初等数论王进明答案

初等数论王进明答案
【篇一：王进明__初等数论_习题解答】
s=txt>1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.
解：a?12b?26,a?b?12?26?454,12b?26?b?12?26?454,
(12?1)b?454?12?26?26?390,b=30, 被除数
a=12b+26=360+26=386.
这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题。

2．证明：(1) 当n∈z且n?9q?r(0?r?9)时，r只可能是0,1,8;
证：把n按被9除的余数分类，即：若n=3k, k∈z，则n?27k, r=0；若n=3k +1, k∈z，则n?(3k)?3(3k)?3(3k)?1?9k(3k?3k?1)?1,r=1；若n=3k－1, k∈z，则
n?(3k)?3(3k)?3(3k)?1?9(3k?3k?k?1)?8,r=8. 332323322333
n3n2n??的值是整数。

(2) 当 n∈z时，326
n3n2n2n3?3n2?n32??=证因为，只需证明分子2n?3n?n是6的
倍数。

3266
2n3?3n2?n?n(2n2?3n?1)?(n?1)n(2n?1)
?(n?1)n(n?2?n?1)=n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1).
由k! 必整除k个连续整数知：6 |n(n?1)(n?2),6 |(n?1)n(n?1).
或证：2!|(n?1)n, (n?1)n必为偶数.故只需证3|(n?1)n(2n?1).
若3|n, 显然3|(n?1)n(2n?1)；若n为3k +1, k∈z，则n－1是3的
倍数，得知
(n?1)n(2n?1)为3的倍数；若n为3k－1, k∈z，则2n－1=2(3k－1)－1=6k-3, 2n－1是3的倍数.
综上所述，(n?1)n(2n?1)必是6的倍数,故命题得证。

(3) 若n为非负整数，则133|(11n+2+122n+1)．
(4)当m，n，l∈n+时，(m?n?l)!的值总是整数 m!n!l!
(n?l?1)(n?l)(n?l?1)(l?1)?l! 证明：(m?n?l)!=(m?n?l)(m?n?l?1)
由k!必整除k个连续整数知：m!|(m?n?l)(m?n?l?1)
n! |(n?l)(n?l?1)(n?l?1), (l?1)，从而由和的整除性即证得命题。

(5)当a，b∈z且a ≠－b，n是双数时，?a?b?|(an?bn)；
(6)当a，b∈z且a ≠－b，n是单数时，?a?b?|(an?bn)．
解：利用例5结论：若a ≠ b，则?a?b?|(an?bn)．令b=－b*, 即得。

或解： a = (a+b)－b， (5) 当n为双数时，由二项式展开
nan?bn??a?b?b?b? ????n
??a?b??n?a?b?nn?1b????1?n?1n?a?b?bn?1，证得。

(6) 当n
为单数时类似可得。

3．已知a1，a2，a3，a4，a5，b∈z,且?a
i?152i?b2，说明这六个数不能都是奇数．
解：若这六个数都是奇数，设ai?2ki?1,ki?z,i?1,2,3,4,5，则
?a??(2k?1)2
ii
i?1i?1552?4?ki(ki?1)?5，因为2|ki(ki?1)，所以8 | 4?ki(ki?1),
i?1i?155
?a
i?152i?8q?5,q?z, 而b2?(2k?1)2?4k(k?1)?1，b2?8q*?1，k,q*?z，即等式左边被8除余5, 而右边被8除余1, 故不可能这六个数都是
奇数。

4．能否在下式的各□内填入加号或减号，使下式成立；能的话给出
一种填法，否则，说明理由。

1□2□3□4□5□6□7□8□9=10
不能，因为等式左边有单数个单数，它们的和差只能是奇数，而等
式右边10为偶数。

或解：无论各□内填入加号或减号，
1□2□3□4□5□6□7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数，而
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1□2□3□4□5□6□7□8□9一定是奇数。

5．已知：a，b，c均为奇数．证明ax?bx?c?0无有理根。

证：若
有有理根，记为2ppp,p,q互质，代入方程有a()2?b??c?0 qqq即ap?bpq?cq?0，这是不可能的，因为p,q互质，二者不可能同时为
偶数。

