睛】
考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为2．
10、C
【解析】
【分析】
分别计算每个方程中根的判别式△（b2-4ac）的值，找出△<0的方程即可解答.
【详解】
选项A，△=b2-4ac=22-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根；
选项B，△=b2-4ac=12-4×1×（-2）=9>0，方程有两个不相等的实数根；
选项C，△=b2-4ac=0-4×1×1=-4<0，方程没有实数根；
选项D，△=b2-4ac=（-2）2-4×3×（-1）=16>0，方程有两个不相等的实数根．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系为：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
11、A
【解析】
【分析】
根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的判定判断即可
【详解】
①对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，少“垂直”，故错；
②四边形的三个角是直角，由内角和为360°知，第四个角必是直角，正确；
③平行四边形对角线互相平分，加上对角线互相垂直，是菱形，故正确；
④有可能是等腰梯形，故错，
正确的是②③
【点睛】
此题考查正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的判定，解题关键在于掌握判定定理
12、D
【解析】
【分析】
根据平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质，逐一判定即可.
【详解】
∵点C是线段BE的中点，
∴BC=EC
∵等腰ABC ∆和等腰CDE ∆，90BAC CDE ∠=∠=，
∴AB=AC=CD=DE ，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC=45°
∴∠ACD=90°，AD=BC=EC
∴∠CAD=∠CDA=45°
∴AD ∥BE
∴四边形ABCD 是平行四边形，故B 选项正确；
在△ABE 和△DEB 中，
AB DE ABE DEB BE EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△DEB （SAS ）
∴AE BD =，故C 选项正确；
∴∠DBE=∠AEB
∴FC ⊥BE
∵AD ∥BE
∴FC ⊥AD
∴CF 是ACD ∆的中线，故A 选项正确；
∵AC≠CE
∴AG 不可能平分CAD ∠，故D 选项错误；
故选：D.
【点睛】
此题主要考查平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、0.8
【解析】
【分析】
由一个不透明的口袋中，装有4个红球，1个白球，这些球除颜色外其余都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：∵一个不透明的口袋中，装有4个红球，1个白球，这些球除颜色外其余都相同，
∴从口袋中随机摸一个球，则摸到红球的概率为：
4
0.8 41
=
+
故答案为：0.8
【点睛】
此题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14、-5
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：根据分式方程增根的产生的条件，可知x+4=0，解得x=-4，然后把分式方程化为整式方程x-1=m，解得
m=-5
故答案为-5.
15、1700 由统计图可知，2016～2017减少约1300万，则2017～2018减少约为1300万，故2018年农村贫困人口约为1700万．
【解析】
【分析】
根据统计图可以得到得到各年相对去年减少的人数，从而可以预估2018年年末全国农村贫困人口约为多少万人，并说明理由．
【详解】
解：2018年年末全国农村贫困人口约为1700万人，
预估理由：由统计图可知，2016～2017减少约1300万，则2017～2018减少约为1300万，故2018年农村贫困人口约为1700万，
故答案为1700、由统计图可知，2016～2017减少约1300万，则2017～2018减少约为1300万，故2018年农村贫困人口约为1700万．
【点睛】
本题考查用样本估计总体、条形统计图，解题的关键是明确条形统计图的特点，从中得到必要的解题信息．
16、35°
【解析】
【分析】
根据菱形的邻角互补求出∠B，再求出BE=BF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BEF，再求出∠FEP，取AD 的中点G，连接FG交EP于O，然后判断出FG垂直平分EP，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EF=FP，利用等边对等角求出∠FPE，再根据∠FPC=90°-∠FPE代入数据计算即可得解．
在菱形ABCD中，连接EF，如图，
∵∠A=70°，
∴∠B=180°-870°=110°，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴BE=BF，
∴∠BEF=1
2
（180°-∠B）=
1
2
（180°-110°）=35°，
∵EP⊥CD，AB∥CD，
∴∠BEP=∠CPE=90°，
∴∠FEP=90°-35°=55°，
取AD的中点G，连接FG交EP于O，
∵点F是BC的中点，G为AD的中点，
∴FG∥DC，
∵EP⊥CD，
∴FG垂直平分EP，
∴EF=PF，
∴∠FPE=∠FEP=55°，
∴∠FPC=90°-∠FPE=90°-55°=35°．
故答案为：35°.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质并作出辅助线求出EF=PF是解题的关键，也是本题的难点．
17、10
【解析】
【分析】
从A点做底边BC的垂线AE,在三角形ABE中30度角所对的直角边等于斜边AB的一半,所以AE＝2,同时AE也是平行四边形ABCD的高,所以平行四边形的面积等于5x2＝10.
作AE⊥BC,
因为B30
∠=，
所以，AE=1
2
AB=
1
2
×4 =2.
所以，平行四边形的面积=BC×AE=5x2＝10.
故答案为10
【点睛】
本题考核知识点：直角三角形.解题关键点：熟记含有30〬角的直角三角形的性质.
