Casimir侧向力效应

华中科技大学
硕士学位论文Casimir侧向力效应
姓名：***
申请学位级别：硕士专业：理论物理指导教师：***
20061118
摘要
Casimir效应是一个纯粹的量子效应，它是真空电磁场因边界条件的变化而使零点能变化所引起的效应，是量子真空对边界依赖的一个直接表现。

根据实际的实验条件，需要对Casimir效应作一些相应的修正，其中主要考虑有限温度、金属表面的粗糙程度及金属边界的有限传导率等因素对Casimir力的影响。

从1948年H.B.G.Casimir指出两平行导体平板间存在相互作用开始，人们一直在探索研究Casimir效应的有效方法，但是到现在为止，人们只通过选模的方法推导出了两个理想导体平板之间的Casimir力的严格表达式。

对于波形板系统而言，模式很难确定，因此波形板系统不能用选模的方法进行计算。

1998年，R.Golestanian首次将路径积分的方法应用于计算波形导体板间的Casimir力中，并给出了基本的表达式。

此次计算并未考虑温度的影响，给出的结果应用并不广泛。

但是，这种新颖的计算方法为Casimir效应的理论研究带来了新的突破，同时对实验也有一定的推动作用。

本文中我们主要介绍了路径积分的计算方法，并考虑了理想导体板的粗糙程度以及温度等因素对Casimir效应的影响，对其表达式做了一定的修正。

我的研究工作主要包括以下两个方面：一、将温度引入到路径积分的计算方法中，得到了考虑温度效应修正项的理想导体平板间Casimir力的严格表达式。

二、运用这种方法考虑理想导体板刻蚀波形的情况，给出了刻有余弦条纹的理想导体板间的侧向力表达式，
λ=。

根据该结并分析了侧向力的振幅具有最大值时条纹波长λ与间距H的关系2H
论我们提出，可以运用测量Casimir侧向力的方法来检测其温度效应。

文中针对该提议进行了数值计算，给出了在温度为300K，间距为10μm，板的面积为10cm×10cm 时，侧向力的大小为4×10－10N。

在这种条件下，扭秤的力臂约为3cm，则此时的力矩约为 1.2×10-11 Nm。

现阶段，扭秤实验方法中，扭秤平衡的灵敏度约为10-15Nm，因此扭称法可以检测到该效应。

关键词：卡什米尔效应，有限温度，侧向力，路径积分
Abstract
The Casimir effect is a pure quantum effect. The Casimir effect results from the alteration by the boundaries of the zero-point electromagnetic energy, and it is a direct manifestation of the boundary dependence of quantum vacuum. To making theory confide with experiments, it is necessary to correct the Casimir effect for real media including effects of nonzero temperature, finite conductivity of the boundary metal and surface roughness and also the combined effect of these important factors.
Since Casimir made the remarkable prediction that there is an attractive force between a pair of uncharged parallel conducting plates due to the vacuum fluctuations of the electromagnetic field, a considerable amount of effort, which varies from the investigation of new geometries and theories to the application of the Casimir effect to alternation technologies, has been put into the study of this important subject. Up to now, we only get the analytical result for two parallel perfectly conducting metal plates. In 1998, R.Golestanian calculated the Casimir effect using the path-integral method, and got the analytical result for two deformed plates. This result did not consider the finite temperature and finite conductivity of the boundary metal, but it provides a new method for the study of the Casimir effect.
In this thesis, based on the path-integral method, the corrections to the Casimir energy due to the combined effect of the surface roughness and the finite temperature were calculated. Firstly, the analytical result for two parallel perfectly conducting metal plates at finite temperature is obtained. Secondly, for the specific case of sinusoidally corrugated plates, the lateral Casimir force at finite temperature is obtained, where the amplitude of the lateral Casimir force has a maximum at an optimal wavelength of λ≈2H with the mean plate distance H.At present, we always use the torsion balance experiment to measure the weak forces. In the experiment, one can design the plates with the area S=10cm×10cm and the beam length 3cm, the room temperature T=300K, the mean separation H=10 µm and a=2 µm. Then the amplitude of the lateral Casimir force will be about 4×10-10 N.In this
condition, the torque will be about 1.2×10-11 Nm. It could be measured since the present sensitivity of the torsion balance is about 10-15Nm, which represents the thermal noise level for a general torsion balance.
Keywords: finite temperature, Casimir effect, the lateral Casimir force, the path-integral method.
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近我所知，除文中已标明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的研究成果。