若p为偶数，则ap?bpq为偶数，但cq是奇数，它们的和
不可能为0;
若q为偶数，则bpq?cq为偶数，但ap是奇数，它们的和也不可
能为0。

222222
6．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，继续这样操作下去，最后得到三个数为35，47，83．问原来所写的
三个数能否是2，4，6?
解：不能．因为原来所写的三个数若是2，4，6，每次操作后剩下
的三个数是两偶一奇．
7．将1-—99这99个自然数依次写成一排，得一多位数a＝1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011…97 98 99，求a除以2或5、4或25、8或125、3
或9、11的余数分别是多少?
8．四位数7x2y能同时被2，3，5整除，求这样的四位数．
解：同时被2，5整除，个位为0，再考虑被3整除，有4个：7020，7320，7620，7920．
9．从5, 6, 7, 8, 9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数，它能同时被3, 5, 7整除，那么这些四位数中最大的一个是多少？被5整除，个位必为5. 5+6+7+8=26,
5+6+7+9=27 ,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除，故选
出的四个不同的数字是5, 6, 7,9,但不同排序有
9765,9675,7965,7695,6975,6795,
10．
11．1至1001各数按以下的格式排列成表，像表中所示的那样用—个正方形框住其中的9个数，要使9个数的和等于(1)2001，(2)2529，(3)1989，能否办到?如能办到，写出框里的最小数与最大数．如办
不到，说明理由．
1
8
15
22291623310172441118255121926613202771421 28
9959969979989991000
1001
解：设框里居中心的数为x,则9个数的和等于9x. (1) 9不能整除2001，∴和等于2001办不到；(2) 9x=2529，x=281，是所在行第
一个数，∴和等于2529办不到；(3) 9x=1989，x=221，和等于
1989能办到，框里的最大数为x+8=229，最小数为x－8=213．
12．证明：7(或11或13) |anan?1a3a2a1a0的特征是：7(或11或13) 整除|anan?1a3?a2aa| 10
附）广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—1中的部分
题目
6．24|62742??,求?,?.
9. 是否存在自然数a和b，使a2－b2 = 2002成立?
11．证明：当n∈z时，6 | n(n＋1)(2n＋1)．
12．已知：f?x??ax2?bx?c，f (0)，f (－1)，f (1)，x均为整数．证明：f?x??z.
解答：
3．偶数．因为a，b，c中，有三个奇数，所以a－1，c－3中至少
有一个是偶数．
6．只需3|62742,且8|62742，即3|(???),且8|，先考虑??0,2,4,6,8,有5组
解 ????0,???2,???4,???7,???9, ???????0;???4;???8;???2;?? ?6.
11．用数学归纳法或n(n+1)(2n+1)= n(n+1)(n+2)+(n－1)n(n+1)，
利用整除的基本性质(13)．
12．由f (0)，f (－1)，f (1)，x均为整数可得c, a+b, a－b均为整数. 进而知2a，2b为整数.
分类讨论(k∈z): x=2k时，由2a，2b为整数f (x)显然为整数;
x=2k+1时，f (2k+1) = 4ak(k+1) + 2bk + a + b + c, 可知f (x)仍然
为整数。

习题1-2
1. 判断下列各数中哪些是质数？109，2003，17357
2. 求证：对任意 n∈z+，必有
n 个连续的自然数都是合数.
3. 当 n 是什么整数时，n4+ n2+1是质数？
4. 求证：当 n∈z+时，4n3+6n2+4n +1是合数.
5. 求 a，使 a，a +4，a +14都是质数.
6. 已知两个质数 p和 q满足关系式 3p+5q=31.求p/(3q+1)的值.
7. 已知 p3，且 p和 2p+1都是质数，问 4p+1是质数还是合数？
8. 由超级计算机运算得到的结果（2859433－1）是一个质数，试问：（2859433+1）是质数还是合数？请说明理由.
9. 已知：质数p、q使得表达式（2p+1）/q及(2q-3)/p都是自然数，求 p、q的值 .
10. 试证：形如 4n -1的数中包含有无穷多个质数 .
11.（1）若 n 是合数，证明：2n-1也是合数；（2）有人认为下列
各和数：1+2+4，1+2+4+8，
1+2+4+8+16，…交替为质数与合数，你认为对吗？
12. 已知：质数p≥ 5，且是质数，证明：4p+1必是合数 .
习题1-2解答
11, 109用质数试除到
7, ?45,2003用质数试除到37，可知两者是质数，
2. 为作一般性证明，可如下构造n 个连续自然数：（n + 1）！+ 2，（n + 1）！+ 3，…，（n+ 1）！+ n + 1显然它们每个都是合数.
4. 利用4n3+ 6n2+4n+1= (2n+1)(2n2+ 2n+ 1) ,n∈z+, n≥1,2n+1和
2n2+ 2n+ 1皆为大于1的数.
5. a=3. 思路：分类讨论(k∈z): ∵ a=3k+1时，a + 14是3的倍数，a=3k+2时，a + 4是3
的倍数。

