黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试题

牡一中2016级高三上学期期末考试
理科数学试题
―、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

）
1.设集合{}
{}*6,2,4A x N x B =∈≤=，则A C B =（） A.{}2,4
B.0,1,{3,5}
C.1,3,{5,6}
D.{*6}x N x ∈≤
2.在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11=S （） A.58
B.88
C.143
D.176
3.下列函数中，值域是(0,)+∞的是（）
A.1
51
x y -=
+
B.y =
C.11()3
x
y -=
D.y =
4.某几何的三视图如图所示，则其体积为（） A.4
B.
73
C.
43
D.
83
5.设,a b 均为实数，则“a b >”是“33a b >”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（） A.//αβ且//l α
B.αβ⊥且l β⊥
C.α与β相交，且交线垂直于l
D.α与β相交，且交线平行于l
7.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数）。

则(1)f -=（） A.3
B.1
C.1-
D.3-
8.若过点(1,2)总可以作两条直线和圆2222150x y kx y k +-++-=相切，则实数k 的取值范围是（）
A.32k k k ⎧⎪<<-<<⎨⎪⎪⎩⎭
或
B.()(),32,-∞-⋃+∞
C.()3,2-
D.3233k k k ⎧⎪-≤<-<≤⎨⎪⎪⎩⎭
或
9.设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，且()()2f x f x +=-，下面关于()f x 的判定：其中正确命题的个数为（） ①()40f =；
②()f x 是以4为周期的函数； ③()f x 的图象关于1x =对称；
④()f x 的图象关于2x =对称.
A.1
B.2
C.3
D.4
10.设,x y 满足约束条件0
4312
x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
，且23
1x y z x ++=+，则z 的取值范围是（）
A.[]1,5
B.[]2,6
C.[]2,10
D.[]3,11
11.已知()(),f
x g x 都是定义在R 上的函数，()()()()()0,g x f x g x f x g x ''≠>，且
()()()()()()()11501,
112x f f f x a g x a a g g -=>≠+=-且，若数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩
⎭的前n 项和大于62，则n 的最小值为（） A.6
B.7
C.8
D.9
12.已知函数()()()cos sin sin ,,00,a
f x x x x x x k k x
ππ=--∈-⋃（其中k 为正整数，a R ∈且0a ≠），则()f x 的零点个数为（） A.22k -
B.2k
C.21k -
D.与a 有关
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分） 13.设复数z 满足12iz i =+，则复数z 的共轭复数为_____________.
14.在ABC 中，已知4,260,AB AC A D ==∠=︒为AB 的中点，则向量AD 在BC 方向上的投影为________________. 15.已知不等式()1+4a x y x y ⎛⎫
+≥
⎪⎝⎭
对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为________________. 16.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，且124FF =，P 是它们的一个公共点，12,e e 分别为椭圆和双
曲线的离心率。

若满足
22
12
224e e +=，则12PF F 面积的取值范围是_______________. 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()131,*2
n
n S n N =-∈. （1）求数列n a 的通项； （2）求数列
(){}21n
n a -的前n 项和n
T .
18.（本小题满分12分）()73sin cos ,4
4f x x x x R ππ⎛⎫⎛
⎫
=++-∈ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
. （1）求()f x 的最小正周期和最小值； （2）已知()()44cos ,cos ,0552
π
βαβααβ-=
+=-<<≤求证：()220f β-=⎡⎤⎣⎦. 19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，2,120,AC BC ACB D ==∠=︒为11A B 的中点. （1）证明：11//AC BC D 平面
（2）若11AA AC =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且BC 与平面1BC D 所成角
正弦值为5
，求三棱柱111ABC A B C -的高.
20.（本小题满分12分）已知椭圆C 过点()2,6P ，
，两个焦点为(
)()
12.F F -， （1）求椭圆的方程；
（2）求以点()2,1M 为中点的弦AB 所在的直线方程，并求此时OAB 的面积. 21.（本小题满分12分）已知函数()2
1ln ,2
f x x ax x a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调区间；
（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极大值大于0，若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()2
sin
cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P 的直线l 的参数方程为2,
4,x t y t =--⎧⎨
=--⎩
（t
为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点.
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； 若2
PA PB AB ⋅=，求a 的值.
牡一中2019届高三上学期期末考试数学（理）参考答案
17.（1）13n n a -=
（2）()131n
n T n =-+
18.（1）2T π=，最大值2，最小值2 （2）略
19.（1）略。

（220.（1）22
1168
x y +=
（2）直线l 的方程为30x y +-==30OAB 21.解（1）()()211
10ax x f x ax x x x
-++'=-+=>
当0a ≤时，210ax x -++>，故()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，
上为增函数. 当0a >时，140a =+>，210ax x -++=的两个根分别为
1200x x =
<=>，
当x ∈时，()0f x '>；
当+)x ∈∞时，()0f x '<； 所以()f x 在1(0,
)2a
上为增函数，在1(
+)2a +∞为减函数. （2）()()211
10ax x f x ax x x x
-++'=-+=>
由（1）知
当0a ≤时，210ax x -++>，故()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，
上为增函数，不存在极值. 当0a >时，()2
1g x ax x =-++，因为()g x 的图象过定点()0,1，且开口方向向下，所以()g x 在()0+∞，
上存在唯一的零点0x
，其中012x a
=
，且当()00,x x ∈时，()0g x >，此时()0f x '>，()f x 为
增函数；()0,x x ∈+∞时，()0g x <，此时()0f x '<，()f x 为减函数.所以0x x =为函数()f x 的极大值点，()200001
ln 2
f x x ax x =-+，()00+x ∈∞，.因为20010ax x -++=，即200=1ax x +， 所以()()000000001111
ln ln 0222
x x f x x x x f x x +-=-
+=+=+>，，所以()f x 在()0+∞，为增函数，又()10f =，所以当()0+x ∈∞1，时()0f x >.
由2
00=1ax x +得22
0001111(1)4a x x x =
+=+-（其中()010,1x ∈）. 令()010,1t x =∈，设()211(1)4
u t t =+-，因为()u t 在()0,1上为增函数，所以()(1)2u t u <=，所以02a <<. 22.（1）2,20y ax x y =--=
（2）2a =。