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日期：2006年 月 日
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1 绪 论
1.1 Casimir 效应概述
在经典电动力学中，电中性的物体之间不存在电磁相互作用，但量子力学中则与之不同。

H.B.G .Casimir [1]于1948年指出，真空中的电中性物体之间也存在相互作用。

他指出，Casimir 效应产生原因在于即使在绝对零度，真空中也充满了量子(电磁)涨落，涨落的模是连续的；但是中性宏观物体的出现会改变涨落的模，从而使得零点能会依赖于宏观物体之间的距离，零点能对距离的导数可以认为是宏观物体之间的有效相互作用。

这种由涨落导致相互作用的现象就叫做Casimir 效应，涨落导致的相互作用力叫做Casimir 力。

1948年H.B.G .Casimir 计算了在真空中放置的一对无穷大平行中性导体板间的Casimir 力的大小[1-4]。

1958年，M.J. Sparnaay [5]第一次在实验上检测出这一相互作用力，从而验证了Casimir 效应的存在；由此，关于Casimir 效应的实验检验受到了许多研究人员的关注。

Casimir 效应是一个纯粹的量子效应[6-11]——在经典电磁场中，中性板间是没有力的，它是真空中的电磁场因边界条件的变化而引起的效应，可以简单而深刻的解释为范德瓦尔斯力。

Casimir 力与边界的形状有很大的关系，是边界大小，几何形状和拓扑的函数，其可以是吸引力也可以是排斥力。

因此Casimir 力是量子真空对边界的依赖的一个直接表现；同时，它也是量子电动力学最著名的预测之一。

通常，Casimir 力是指在真空中两个相互靠近的平行导体极板间产生的相互吸引力。

单位面积上所受力的大小为24/240c H π=，其中H 为两导体板间的距离。

从理论的角度上看，Casimir 效应是量子力学中与零点能相关联的一个纯粹的量子效应。

零点能发散是量子场论的固有特征，它是正则场量子化的一个直接后果。

在实验上，Casimir 效应是少有的具有宏观结果的真空效应之一，因此Casimir 效应的实验检验一直是研究的热点。

同时，由于理论和实验上对Casimir 效应的验证使得在量子场论中讨论零点能有了严格的基础，也使得Casimir 效应在量子力学中有着重要的一席之地。

此外，Casimir 效应在物理中的许多不同领域中也起着重要角色，如量子场论，凝聚态物理，原子和分子物理，万有引力和宇宙学及数学物理[12-14]等。

1.2 Casimir 效应的理论发展
目前，对Casimir 效应的计算方法有许多种，这里介绍其中的一种，即：通过真空电磁场的涨落和零点能的变化，计算真空电磁场中的一对无穷大平行中性导体板间的相互吸引力。

它的基本思想是选择合适的模式来计算能量，从而给出Casimir 力的表达式。

考虑两块L ×L 理想导体，距离为H 。

以两边长方向为x, y 轴，H 方向为z 轴。

运用选模的方法计算能量，则盒中电磁波模式为：
22212222()lmn l m n c L L H
ωπ=++， （1－1）此处,,l m n 为正整数或者0。

系统中场的零点能为：
0,,22212222,,1()22()lmn l m n l m n
E d l m n c L L H ωπ′=
×′=++∑∑==， （1－2）
式（1－2）中因子2来源于每一个模式,,0l m n ≠的两个独立偏振态。

求和号上的撇号“′”，意味着如果三个指标,,l m n 中的一个为0时，不用因子2，因为对这种模式只有一个偏振态，设H L ，对l 和m 求和就可以用积分代替，即：
22122
202200()()n cL n E H dx dy x y H π∞∞′=++∑∫∫= 。

（1－3）在体积为L ×L ×H 的自由空间中的零点能为：
21
22220,300()free cL H E dx dy x y z π∞∞=++∫∫=， （1－4）比较（1－3）和（1－4）式可知，z 方向对模式的局限给零点能带来的变化为：
0,22112222222
220000()()()free
n V H E E cL n H dx dy x y dx dy x y z H ππ∞∞∞
∞=− ′=++−++ ∑∫∫∫∫=。