∴必有a =3k，即a为3的倍数。

而a是质数, 只有a =3时，三个数全是质数。

6. 条件为一个不定方程, 可知1 q≤ 5, 穷举得q=2, p=7; q=5,p=2
两组解。

故1或 1/8。

7. 合数. 利用质数 p 3得 p不是 3的倍数，p= 3k+ 1，3 | 2p+1，所以，p=3k+2，3 | 4p+1. 或解：4p，4p+1，4p+2是三个连续整数，
必有一个被3整除，由题设，只有3 | 4p+1.
8. 合数 . 2859433不可能是3的倍数，连续三个自然数中必有一个
是 3的倍数. 即（2859433+1）。

另一种解法：由习题1—1第1题（2）的结论，（2+1）|（2859433+1）．
9. 设2p?1?h,2q?3?k，h、 k 必为奇数, 2p?1?4p?2?4p?2?4p?2,
得k?4，而kqpq2qkp?3kp
不能为3, 故只有k =1, 这样2q－3=p , 代入h?4q?5?4，同时质数p、q 大于 3. 所以, 只
q
能有h =3, 因而得 q =5, p=7.
10. 先证：一切大于 2的质数，不是形如 4n + 1就是形如 4n－1的数；再证任意多个形如 4n+1的数，最后用数学归纳法验证 .
若形如 4n－1的质数只有有限个：p1, p2, ?, pk。

令n = 4 p1 p2 ? pk－1，n为形如 4n－1的数，由假设n必为合数，且必有一个形如
4n－1的质因数p（为什么？）, 因此p为 p1, p2, ?, pk中在某一个，于是，p | 1, 矛盾。

11.（1）n是合数, 设n=st, 2n-1=2st-1=（2s-1）［（2s）t-1+
（2s）t-2+ … + 2s+ 1］.
（2）1+2+22+ … +2n-1=2n-1. 当 n=14，15时，214-1，215-1均
为合数，∴不对 .
12. 书后提示说取模为6分类讨论 p，即设 p=6q+ r（r=0，1，2，3，4，5）.
由质数p≥ 5，若p=6q, 6q+2, 6q+3或6q+4, p皆为合数, 不可能. 若p=6q+ 1,
则2p +1=12q+ 3也是合数, 故在题设条件下, 只有p=6q+5, 此时
4p+1=24q+21, 是合数. 实际上，这题与第7题完全相同。

质数p 3?质数p≥ 5，可用前面的方法简单求解。

习题 1-3
1.求：（1）（21n +4，14n +3）（其中 n∈z+）；
（2）（30，45，84），［30，45，84］；（3）（5767，4453）.
2.求证：［an，bn］= ［a，b］n（a，b，n∈z+）.
3.自然数 n =10x+ y（x是非负整数，y是 n 的个位数字），求证：13 n的充要条件是 13 （x+4y）.
4.用割（尾）减法判断下列各数能否被 31，41，51整除：26691，1076537，1361241
5.有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号 .1 号同学写了一个自然数，2号说“这个数能被 2整除”，3号说“这个数能被3整除”……依此下去，每位同学都说这个数能被他的编号整除 .1 号做了一一验证，只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对 .问：（1）说得不对的两位同学的编号是什么数？（2）如果 1号写的数是 5位数，这个 5位数是多少？
6.
7. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 12 米，黄鼠狼每次跳2 34米，它们每秒钟都只跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔 12 38米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
8. 大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长 54厘米，爸爸每步长 72厘米 .由于两人脚印有重合，所以雪地上只留
【篇二：王进明初等数论习题解答】
s=txt>p17 习题1-1 1，2(2)(3), 3，7，11，12为作业。

1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.
解：a?12b?26,a?b?12?26?454,12b?26?b?12?26?454,
(12?1)b?454?12?26?26?390,b=30, 被除数a=12b+26=360.
这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题：
商为12,表明被除数减去余数后是除数的12倍，被除数减去余数后
与除数相加的和是除数的（12+1）倍，即454?12?26?26?390是除
数的13倍.
2．证明：(1) 当n∈z且n?9q?r(0?r?9)时，r只可能是0,1,8;
33证：把n按被9除的余数分类，即：若n=3k, k∈z，则n?27k,
r=0； 3
若n=3k +1, k∈z，则n?(3k)?3(3k)?3(3k)?1?9k(3k?3k?1)?1,r=1；若n=3k－1, k∈z，则n?(3k)?3(3k)?3(3k)?1?9(3k?3k?k?1)?8,r=8. 332323322
n3n2n??的值是整数。

