【推荐】高三数学(理)专题复习检测：专题七计数原理与概率、推理证明与数学归纳法过关提升含答案

专题七 计数原理与概率、推理证明与数学
归纳法
专题过关·提升卷
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题
1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根
B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根
C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根
D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根
2.z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －
)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )
A ．1＋i
B ．－1－i
C ．－1＋i
D ．1－i 3．若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n
，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )
A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n
B ．d n ＝c 1·c 2·…·c n n
C ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n n n
D ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n
4．(2015·勤州中学模拟)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A ．60种
B ．70种
C ．75种
D ．150种 5．若(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015的值为( )
A ．2
B ．0
C ．－1
D ．－2
6．(2015·义乌模拟)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45
7．用a 代表红球，用b 代表白球，根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，从1个红球和1个白球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来．其中“1”表示一个球都不取，“a ”表示取一个红球，“b ”表示取一个白球，“ab ”表示把红球和白球都取出来，以此类推：下列各式中，其展开式中可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的白球中取出若干个球，且所有的白
球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)
B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)
C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)
D ．(1＋a 5)(1＋b )5
8．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f （x ）g （x ）
＝a x ，且f ′(x )g (x )＜f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
第Ⅱ卷 (非选择题)
二、填空题
9．已知复数z ＝3＋i （1－3i ）2
，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝________． 10．观察下列不等式
1＋122＜32，
1＋122＋132＜53，
1＋122＋132＋142＜74，
……
照此规律，第五个不等式为________．
11．(2015·瑞安中学模拟)观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n 个等式可为________．
12．(2015·效实中学模拟)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字填写答案)．
13．若在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋2x n 的展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________．
14．(2015·乐清模拟)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
15．将全体正奇数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．
三、解答题
16．(2015·桐乡高级中学模拟)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求X分别为1，2，3，4的概率．
17．(2015·杭州高级中学模拟)设{a n}是公比为q的等比数列．
(1)推导{a n}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明：数列{a n＋1}不是等比数列．
18．(2015·诸暨中学模拟)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n
2a n＋1
.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若2
b n＝1
a n＋1，且P n＝(1＋b1)(1＋b3)…(1＋b2n－1)，求证：P n＞2n＋1.
19．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
20．(2015·台州一中模拟)已知函数f(x)＝e x，x∈R.
(1)求f(x)的反函数的图象上点(1，0)处的切线方程；
(2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点；
(3)设a ＜b ，比较f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2与f （b ）－f （a ）b －a 的大小，并说明理由．
专题过关·提升卷
1．A [依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A.]
2．D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ＋z －＝2，得a ＝1，∵(z －z －)i ＝2， ∴－2b ＝2，b ＝－1，∴z ＝1－i ，故选D.]
3．D [由{a n }为等差数列，设公差为d ，
则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n
＝a 1＋n －12d ， 又正项数列{c n }为等比数列，设公比为q ，
则d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝n c n 1q n 2－n 2＝c 1q n －1
2，故选D.]
4．C [从6名男医生任选2名有C 26种，从5名女医生任选1名有C 15
种，∴共有C 26·C 15＝75种．]
5．C [(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015，令x ＝12，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－2×122 015＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1.]
6．C [如图：不妨取正方形边长为1.基本事件总数为C 25＝10，
其中等于正方形边长的有：AB ，AD ，DC ，BC 共4条， 长度为2的有：BD ，AC ，共2条，
∴不小于该正方形边长的有6条，
∴概率为P ＝610＝35，故选C.]
7．A [取出红球的所有可能为1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；取出白球的方法只有1＋b 5.故满足条件的所有取法为(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)·(1＋b 5)．]
8．B [令h (x )＝f （x ）g （x ），则h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）
＜0，故函数h (x )为减函数，即0＜a ＜1.
再根据f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）
＝52，得a ＋1a ＝52，解得a ＝2(舍去)或者a ＝12.所以f （n ）g （n ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和是12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12
＝1－12n ，由
于1－12n ＝3132，所以n ＝5.]
9.14 [∵z ＝3＋i （1－3i ）2＝3＋i －2－23i ＝3＋i －2（1＋3i ）
＝（3＋i ）（1－3i ）－2（1＋3i ）（1－3i ）
＝23－2i －8＝－34＋14i ， 故z －＝－34－14i ， ∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.]
10．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116 [归纳观察法．
观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
∴第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.]
11．12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2
[左边共n 项，每项的符号为(－1)n ＋1，
通项为(－1)n ＋1·n 2.
等式右边的值符号为(－1)n ＋1，各式为(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n )＝ (－1)n ＋1n （n ＋1）2
， ∴第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝
(－1)n ＋1·n （n ＋1）2
.] 12．－20 [∵(x ＋y )8展开式中的通项为T k ＋1＝C k 8x
8－k y k ， 当k ＝7时，T 8＝C 78xy 7＝8xy 7.
当k ＝6时，T 7＝C 68x 2y 6＝28x 2y 6.
∴(x －y )(x ＋y )8展开式中x 2y 7项为x ·8xy 7＋(－y )·28x 2y 6＝－20x 2y 7. 故x 2y 7的系数为－20.]
13.352、70或3 432 [因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.
所以T 4的系数为
C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352， T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭
⎪⎫123×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8. 所以T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭
⎪⎫12727＝3 432.] 14.16 [十个数中任取七个不同的数共有C 710种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有
C 36种情况，于是所求概率P ＝C 36C 710＝16.]