（1－5）对上式进行化简，通过引入切断函数的方法可以推导出能量的表达式，之后再对能量求一次导数即可得到理想导体平板间Casimir 力的严格表达式[1]：
24240c
F H π==。

（1－6）
这种选模的计算方法只适用于平板模型，因为对于波形模型或者球与板的模型，lmn ω难以确定，因此对于非平板模型，人们不得不换一种方法进行计算。

后来，有
人从体元相互作用的角度出发来计算Casimir 能量，其主要思想是把Casimir 相互作用近似地看作是各体元相互作用之和。

此时，假设两体元之间的相互作用势是一种滞后的（Retarded ）范德瓦尔斯势，可表示为7
1U r ∝−，其系数待定。

将这个关系式运用到平板模型，根据平板模型力的表达式给出其待定的系数，确定出它的具体表示形式，即：7
1
24c U r π=−⋅=。

再将该相互作用势公式运用到球与平板模型，最终可以推导出球与平板模型的Casimir 力的近似表达式[15]：33360R c F H π==PS 。

（1－7）
这种计算方法是一种近似的计算，它忽略了“Casimir 效应是依赖于边界条件的”这一性质，因此给出的结果准确度不高。

而且，这种近似计算的方法有一严重的失误，即：它不能解释经典的产生Casimir 排斥力的模型。

1997年，实验上首次检验球与平板系统的Casimir 效应[16]，虽然实验本身精度不低，达到了5％，但是由于理论计算上沿用了上述的近似方法，因此很快遭到了研究人员的质疑[17]。

现阶段，理论工作的出发点就是超越这种近似计算的方法，寻找一种能够给出任意理想导体板模型的Casimir 力的严格表达式的计算方法。

1998年，理论上首次运用路径积分[44]的方法推导出了两个理想波形导体板间Casimir 力的表达式[18]，但是
此次计算只给出了含有波形函数((),())h x h y K K 的表达式而未考虑具体的波函数。

此后，人们继续运用该方法进行研究计算， 2001年在考虑了波形导体板的波形函数的基础上，给出了一个更加详细的Casimir 能量的表达式[19]：
22323243
22263456233242()()720()ln(1)(1)()48030192024
11()()()()243264256945()ln(1)(11440301920TM TE TM TE c a H H E G G H
H s s s G s u Li u Li u s s s Li u Li u Li u Li u s s
s G s u Li u s πλλπππππππππππ =−++
=−−+
−+ ++++− =−−+−=222623456423)(12)()
48
15717()()()()()4864641282562135s s Li u s s Li u Li u Li u Li u Li u s ππππππ−+ +−+++−+ ，
（1－8）
其中： 1()n n z Li z ννν∞==∑
，4x u e π−=，H s λ=，H 为模型平均间距，λ为刻蚀条纹的波
长。

2003年，研究人员讨论了路径积分的方法与近似计算的差异[42]（如图1.2.1）。

图1.2.1 虚线表示近似计算方法（PWS）结果，实线表示路径积分计算方法结果[42]。

对于刻蚀条纹的模型，其力的性质表现为侧向力的形式，这是因为Casimir效应是一种几何效应，即其力的主要性质是由其几何形状（亦叫做粗糙度）起主要作用的。

同时，关于侧向力的产生在理论上[37,60]和实验[38]上都已经被证实。

通过（1－8）式我们可以看出，波形导体板模型的Casimir侧向力不仅与间距H有关，还与刻蚀条纹的波长λ有关系，这一结果对我们研究Casimir效应的修正项有很大的帮助，下一节我们会就该问题进行详细说明。

1.3 Casimir效应的修正项
理论上对于Casimir力的计算条件是非常理想的，而在实际的实验条件下，如金属表面的粗糙程度[20-23]，有限温度[24-30]及金属边界的有限传导率[7]等因素对Casimir 力的测量有很大的影响。

为了使理论跟实验更相符合，需要对Casimir效应作一些相应的修正。

对于有限温度对Casimir效应的修正，实验上最早是由M. Fierz和J. Mehra分别在1960年和1967年针对导体板间的Casimir效应所进行的研究[31,32]，所得出的结论仅低于Sparnaay在1958年测出的实验结果。

同时在理论上，人们对于温度对Casimir 力的影响也进行着各种深入的研究，1956年，Lifshitz发表了有限温度下的真空电磁涨落理论，并计算了有限温度下的Casimir效应[33]，但是Lifshitz理论从提出到现在一直存在着争议[34,35]。