(2) 当 n∈z时，326
n3n2n2n3?3n2?n32??=证因为，只需证明分子2n?3n?n是6的
倍数。

3266
2n3?3n2?n?n(2n2?3n?1)?(n?1)n(2n?1)
?(n?1)n(n?2?n?1)=n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1).
由k! 必整除k个连续整数知：6 |n(n?1)(n?2),6 |(n?1)n(n?1).
或证：2!|(n?1)n, (n?1)n必为偶数.故只需证3|(n?1)n(2n?1).
若3|n, 显然3|(n?1)n(2n?1)；若n为3k +1, k∈z，则n－1是3的
倍数，得知(n?1)n(2n?1)为3的倍数；若n为3k－1, k∈z，则2n
－1=2(3k－1)－1=6k-3, 2n－1是3的倍数.
综上所述，(n?1)n(2n?1)必是6的倍数,故命题得证。

(n?1)n(2n?1)222=0+1+2+?+(n-1)2,整数的平方和必为整数。

6
(n?1)n(2n?1)－当 n∈z时，-n∈z+, 从而同样推得为整数，故命题
得证。

6又证：
(3) 若n为非负整数，则133|(11n+2+122n+1)．
(4)当m，n，l∈n+时，(m?n?l)!的值总是整数 m!n!l!
证明：(m?n?l)!=(m?n?l)(m?n?l?1)?(n?l?1)(n?l)(n?l?1)?(l?1)?l! 由k!必整除k个连续整数知：m!|(m?n?l)(m?n?l?1)?(n?l?1),
n! |(n?l)(n?l?1)?(l?1)，从而由和的整除性即证得命题。

(5)当a，b∈z且a ≠－b，n是双数时，?a?b?|(a?b)； nn
(6)当a，b∈z且a ≠－b，n是单数时，?a?b?|(a?b)． nn
解：利用例5结论：若a ≠ b，则?a?b?|(a?b)．令b=－b*, 即得。

nn
或解： a = (a+b)－b， (5) 当n为双数时，由二项式展开
nan?bn??a?b?b?b? ????n
??a?b??n?a?b?nn?1b?????1?n?1n?a?b?bn?1，证得。

(6) 当
n为单数时类似可得。

3．已知a1，a2，a3，a4，a5，b∈z,且?a
i?152i?b2，说明这六个数不能都是奇数．
解：若这六个数都是奇数，设ai?2ki?1,ki?z,i?1,2,3,4,5，则
?a??(2k?1)2
ii
i?1i?1552?4?ki(ki?1)?5，因为2|ki(ki?1)，所以8 | 4?ki(ki?1),
i?155i?1
?a
i?152i?8q?5,q?z, 而b2?(2k?1)2?4k(k?1)?1，b2?8q*?1，k,q*?z，即等式左边被8除余5, 而右边被8除余1, 故不可能这六个数都是
奇数。

4．能否在下式的各□内填入加号或减号，使下式成立；能的话给出
一种填法，否则，说明理由。

1□2□3□4□5□6□7□8□9=10
不能，因为等式左边有单数个单数，它们的和差只能是奇数，而等
式右边10为偶数。

或解：无论各□内填入加号或减号，
1□2□3□4□5□6□7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数，而
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1□2□3□4□5□6□7□8□9一定是奇数。

5．已知：a，b，c均为奇数．证明ax?bx?c?0无有理根。

证：若
有有理根，记为2ppp,p,q互质，代入方程有a()2?b??c?0 qqq
即ap2?bpq?cq2?0，这是不可能的，因为p,q互质，二者不可能同时为偶数。