18、14.
【解析】
试题分析：根据加权平均数计算公式可得．
考点：加权平均数．
三、解答题（共78分）
19、（1）①P1，P1；②
2
2
≤x E≤
10
2
；（2）333≤b≤3
【解析】
【分析】
（1）①根据画出图形，根据“中心轴对称”的定义即可判断．
②以O为圆心，OA为半径画弧交射线OB于E，以O为圆心，OC为半径画弧交射线OB于F．求出点E，点F的坐标即可判断．
（2）如图3中，设GK交x轴于P．求出两种特殊位置的b的值即可判断：当一次函数3x+b经过点G（-2，2）时，3，33x+b经过点P（-2，0）时，3，3
W1和图形W2是“中心轴对称”的定义可知，当33MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的．再根据对称性，求出直线与y轴的负半轴相交时b的范围即可．
【详解】
解：（1）如图1中，
①∵OA=1，OP1=1，OP1=1，
∴P1，P1与点A是“中心轴对称”的，
故答案为P1，P1．
②如图2中，
以O为圆心，OA为半径画弧交射线OB于E，以O为圆心，OC为半径画弧交射线OB于F．∵在正方形ABCD中，点A(1，0)，点C(2，1)，
∴点B（1,1），
∵点E在射线OB上，
∴设点E的坐标是（x，y），
则x=y，
即点E坐标是（x，x），
∵点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，
∴当点E与点A对称时，则OE=OA=1，
过点E作EH⊥x轴于点H，则OH2+EH2=OE2，
∴x2+x2=12，
解得x=2
，
∴点E的横坐标x E=
2
2
，
同理可求点：F（10
2
，
10
2
），
∵E（
2
2
，
2
2
），F（
10
2
，
10
2
），
∴观察图象可知满足条件的点E的横坐标x E的取值范围：
2
2
≤x E≤
10
．
（2）如图3中，设GK交x轴于P．
当一次函数3经过点G（-2，2）时，3，3，
当一次函数3经过点P（-2，0）时，3，3
观察图象结合图形W1和图形W2是“中心轴对称”的定义可知，当33时，线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的．
根据对称性可知：当33时，线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的．
综上所述，满足条件的b的取值范围：3333
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了正方形的性质，“中心轴对称”的定义，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会性质特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
20、OC＝3
【解析】
【分析】
首先过点P作PE⊥OB于点E，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出OE的长，再利用等腰三角形的性质求出EC的长．
【详解】
解：过点P作PE⊥OB于点E，
∵∠AOB＝30°，PE⊥OB，OP＝6，
∴OE＝3
OP＝33，
∵OD＝23，PC＝PD，
∴CE＝DE＝3，
∴OC＝43．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出OD的长以及等腰三角形的性质，得出OD的长是解题关键．
21、(1)见解析；（2）平行四边形MENF是菱形,见解析；（3）即当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形,理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）证明△ABM≌△DCM即可求解
（2）先证明四边形MENF是平行四边形，再根据（1）中的△ABM≌△DCM可得BM＝CM，即ME＝MF，即可求证平行四边形MENF是菱形
（3）当AD：AB＝2：1时，易得∠ABM＝∠AMB＝45°，∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，又四边形MENF是菱形，故可证菱形MENF是正方形，
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M 为AD 中点，
∴AM ＝DM ，
在△ABM 和△DCM 中，
BA CD A D AM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABM ≌△DCM （SAS ），
∴BM ＝CM ；
（2）四边形MENF 是菱形．
证明：∵N 、E 、F 分别是BC 、BM 、CM 的中点，
∴NE ∥CM ，NE ＝
12CM ， ∵MF ＝12
CM ， ∴NE ＝FM ，
∵NE ∥FM ，
∴四边形MENF 是平行四边形，
由（1）知△ABM ≌△DCM ，
∴BM ＝CM ，
∵E 、F 分别是BM 、CM 的中点，
∴ME ＝MF ，
∴平行四边形MENF 是菱形；
（3）当AD ：AB ＝2：1时，四边形MENF 是正方形．
理由：∵M 为AD 中点，
∴AD ＝2AM ，
∵AD ：AB ＝2：1，
∴AM ＝AB ，
∵∠A ＝90°
∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°，
同理∠DMC ＝45°，
∴∠EMF ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵四边形MENF 是菱形，
∴菱形MENF 是正方形，
即当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．
【点睛】
此题主要考查平行四边形、菱形以及正方形的判定条件，其中涉及全等三角形
22、两船相距200km，画图见解析.
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图所示，
km h的速度向东行驶，
∵甲船从港口出发，以80/
∴MA=80×2=160（km），
∵半个小时后，乙船也由同一港口出发，以相同的速度向南航行，
∴MB=80×1.5=120（km），
∴22
AB=+=（km），
120160200
∴上午8：00时，甲、乙两船相距200km.
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
23、（1）见解析；（2）①见解析，②1.