虽然在此之后又有许多人根据真空自由能密度对该修正项做了讨论，但是直到现在，对于该修正项仍然存在着许多问题。

与此同时，我们知道Casimir温度修正项是与理想导体板间距有关的，即：随着间距的增大，修正项越来越明显。

但是，根据Casimir力的公式我们可以看出，随着间距的增大，Casimir力急剧的减少，因此在实验上检测Casimir温度修正项也是相当困难的。

近几年，关于Casimir温度修正项的研究越来越多，而侧向力的研究给我们检测该修正项提供了契机。

由于侧向力与H、λ均有关系，而且通过式（1－8）可以看出，该力与λ成反比关系，因此我们可以通过增加刻蚀条纹的数目来增强侧向力的大小，由此检测其温度修正项。

最近几年，Casimir效应得到了广大物理学家的极大关注，对于其修正项的研究也取得了一定的进展。

同时，随着科技的发展，具体的实验条件发生着变化，因此对Casimir效应的修正也得到不断的发展[7]。

研究有限温度下的Casimir效应的重要性，不仅在于对温度场论的更加深入了解，而且在微系统技术和纳米技术中，亦有相当广泛的应用前景。

同时，随着集成电路向更加超大规模方向发展，人们开始考虑微米或者亚微米范围的各种相互作用力对微电子技术的影响，而这里正是Casimir 效应极其显著的范围。

对于半导体材料的各种特性包括Casimir效应的了解将有助于超大规模集成电路的独立设计与发展。

因此，采用先进的测量方法和手段对有限温度下Casimir效应进行精确测量具有重要的应用前景[36,37]。

本文在第三章将详细介绍如何运用路径积分的方法进行的计算，并给出考虑温度修正项和理想导体板粗糙程度的Casimir侧向力的严格结果。

1.4 Casimir侧向力的实验进展
第一个检测Casimir侧向力的实验是U.Mohideen于2002年完成的[38]。

他运用原子力镜显微镜测量了间距在0.2μm到0.3μm之间的刻有正弦波形条纹的理想导体板和一个很大的金属球之间的侧向力的大小。

实验装置如图1.4.1。

图1.4.1 用原子力显微镜测量Casimir效应的示意图。

在PZT上加电压使金属平板向球面运动。

实验环境的压强为50mTorr，温度为室温[38]。

实验中运用了一个变形的衍射光栅来代替理想导体板，其波长为 1.2m λµ=，振幅为90nm 。

实验最终测得的力是呈周期性变化的，且其周期恒定。

这一结果是在人们的预料之中的[39-41]。

图 1.4.2给出了随着两板侧向位移的变化，侧向力的大小的变化，同时，从该图中我们也可以看出，测得的侧向力的曲线与正弦曲线很吻合。

图1.4.2 随着系统侧向位移的变化，侧向力的大小的变化曲线[88]。

之后，研究人员分析了系统误差和随机误差得出，在间距为221nm 时，侧向力的最大值为2×10－3N ，其相对误差为24％。

为了使该实验的理论值与实验值更好的吻合，研究人员考虑了导体板的有限传导率和表面粗糙程度的修正。

而图1.4.3给出了由于考虑有限传导率而引入的修正，其中0lat lat F F η=，即由于考虑有限传导率而
引入的修正系数。

但是在此次实验的理论计算中，人们运用了沿用已久的近似计算的方法，因此其可信度仍然受到人们的质疑。

图1.4.3 考虑导体有限传导率而引入的修正，0lat lat F F η=为修正系数，z 为系统间距[38]。

小结：
本章详细介绍了Casimir 效应及其理论研究的发展，并针对现阶段理论工作存在的问题进行了讨论。

同时也考虑了实际实验中存在的一些修正的问题，如：有限温度，金属表面的粗糙程度及金属边界的有限传导率等因素对Casimir 力的修正问题。

在讨论的同时也针对这些问题，特别是有限温度对该效应的影响，提出了相应的观点。

在本章的最后一节，详细地介绍了Casimir 侧向力研究的实验进展，并提出了相关的问题。

在第二章中，我们针对温度效应的问题展开了讨论，讨论了将温度引入到路径积分的计算中来，并在第三章中，运用这种方法计算了考虑温度效应的理想导体平板模型以及理想导体波形板模型的Casimir 效应。