若p为偶数，则ap2?bpq为偶数，但cq是奇数，它们
的和不可能为0;
若q为偶数，则bpq?cq2为偶数，但ap是奇数，它们的和也不可
能为0。

6．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，继续这样操作下去，最后得到三个数为35，47，83．问原来所写的
三个数能否是2，4，6?
解：不能．因为原来所写的三个数若是2，4，6，每次操作后剩下
的三个数是两偶一奇．
7．将1-—99这99个自然数依次写成一排，得一多位数a＝1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011…97 98 99，求a除以2或5、4或25、8或125、3
或9、11的余数分别是多少?
8．四位数7x2y能同时被2，3，5整除，求这样的四位数．
解：同时被2，5整除，个位为0，再考虑被3整除，有4个：7020，7320，7620，7920．
9．从5, 6, 7, 8, 9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数，它能同时被3, 5, 7整除，那么这些四位数中最大的一个是多少？被5整除，个位必为5. 5+6+7+8=26,
5+6+7+9=27 ,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除，故选
出的四个不同的数字是5, 6, 7,9,但不同排序有
9765,9675,7965,7695,6975,6795,
10．
11．1至1001各数按以下的格式排列成表，像表中所示的那样用—个正方形框住其中的9个数，要使9个数的和等于(1)2001，(2)2529，(3)1989，能否办到?如能办到，写出框里的最小数与最大数．如办
不到，说明理由． 22
1
8
15
22291623310172441118255121926613202771421 28
?????
99599699799899910001001
解：设框里居中心的数为x,则9个数的和等于9x. (1) 9不能整除2001，∴和等于2001办不到；(2) 9x=2529，x=281，是所在行第
一个数，∴和等于2529办不到；(3) 9x=1989，x=221，和等于
1989能办到，框里的最大数为x+8=229，最小数为x－8=213．
12．证明：7(或11或13) |anan?1?a3a2a1a0的特征是：7(或11
或13) 整除|anan?1?a3?a2aa| 10
或
anan?1?a3a2a1a0?anan?1?a3?7?11?13?(anan?1?a3?a2a1a0)
∴
附）广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—1中的部分题目
(与上面相同或相似的题目不列，以下各章节同)
6．24|62742,求?,?.
9. 是否存在自然数a和b，使a2－b2 = 2002成立?
11．证明：当n∈z时，6 | n(n＋1)(2n＋1)．
12．已知：f?x??ax?bx?c，f (0)，f (－1)，f (1)，x均为整数．证明：f?x??z. 2
解答：
3．偶数．因为a，b，c中，有三个奇数，所以a－1，c－3中至少
有一个是偶数．
6．只需3|62742??,且8|62742??，即3|(???),且8|??，先考
虑??0,2,4,6,8,有5组
解 ????0,???2,???4,???7,???9, ???????0;???4;???8;???2;?? ?6.
11．用数学归纳法或n(n+1)(2n+1)= n(n+1)(n+2)+(n－1)n(n+1)，
利用整除的基本性质(13)．
12．由f (0)，f (－1)，f (1)，x均为整数可得c, a+b, a－b均为整数. 进而知2a，2b为整数.
分类讨论(k∈z): x=2k时，由2a，2b为整数f (x)显然为整数;
x=2k+1时，f (2k+1) = 4ak(k+1) + 2bk + a + b + c, 可知f (x)仍然
为整数。

习题1-2
1. 用试除法确定下列各数中哪些是质数？哪些是合数？1987，2027，2461，17357
?
45, 45.022, 用质数试除到43，可知两者是质数，
2. 当 n 是什么正整数时，f1(n)?n?4，f2(n)?n?5n?9n+8n2+4n +1, f3(n)= n44543－18n2+45, f4(n)= n4+ n2+1, f5(n)?3n?4n?1的值是质数？是合数？ 2
解：f1(n)?n?4n?4?4n?(n?2)?(2n)?(n?2n?2)(n?2n?2) 42222222 ?[(n?1)2?1][(n?1)2?1]，当n =1时，f1(n)是质数；当n 1时，f1(n)是合数。

f2(n)?(n5?2n4?n3)?(3n4?6n3?3n2)+(2n3?4n2?2n)?(n2?2n?1)
=( n +1)2(n3+3n2+2n +1)。

n 无论是什么正整数时，n +11，∴f2(n)总是合数。

f3(n)=(n2?3)(n2?15)令n2－3=1或n2－15=1知仅当 n=2或 n= 4时，f3(n)为质数，
n为其它正整数时，f3(n)是合数。

∵ n4+ n2+1 = n4+ 2n2+1－n2 = (n2+ n+ 1)(n2－n+ 1)，令n2+
n+ 1=1或n2－n+ 1=1知仅当 n= 1时，f4(n)=n4+ n2+1为质数，
n 1时，f4(n)是合数。

f5(n)?(3n?1)(n?1)，∴f5(n)当n=2时为质数，n为其它正整数时是
合数。

3. 试证：(1) 一切大于3的质数，不是形如6n +1就是6n－1的数(n∈n)；
(2) 任意多个形如6n +1的数的乘积仍是形如6n +1的数；
(3) 形如 6n－1的数中含有无限多个质数.
(2)先证明两个形如6n +1的数的乘积仍是形如6n +1的数：
(6n1?1)(6n2?1)?36n1n2?6n1?6n2?1?6(6n1n2?n1?n2)?1，
显然，6n1n2?n1?n2?n，结论成立。