15．2 013 [观察数阵，记第n 行的第1个数为a n ，则有 a 2－a 1＝2，
a 3－a 2＝4，
a 4－a 3＝6，
a 5－a 4＝8，
……
a n －a n －1＝2(n －1)．
将以上各等式两边分别相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n －1)＝n (n －1)，
所以a n ＝n (n －1)＋1，所以a 45＝1 981.
又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第
45行从左向右的第17个数为1 981＋16×2＝2 013.]
16．解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23
C 4
8
＝635. 所以，事件A 发生的概率为635.
(2)P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3
C 48
(k ＝1，2，3，4)．
∴P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23
C 48＝37，
P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 0
3
C 48
＝114.
17．(1)解 设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1（1－q n ）
1－q ，
∴S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.
(2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，
a 2
k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，
∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.
∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 18．(1)解
1a n ＋1
＝2a n ＋1a n
＝2＋1a n
，
所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＝12n －1.
(2)证明 2b n ＝1a n ＋1＝2n ，所以b n ＝1
n ，
所以P n ＝(1＋b 1)(1＋b 3)…(1＋b 2n －1) ＝(1＋1)⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1.
用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，P 1＝2＞ 3. ②假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，
则P k ＋1＝(1＋b 1)(1＋b 3)…(1＋b 2k －1)(1＋b 2k ＋1) ＝(1＋1)⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝
⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1 ＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1＋12k ＋12k ＋1. 因为⎝
⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋12k ＋1＝2k ＋22k ＋1， 所以
P 2k ＋1－(
2k ＋3)2
＞⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2k ＋22k ＋12－(2k ＋3)2
＝4k 2＋8k ＋4－（4k 2＋8k ＋3）2k ＋1＝12k ＋1＞0，
所以P k ＋1＞2k ＋3，即当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②可得对于任意正整数n ，P n ＞2n ＋1都成立． 19．解 (1)X 的所有可能取值为－2，－1，0，1.
(2)数量积为－2的有2OA u u u u r ·5OA u u u u r
，共1种；
数量积为－1的有1OA u u u r ·5OA u u u u r ，1OA u u u r ·6OA u u u u r ，2OA u u u u r ·4OA u u u u r ，2OA u u u u r ·6OA u u u u r ，3OA u u u u r ·4OA u u u u r
，3OA u u u u r ·5OA u u u u r
，共6种；
数量积为0的有1OA u u u r ·3OA u u u u r ，1OA u u u r ·4OA u u u u r ，3OA u u u u r ·6OA u u u u r ，4OA u u u u r ·6OA u u u u r
，共4
种；
数量积为1的有1OA u u u r ·2OA u u u u r ，2OA u u u u r ·3OA u u u u r ，4OA u u u u r ·5OA u u u u r ，5OA u u u u r ·6OA u u u u r
，共4
种．
故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为P 1＝7
15； 因为去唱歌的概率为P 2＝4
15，
所以小波不去唱歌的概率为P ＝1－P 2＝1－415＝11
15.
20．(1)解 f (x )的反函数为g (x )＝ln x, 设所求切线的斜率为k ， ∵g ′(x )＝1
x ，∴k ＝g ′(1)＝1.
于是在点(1，0)处的切线方程为y ＝x －1.
(2)证明 法一 曲线y ＝e x 与y ＝1
2x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数
φ(x )＝e x －1
2x 2－x －1零点的个数． ∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x )存在零点x ＝0. 又φ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′(x )＝e x －x －1， 则h ′(x )＝e x －1，
当x <0时，h ′(x )<0，∴φ′(x )在(－∞，0)上单调递减； 当x >0时，h ′(x )>0，∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴φ′(x )在x ＝0处有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x )在R 上是单调递增的， ∴φ(x )在R 上有唯一的零点，
故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2
＋x ＋1有唯一的公共点． 法二 ∵e x
>0，12x 2
＋x ＋1>0，
∴曲线y ＝e x 与y ＝1
2x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线 y ＝12x 2
＋x ＋1e x
与y ＝1公共点的个数， 设φ(x )＝12x 2
＋x ＋1
e x ，则φ(0)＝1，即x ＝0时，两曲线有公共点． 又φ′(x )＝（x ＋1）e x
－（12x 2＋x ＋1）e x
e 2x
＝－12x
2
e x ≤0(仅当x ＝0时等号
成立)，
∴φ(x )在R 上单调递减， ∴φ(x )与y ＝1有唯一的公共点，
故曲线y ＝f (x )与y ＝12x 2
＋x ＋1有唯一的公共点．
(3)解 f （b ）－f （a ）
b －a －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝e b －e a
b －a
－e
a ＋
b 2
2
2
e e e e a b a b b
a
b a b a ++--+=
-
2e
a b b a
+=
- [e b －a 2
－e
a －
b 2
－(b －a )]．
设函数u (x )＝e x
－1
e x －2x (x ≥0)， 则u ′(x )＝e x
＋1
e x －2≥2
e x
·1
e x －2＝0，
∴u ′(x )≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u (x )单调递增． 当x >0时，u (x )>u (0)＝0. 令x ＝b －a
2，则e b －a 2
－e a －b 2
－(b －a )>0，
又
2
e
a b b a
+-＞0， ∴f （b ）－f （a ）b －a >f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
a ＋
b 2.。