2014届高考数学一轮复习 9.8 抛物线 理 新人教A版

第8讲抛物线
基础巩固
1.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
【答案】D
【解析】依题意知,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线.
2.在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
【答案】C
【解析】由抛物线的定义得4+=5,故p=2.
3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则这样的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
【答案】C
【解析】结合图形(图略)分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).
4.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设弦为AB,则由焦点弦长公式有|AB|=,即=12,∴sin θ=.∴θ=.
5.已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )
A. B.
C.(1,2)
D.(1,-2)
【答案】A
【解析】点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离,如图,|PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|,故最小值在S,P,Q三点共线时取得,此时P,Q的纵坐标都是-1,此时点P坐标为.
6.已知抛物线y2=4x上两个动点B,C和点A(1,2),且∠BAC=90°,则动直线BC必过定点( )
A.(2,5)
B.(-2,5)
C.(5,-2)
D.(5,2)
【答案】C
【解析】设B,C,BC的中点为D(x0,y0),则y1+y2=2y0,直线BC的方程为,
即4x-2y0y+y1y2=0;①
又·=0,∴y1y2=-4y0-20,代入①式得2(x-5)-y0(y+2)=0,由此可知动直线BC恒过x-5=0与
y+2=0的交点(5,-2).
7.(2012·辽宁卷,12)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为( )
A.1
B.3
C.-4
D.-8
【答案】C
【解析】
如图所示,由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2),
∵点P,Q在抛物线x2=2y上,
∴
∴
∴P(4,8),Q(-2,2).
又∵抛物线可化为y=x2,∴y'=x,
∴过点P的切线斜率为y'=4,
∴过点P的切线为y-8=4(x-4),即
y=4x-8.
又∵过点Q的切线斜率为y'=-2,
∴过点Q的切线为y-2=-2(x+2),
即y=-2x-2.
联立解得x=1,y=-4,
∴点A的纵坐标为-4.
8.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2). 若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物
线准线的距离为.
【答案】
【解析】由已知得B,将其代入y2=2px,得1=2p×,∴p=(p>0),则B点到准线的距离为.
9.(2012·安徽卷,14)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则
|BF|=.
【答案】
【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3及抛物线定义可得,x1+1=3,即x1=2.故A点坐标为(2,2), 则直线AB的斜率为k==2.
从而直线AB的方程为y=2(x-1).
由消去y得,2x2-5x+2=0,
解得x1=2,x2=.
故|BF|=x2+1=.
10.(2012·浙江卷,17)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数
a=.
【答案】
【解析】 x2+(y+4)2=2到直线y=x的距离为,
所以y=x2+a到y=x的距离为,而与y=x平行且距离为的直线有两条,分别是y=x+2与y=x-2,而抛物线y=x2+a开口向上,所以y=x2+a与y=x+2相切,可求得a=.
11.(2012·课标全国卷,20)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F
为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n
距离的比值.
【解】(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.
由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.
因为△ABD的面积为4,
所以|BD|·d=4,
即·2p·p=4,
解得p=-2(舍去),p=2.
所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.
(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,
所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.
由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,
所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.
当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.
由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.
解得b=-.
因为m的截距b1==3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.
当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.
12.
如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
【解】(1)由得x2-4x-4b=0.(*)
因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,
解得b=-1.
(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0,
解得x=2,代入x2=4y,得y=1.
故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,
即r=|1-(-1)|=2.
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
13.已知一动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上.
(1)求动圆圆心的轨迹M的方程.
(2)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A,B两点,问△ABC能否为正三角形?若能,求出C点的坐标,若不能,说明理由.
【解】(1)依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为y2=4x.如图所示.
(2)由题意得,直线AB的方程为y=-(x-1),
由
消y得3x2-10x+3=0.
解得A,B(3,-2).
若△ABC能为正三角形,
设C(-1,y),则|AC|=|AB|=|BC|,即
①②组成的方程组无解,因此直线l上不存在点C使△ABC是正三角形.
拓展延伸
14.如图,过点F(1,0)的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点.
(1)若|AB|=8,求直线AB的方程;
(2)记抛物线C的准线为l',设直线OA,OB分别交l'于点N,M,求的值.【解】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|=8,
即x1+x2+p=8,
又p=2,∴x1+x2=6.
∵|AB|>2p,
∴直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1).
由方程组
消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
∴x1+x2=,
即=6,得k=±1.
∴直线AB的方程是x-y-1=0或x+y-1=0.
(2)当直线l的斜率不存在时,
··=x1x2+y1y2=1-4=-3.
当直线l的斜率存在时,由(1)知,x1x2=1,y1y2=-=-4,
设M(-1,y3),N(-1,y4),B,O,M三点共线,
∴⇒y3=-.同理可得y4=.
∴·=(-1,y3)·(-1,y4)=1+y3y4=1+=-3.
综上,·=-3.。