然后用数学归纳法可得一般性结论。

(3) 若形如 6n－1的数中只有k个质数：p1, p2, …, pk。

令n = 6
p1 p2 … pk－1，n为形如 6n－1的数，由假设n必为合数，且必
有一个形如 6n－1的质因数p（否则就全是形如 6n + 1的数，由(2)
中结论，乘积必为形如 6n+1的数，与n的形式不符）, 因此p为
p1, p2, …, pk中的某一个，于是，p | 1, 矛盾。

4. 设m1，当m |[(m?1)!?1]时，m必为质数.
证：若m为合数，m最小的大于1的约数必为质数，设为p, p是
2,3, …,m－1中一个数。

显然p | (m－1)!且p | [(m－1)!+1]，于是，p | 1, 矛盾。

5. 是否有1999 个连续的自然数, 它们之中恰好只有一个是质数？证：显然存在1998个连续的自然数都是合数, 比如1999!+2,
1999!+3, …, 1999!+1999. 现在设a1,a2,?，a1998是任意1998个
连续的合数,若比a1小的最大的质数是 p，则p,p+1,p+2,,?，
p+1998 就是题目所要求的1999 个连续的自然数。

这里的p可以如下确定：比a1小1的不是质数, 就考虑比a1小2的，还不是，就考虑小3的,?，直到是质数为止，这个质数即为p。

事实上，p后面的合数不少于1998个，所以可从p后面选1998个都是合数。

附）广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—2中的部分
题目(与以上相同的不列)
1. 判断下列各数中哪些是质数？109，2003
2. 求证：对任意 n∈z+，必有 n 个连续的自然数都是合数.
4. 求证：当 n∈z+时，4n3+6n2+4n +1是合数.
【篇三：王进明初等数论习题详细解答2013.5第九版
(可打印版)】
s=txt>p17 习题1-1 1，2(2)(3), 3，7，11，12为作业。

1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及
余数之和为454．求被除数.
解：a?12b?26,a?b?12?26?454,12b?26?b?12?26?454,
(12?1)b?454?12?26?26?390,b=30, 被除数a=12b+26=360.
这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题：
商为12,表明被除数减去余数后是除数的12倍，被除数减去余数后
与除数相加的和是除数的（12+1）倍，即454?12?26?26?390是除
数的13倍.
2．证明：(1) 当n∈z且n?9q?r(0?r?9)时，r只可能是0,1,8;
证：把n按被9除的余数分类，即：若n=3k, k∈z，则n?27k, r=0；若n=3k +1, k∈z，则n?(3k)?3(3k)?3(3k)?1?9k(3k?3k?1)?1,r=1；若n=3k－1, k∈z，则
n?(3k)?3(3k)?3(3k)?1?9(3k?3k?k?1)?8,r=8. 332323322333
n3n2n??的值是整数。

(2) 当 n∈z时，326
n3n2n2n3?3n2?n32??=证因为，只需证明分子2n?3n?n是6的
倍数。

3266
2n3?3n2?n?n(2n2?3n?1)?(n?1)n(2n?1)
?(n?1)n(n?2?n?1)=n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1).
由k! 必整除k个连续整数知：6 |n(n?1)(n?2),6 |(n?1)n(n?1).
或证：2!|(n?1)n, (n?1)n必为偶数.故只需证3|(n?1)n(2n?1).
若3|n, 显然3|(n?1)n(2n?1)；若n为3k +1, k∈z，则n－1是3的
倍数，得知
(n?1)n(2n?1)为3的倍数；若n为3k－1, k∈z，则2n－1=2(3k－1)－1=6k-3, 2n－1是3的倍数.
综上所述，(n?1)n(2n?1)必是6的倍数,故命题得证。

(n?1)n(2n?1)222=0+1+2+?+(n-1)2,整数的平方和必为整数。

6
(n?1)n(2n?1)－当 n∈z时，-n∈z+, 从而同样推得为整数，故命题
得证。

6又证：
(3) 若n为非负整数，则133|(11n+2+122n+1)．
(4)当m，n，l∈n+时，(m?n?l)!的值总是整数 m!n!l!
证明：(m?n?l)!=(m?n?l)(m?n?l?1)?(n?l?1)(n?l)(n?l?1)?(l?1)?l! 由k!必整除k个连续整数知：m!|(m?n?l)(m?n?l?1)?(n?l?1),
n! |(n?l)(n?l?1)?(l?1)，从而由和的整除性即证得命题。