【解析】
【分析】
（1）依据矩形的性质，即可得出△AEG≌△CFH，进而得到GE=FH，∠CHF=∠AGE，由∠FHG=∠EGH，可得FH∥GE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；
（2）①由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AF=CF；
②设AE=x，则FC=AF=x，DF=8-x，依据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得到方程，即可得到AE的长．【详解】
（1）∵矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FCH=∠EAG，
又∵CD=AB，BE=DF，
∴CF=AE，
又∵CH=AG，∠FCH=∠EAG
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴GE=FH，∠CHF=∠AGE，
∴∠FHG=∠EGH，
∴FH∥GE，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）①如图，连接AF，
∵EG=EH，四边形EGFH是平行四边形，
∴四边形GFHE为菱形，
∴EF垂直平分GH，
又∵AG=CH，
∴EF垂直平分AC，
∴AF=CF；
②设AE=x，则FC=AF=x，DF=8-x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴42+（8-x）2=x2，
解得x=1，
∴AE=1．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用．注意准确作出辅助线是解此题的关键
24、（1）
12
9
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
；（2）有四种购买方案：①A型设备0台，B型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型
设备2台，B型设备8台；④A型设备1台，B型设备7台；（1）为了节约资金，应选购A型设备2台，B型设备8台．【解析】
【分析】
（1）购买A型的价格是a万元，购买B型的设备b万元，根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多1万元，购买2台A型设备比购买1台B型号设备少1万元，可列方程组求解．（2）设购买A型号设备x台，则B型为（10-x）台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，进而得出不等式．（1）利用每月要求处理污水量不低于1880吨，可列不等式求解．
【详解】
解：（1）根据题意得：
3 323
a b
b a
-=
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得：
12
9
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
；
（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10-x）台，根据题意得，12x+9（10-x）≤100，
∴x≤10
3
，
∵x取非负整数，
∴x=0，1，2，1
∴10-x=10，9，8，7
∴有四种购买方案：
①A型设备0台，B型设备10台；
②A型设备1台，B型设备9台；
③A型设备2台，B型设备8台．
④A型设备1台，B型设备7台；
（1）由题意：220x+180（10-x）≥1880，∴x≥2，
又∵x≤10
3
，
∴x为2，1．
当x=2时，购买资金为12×2+9×8=96（万元），
当x =1时，购买资金为12×1+9×7=99（万元），
∴为了节约资金，应选购A 型设备2台，B 型设备8台．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用，根据购买一台A 型号设备比购买一台B 型号设备多1万元，购买2台A 型设备比购买1台B 型号设备少1万元和根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于1880吨，等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式求解．
25、（1）反比例函数的表达式为14y x =
；一次函数的表达式为2y 2x 2=+（2）0＜x ＜1；（3）4 【解析】
【分析】
（1）根据点A 的坐标求出反比例函数的解析式为14y x =
，再求出B 的坐标是（－2，－2），利用待定系数法求一次函数的解析式．
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出当x >0时，一次函数的值小于反比例函数的值x 的取值范围或0＜x ＜1．
（3）根据坐标与线段的转换可得出：AC 、BD 的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵点A （1，2）在1k y x =
的图象上，∴k ＝1×2＝2． ∴反比例函数的表达式为14y x =
∵点B 在14y x
=的图象上，∴m 2=-．∴点B （－2，－2）． 又∵点A 、B 在一次函数2y ax b =+的图象上，
∴a b 4
{2a b 2+=-+=-，解得a 2
{b 2==．
∴一次函数的表达式为2y 2x 2=+．
（2）由图象可知，当 0＜x ＜1时，1y ＞2y 成立
（3）∵点C 与点A 关于x 轴对称，∴C （1，－2）．
过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则D （1，－5）．
∴△ABC 的高BD ＝12（）--＝3，底为AC ＝24（）
--＝3． ∴S △ABC =12AC·BD=12
×3×3=4． 26、（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（
1304
，）时，PD+PF 的长度最短，最短长度73【解析】
【分析】 （1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离;
（2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；
（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.
【详解】
解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --
∴()()22AB 234813=+++=
故A 、B 两点间的距离为：13.
∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1
∴()MN 415=--=
故M 、N 两点的距离为5.
（2）∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F
∴()()
22DE 13635=++-= ()()22DF 14625=-+-=
()
()22EF 343252=--+-=
∴DE=DF ，222DE DF EF +=
∴△DEF 为等腰直角三角形
（3）
作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时DP+PF 最短
设直线DF'的解析式为y=kx+b
将D （1,6），F'（4，-2）代入得：
642k b k b +=⎧⎨+=-⎩
解得83263k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线DF'的解析式为：826y 33
x =-
+ 令y=0，解得13x 4=，即P 的坐标为（1304，） ∵PF=PF'
∴PD+PF=PD+ PF'= DF'()()22146273-++=故当P 的坐标为（
1304，）时，PD+PF 73【点睛】
本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x 轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.。