2 路径积分与有限温度的引入
对于非理想导体平板模型，其Casimir 力与能量的表达式一直没有严格结果。

直到98年人们将路径积分的方法引入到Casimir 效应的计算当中，才给出波形导体板的Casimir 侧向力严格表达式。

但是，人们运用路径积分的计算方法一直没有引入温度项，即计算的结果都是高温极限的结果，因此仍存在许多问题。

本章将针对该问题详细介绍路径积分的计算方法以及有限温度的引入问题。

2.1 电磁波的TE 和TM 模式
我们知道，Casimir 效应是由于真空电磁场的涨落而产生的，而真空电磁场又是无质量的矢量场，它描述自旋为1的粒子－光子。

通常矢量场用四分量的场来协变描述，由于光子的静质量为0，并且考虑洛伦兹规范，则电磁场只剩下两个横向的自由度[43]，即：对于任意电磁场，我们都可以用其中的两个分量表示出其它分量。

对电磁场的这种处理方法通常运用到波导管中，但是对于由两个理想导体板组成的系统，我们同样可以运用这种方法来分解其中的电磁场。

本节将就这种处理方法的原理，针对由两个理想导体板组成的系统进行详细介绍。

我们知道真空中两理想导体板之间存在电磁场，且该电磁场满足下列波动方程：
222222221()01
()0E c t B c t
∂∇−= ∂ ∂ ∇−= ∂ G G ， （2－1）我们选择垂直于两平板的方向为z 轴，假设（2－1）式具有以下形式的解：
()0()0()()x y x y i k x k y t i k x k y t E E z e B B z e
ωω+−+− = = G G G G 。

（2－2）将（2－2）式代入波动方程（2－1），可得：
222200222222002
2()0()0x y x y E k k E z c B k k B z c ωω ∂+−−= ∂ ∂ +−−= ∂ G G G G 。

（2－3）同样我们也知道，E 、B 除满足（2－1）式外，还应当满足Maxwell 方程组。

所以，由B E t
∂∇×=−∂G G 可得：000000000000y y z x x x z y x y y x z E ik E ik cB z E ik E ik cB z ik E ik E ik cB ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ −=
， （2－4）由方程21E B c t
∂∇×=−∂G G 可得：000000000000y y z x x x z y x y y x z B ik B ik cE z B ik B ik cE z
ik B ik B ik cE ∂ −= ∂ ∂ −= ∂ −=
， （2－5）同时由0E ∇⋅=G 和0B ∇⋅=G 得：
00000000z x x y y z x x y y E ik E ik E z B ik B ik B z ∂ ++= ∂ ∂ ++= ∂
， （2－6）其中22
02k c ω=。

联立上面八个方程，得到场的两个分量表示剩余的四个量的形式：
00002222000000222000000222000000222200()x y y x y y y y y x z y y y x y y x y y y y y x z y y y k k B k c E E i k k k k z k E k ck E B i k k k k c z k k E k c
B B i k k k k c z k B k k B E i c k k k k z ∂ =+ ++∂ ∂ =−−−∂ ∂ =− −−∂ ∂ =− ++∂。

（2－7）从（2－7）式我们知道：一旦场的纵向分量00y y B E 、知道了，则整个场的分量就可以确定下来。

我们可以分两种情况来看：一种是假设0TE y B Φ=，此时000y y B E ≠0，=，为横电波，以TE 表示；另外一种是假设0TM y E Φ=，此时000y y B E ≠=0，，为横磁波，以TM 表示[44,45]。

2.1.1 TE 波
TE 波的条件是000y y B E ≠0，=，则其余分量与0y B 的关系为：
0000002222000000222200,,y x x z y y y x y y y x y z y y B k c k ck E i E B k k z k k k k k B B B B i k k k k z ∂ == +∂− ∂ ==− −+∂。

（2－8）要求上式的解，还需要相应的边界条件，为此我们假设导体板是理想导体，则在边界上电场E 无切向分量，只有法向分量，即：00x E =，再由（2－8）的第一式可知：
00y
B z ∂=∂ 。