(5)当a，b∈z且a ≠－b，n是双数时，?a?b?|(an?bn)；
(6)当a，b∈z且a ≠－b，n是单数时，?a?b?|(a?b)． nn
解：利用例5结论：若a ≠ b，则?a?b?|(a?b)．令b=－b*, 即得。

nn
或解： a = (a+b)－b， (5) 当n为双数时，由二项式展开
nan?bn??a?b?b?b? ????n
??a?b??n?a?b?nn?1b?????1?n?1n?a?b?bn?1，证得。

(6) 当
n为单数时类似可得。

3．已知a1，a2，a3，a4，a5，b∈z,且?a
i?152i?b2，说明这六个数不能都是奇数．
解：若这六个数都是奇数，设ai?2ki?1,ki?z,i?1,2,3,4,5，则
?a??(2k?1)2
ii
i?1i?1552?4?ki(ki?1)?5，因为2|ki(ki?1)，所以8 | 4?ki(ki?1),
i?155i?1
?a
i?152i?8q?5,q?z, 而b2?(2k?1)2?4k(k?1)?1，b2?8q*?1，k,q*?z，即等式左边被8除余5, 而右边被8除余1, 故不可能这六个数都是
奇数。

4．能否在下式的各□内填入加号或减号，使下式成立；能的话给出
一种填法，否则，说明理由。

1□2□3□4□5□6□7□8□9=10
不能，因为等式左边有单数个单数，它们的和差只能是奇数，而等
式右边10为偶数。

或解：无论各□内填入加号或减号，
1□2□3□4□5□6□7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数，而
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1□2□3□4□5□6□7□8□9一定是奇数。

5．已知：a，b，c均为奇数．证明ax?bx?c?0无有理根。

证：若
有有理根，记为2ppp,p,q互质，代入方程有a()2?b??c?0 qqq
即ap2?bpq?cq2?0，这是不可能的，因为p,q互质，二者不可能同时为偶数。

若p为偶数，则ap2?bpq为偶数，但cq2是奇数，它
们的和不可能为0;
若q为偶数，则bpq?cq2为偶数，但ap2是奇数，它们的和也不
可能为0。

6．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，继续这样操作下去，最后得到三个数为35，47，83．问原来所写的
三个数能否是2，4，6?
解：不能．因为原来所写的三个数若是2，4，6，每次操作后剩下
的三个数是两偶一奇．
7．将1-—99这99个自然数依次写成一排，得一多位数a＝1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011…97 98 99，求a除以2或5、4或25、8或125、3
或9、11的余数分别是多少?
8．四位数7x2y能同时被2，3，5整除，求这样的四位数．
解：同时被2，5整除，个位为0，再考虑被3整除，有4个：7020，7320，7620，7920．
9．从5, 6, 7, 8, 9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数，它能同时被3, 5, 7整除，那么这些四位数中最大的一个是多少？被5整除，个位必为5. 5+6+7+8=26,
5+6+7+9=27 ,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除，故选
出的四个不同的数字是5, 6, 7,9,但不同排序有
9765,9675,7965,7695,6975,6795,
10．
11．1至1001各数按以下的格式排列成表，像表中所示的那样用—个正方形框住其中的9个数，要使9个数的和等于(1)2001，(2)2529，(3)1989，能否办到?如能办到，写出框里的最小数与最大数．如办
不到，说明理由．
1
8
15
22291623310172441118255121926613202771421 28
?????
99599699799899910001001
解：设框里居中心的数为x,则9个数的和等于9x. (1) 9不能整除2001，∴和等于2001办不到；(2) 9x=2529，x=281，是所在行第
一个数，∴和等于2529办不到；(3) 9x=1989，x=221，和等于
1989能办到，框里的最大数为x+8=229，最小数为x－8=213．
12．证明：7(或11或13) |anan?1?a3a2a1a0的特征是：7(或11
或13) 整除|anan?1?a3?a2aa| 10
或
anan?1?a3a2a1a0?anan?1?a3?7?11?13?(anan?1?a3?a2a1a0)
∴
附）广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—1中的部分题目
(与上面相同或相似的题目不列，以下各章节同)
6．24|62742,求?,?.
9. 是否存在自然数a和b，使a2－b2 = 2002成立?
11．证明：当n∈z时，6 | n(n＋1)(2n＋1)．
12．已知：f?x??ax?bx?c，f (0)，f (－1)，f (1)，x均为整数．证明：f?x??z. 2
解答：
3．偶数．因为a，b，c中，有三个奇数，所以a－1，c－3中至少
有一个是偶数．
6．只需3|62742??,且8|62742??，即3|(???),且8|??，先考
虑??0,2,4,6,8,有5组
解 ????0,???2,???4,???7,???9, ???????0;???4;???8;???2;?? ?6.
11．用数学归纳法或n(n+1)(2n+1)= n(n+1)(n+2)+(n－1)n(n+1)，
利用整除的基本性质(13)．
12．由f (0)，f (－1)，f (1)，x均为整数可得c, a+b, a－b均为整数. 进而知2a，2b为整数.
分类讨论(k∈z): x=2k时，由2a，2b为整数f (x)显然为整数;
x=2k+1时，f (2k+1) = 4ak(k+1) + 2bk + a + b + c, 可知f (x)仍然
为整数。

习题1-2
1. 用试除法确定下列各数中哪些是质数？哪些是合数？1987，2027，2461，17357
?
45, 45.022, 用质数试除到43，可知两者是质数，
2. 当 n 是什么正整数时，f1(n)?n?4，f2(n)?n?5n?9n+8n2+4n +1, f3(n)= n44543－18n2+45, f4(n)= n4+ n2+1, f5(n)?3n?4n?1的值是质数？是合数？ 2
解：f1(n)?n?4n?4?4n?(n?2)?(2n)?(n?2n?2)(n?2n?2) 42222222 ?[(n?1)2?1][(n?1)2?1]，当n =1时，f1(n)是质数；当n 1时，f1(n)是合数。

f2(n)?(n5?2n4?n3)?(3n4?6n3?3n2)+(2n3?4n2?2n)?(n2?2n?1)
=( n +1)2(n3+3n2+2n +1)。

n 无论是什么正整数时，n +11，∴f2(n)总是合数。

f3(n)=(n2?3)(n2?15)令n2－3=1或n2－15=1知仅当 n=2或 n= 4时，f3(n)为质数，
n为其它正整数时，f3(n)是合数。

∵ n4+ n2+1 = n4+ 2n2+1－n2 = (n2+ n+ 1)(n2－n+ 1)，令n2+
n+ 1=1或n2－n+ 1=1知仅当 n= 1时，f4(n)=n4+ n2+1为质数，
n 1时，f4(n)是合数。

f5(n)?(3n?1)(n?1)，∴f5(n)当n=2时为质数，n为其它正整数时是
合数。

3. 试证：(1) 一切大于3的质数，不是形如6n +1就是6n－1的数(n∈n)；
(2) 任意多个形如6n +1的数的乘积仍是形如6n +1的数；
(3) 形如 6n－1的数中含有无限多个质数.
(2)先证明两个形如6n +1的数的乘积仍是形如6n +1的数：
(6n1?1)(6n2?1)?36n1n2?6n1?6n2?1?6(6n1n2?n1?n2)?1，
显然，6n1n2?n1?n2?n，结论成立。

然后用数学归纳法可得一般性结论。

(3) 若形如 6n－1的数中只有k个质数：p1, p2, …, pk。

令n = 6
p1 p2 … pk－1，n为形如 6n－1的数，由假设n必为合数，且必
有一个形如 6n－1的质因数p（否则就全是形如 6n + 1的数，由(2)
中结论，乘积必为形如 6n+1的数，与n的形式不符）, 因此p为
p1, p2, …, pk中的某一个，于是，p | 1, 矛盾。

4. 设m1，当m |[(m?1)!?1]时，m必为质数.
证：若m为合数，m最小的大于1的约数必为质数，设为p, p是
2,3, …,m－1中一个数。

显然p | (m－1)!且p | [(m－1)!+1]，于是，p | 1, 矛盾。

5. 是否有1999 个连续的自然数, 它们之中恰好只有一个是质数？证：显然存在1998个连续的自然数都是合数, 比如1999!+2,
1999!+3, …, 1999!+1999.
现在设a1,a2,?，a1998是任意1998个连续的合数,若比a1小的最
大的质数是 p，则p,p+1,p+2,,?，p+1998 就是题目所要求的1999
个连续的自然数。

这里的p可以如下确定：比a1小1的不是质数, 就考虑比a1小2的，还不是，就考虑小3的,?，直到是质数为止，这个质数即为p。

事实上，p后面的合数不少于1998个，所以可从p后面选1998个都是合数。

附）广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—2中的部分
题目(与以上相同的不列)
1. 判断下列各数中哪些是质数？109，2003
2. 求证：对任意 n∈z+，必有 n 个连续的自然数都是合数.
4. 求证：当 n∈z+时，4n3+6n2+4n +1是合数.。