（2－9）
由于0y B 满足的方程由（2－3）确定，由此我们可以完全确定TE 波的某一分量0y B 的函数形式，从而根据（2－8）式给出TE 波的场分布。

此时，相当于0TE
n ∂Φ=∂侧面上
，即我们通常所说的Neumann 边界条件。

2.1.2 TM 波
对于TM 波，条件为000y y B E ≠=0，，其它分量与0y E 的关系为：
00000022200000022200,(),y x x z y y y x y y y x y z y y E k c k k B i B E k k c z c k k k k k E E E E i k k k k c z ∂ =−= −∂+ ∂ ==− +−∂。

（2－10）在理想导体情况下，边界上磁场B 无法向分量，只有切向分量，即：00z B =，
再由（2－10）的第一式可知：
00y E = 。

（2－11）
由此可以通过（2－3）的第一式和（2－11）来确定TM 波的场分布。

此时相当于M 0T Φ=，即我们通常所说的Dirichlet 边界条件。

由上可见，我们可以通过将真空中传播的电磁场分解成TE 和TM 的模式来减少其自由度，进而将含有四个自由度的矢量场，转换成含有一个自由度的标量场，再运用标量场的量子化理论来考虑问题。

对于将电磁场分解成TE 和TM 的模式的简单考虑方法，有些文献当中也称作是两种极化模式。

2.2 路径积分的思想
路径积分是与薛定锷（Schrodinger ）、海森伯（Heisenberg ）、狄拉克（Dirac ）方法并列的一种表述量子力学的等价方法，它是由R.P.Feymann [49,50]创立，以几率幅
的路径积分形式为出发点来表述量子力学的。

在量子力学的建立和发展的历史过程中，薛定锷正是从微观粒子的波－粒二象性出发，运用哈密顿的理论，把德布洛依的自由粒子运动波动方程推广到有势场作用的情形。

虽然在非相对论量于力学中，薛定锷方程的应用取得了很大的成就，但是薛定锷的波动力学在理论结构和进一步应用等方面，仍然有其局限性。

首先，薛定锷方程的建立利用了外推方法，逻辑上它不是内在统一的，和经典物理的物理原理和物理量的关系它们也只是形式上的对应。

为了改进量子力学的理论结构，在六十年代费曼(R.P.Feymann)首先提出重新用路径积分来表述量子力学，并对量子力学的路径积分表述进行了系统的研究[47]。

路径积分不用Hilbert 空间的态矢量以及将物理量作为算符等概念，而将量子力学基本量的跃迁幅作为“对历史求和”的积分表示，称为路径积分。

在路径积分中，所有的量都是c 数，对一个量子体系的所有物理信息都能从路径积分得到[46]。

在这个表述方法中，经典力学的作用泛函起着重要作用。

和薛定锷的波动力学相比，用路径积分表述量子力学的优点在于逻辑结构更为严密，同时能更明显地表示量子力学和经典力学的密切联系。

此外，用路径积分来表述量子力学的优点还在于，它能借助经典拉格朗日量来表示量子力学中的物理量。

由此，便于研究经典拉格朗日量的对称性对量子力学的影响。

量子力学路径积分和统计物理中的配分函数有直接的联系，因此，这个方法在统计力学中也有许多应用[52]。

同时由于路径积分表述提供了一种新的量子化方法即路径积分量子化，因此还可以把路径积分表述从量子力学直接推广，应用于近代量子场论(即规范场理论)。

现在，路径积分的方法已经应用到物理学许多分支到研究工作中，在这里，我们仅仅针对其中最根本的概念及方法做一个简单介绍。

2.2.1 传播函数
设在t ′时刻粒子的状态为t ′，波函数为x t ′′，则到t ′′时刻为t ′′及x t ′′′′，由时间演化算符0ˆ(,)t U t t t ′′′′′′=以及0ˆ(,)(,;,)x t x U t t t dx K x t x t x t ′′′′′′′′′′′′′′′′′′′==∫
，式中0
ˆ(,;,)(,)K x t x t x U t t x ′′′′′′′′′′′′=为传播函数，表示从时空点(,)x t ′′出发的一个粒子在时空点(,)x t ′′′′出现的几率幅。

如果知道了K 函数和初始时刻的状态0(,)x t φ由上式就可以求出任意时刻的状态(,)x t φ。

因而计算出传播函数与求解运动方程是等价的，事实上，传播函数满足(,;,)(,)(,;,)i K x t x t H x p K x t x t t
∂′′′′=∂=以及初始条件(,;,)()K x t x t x x δ′′′=−。

对于保守系，ˆH 不显含时间t ，则()0(,)i H t t U t t e ′−−′==，有：
()(,;,),,i H t t K x t x t x e
x x t x t ′−−′′′′′===， （2－12）式中,,,i i Ht Ht x t e x x t e x ′′′′====。

2.2.2 位形空间的路径积分
为了计算传播函数，把时间间隔t t ′′′−分成n+1个等分，假设
01,, (1,2,...,)n k t t t t t t k k n ε+′′′′===+=，其中1
t t n ε′′′−=+。

再以k x 表示相应于k t 时刻的坐标变量。

除01,n x x x x +′′′==两点之外，每个变量(1,2,...,)k x k n =都可以在－∞到＋∞之间改变。

这相当于从,x t ′′演化到,x t ′′′′态有无穷多条路径(见图 2.2.1)，每一条路径都有一定的几率可能，对于任何一个中间态,k k x t 满足完备性条件,,1, 1,2,...,k k k k k dx x t x t k n ==∫。

把它代入完备性条件有：
111,,,,,,n n n x t x t dx dx x t x t x t x t ′′′′′′′′′′′′
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∫，式中的每一个因子
11,,k k k k x t x t ++是从时空点11(,)k k x t ++到(,)k k x t 的几率幅，故上式中的连乘积为粒子沿着折线所示路径从(,)x t ′′到(,)x t ′′′′的几率幅。

当0()n ε→→∞，这条路径成为一条曲线()x x t =，因此上述连乘积就是粒子沿轨道()x t 从x ′到x ′′的几率幅。

显然这条轨道并不一定是经典力学允许的轨道，但是有它的“几率”。

在上式中k x 为积分
变量，把折线中k x 改变为k
x ′，如虚线所示。

由此可见上式中的重积分是对所有可能
路径求和。

所以，上式可以理解为从初态,x t ′′到,x t ′′′′的几率幅等于沿所有路径的
几率幅的总和。

图2.2.1 粒子运动时的坐标图
下面计算微分振幅11,,k k k k x t x t ++：
ˆ111111,,ˆ(1)ˆ(1)ˆ1(,)i H k k k k k k
k k k k k
k k k k k k k k k x t x t x e x i x H x i x dp p p H x i dp x p p x H x p εεεε−++++++==−=− =−
∫∫==
==， （2－13）
代入11,k k k k i i p x p x k k k k x p p x ++====得：[](,)11,,2k k k k i p x H x p k k k k k dp x t x t e επ
−++=∫ =，其中1k k k x x x ε+−= 。

为了简单起见，先考虑单粒子在保守力场中的一维运动，并设2ˆ()2p H V x m
=+，从而有：
[]0
(,)021,,222n
k k k k k i
p x
H x p n
n dp dp dp x t x t dx dx e επππ=−∑′′′′′′=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∫∫∫∫∫ ====。

（2－14）
对其微分振幅完成时的积分，
22
()2111
()2(,),,2k k k k k k k k p i p x
V x m k
k k k k
i mx V x i
L x x dp x t x t e e εεεπ
−−
++
−
==
=
∫ = = =
=
， （2－15）
式中积分对k x
为常数，L 为经典的拉格朗日函数2
1(,)()2
k k k k L x x mx V x =−
，由此可得：(,),k k k
n
i
L x x x t e ε∑′′′ =。

令0,n ε→→∞，因为k x 的一组值确定一个函数()x t ，因此上式中k x 可用()x t 代替，而(,)k k k
L x x
S ε=∑ 可以写为对t 的积分(,)t t S dtL x x ′′
′=∫ ，S 为作用量，它是()x t 的泛函。

重积分k k
dx Π∫代表对所有路径的求和，按定义，就是泛函积分[()]D x t ∫，这
样，[],,[]i
S x x t x t N D x e
′′′′′′=∫=
这就是传播函数的路径积分形式，其
中
n
N =是一个无穷大常数，但在完成路径积分后将自行消去。

实际上，它是
归—化常数，使得传播函数满足初始条件,,()x t x t x x δ′′′′′′′′′=−。

说明：
（1）粒子从时空点(,)x t ′′到(,)x t ′′′′有各种路径，传播函数或几率幅是所有路径的几率幅的叠加总和。