GeoGebra(2)圆锥曲线详解全文

GeoGebra 数学绘图教室(2) 圆锥曲线
台北县立锦和高中陈禾凯在教到圆锥曲线这一章时，课本通常会介绍两种方法来画拋物线、椭圆、及双曲线，第一种是以同心圆作图纸来描点，第二种是根据定义来画。

本文简介利用数学绘图软件GeoGebra的个人教学经验，提供中学数学教师教学之参考。

一．同心圆作图纸
(1)抛物线的作图纸：画出一组同心圆及一组并行线。

先在原点画出一点Ａ
输入x= -1 (注意GeoGebra左边的代数字段会显示a:x=-1)
输入指令sequence[Line[(i，0)，a]，i，1，10] 可以画出和a 平行的直线输入指令sequence[circle[A，i]，i，1，10]，可以画出以Ａ为圆心的同心圆
(2)椭圆及双曲线的作图纸：画出两组同心圆
先画出Ａ，Ｂ两点
输入指令sequence[circle[A，i]，i，1，20]，可以画出以A为圆心的同心圆输入指令sequence[circle[B，i]，i，1，20]，可以画出以B为圆心的同心圆
画出以上图形之后，滚动鼠标上的滚轮来调整图形的大小，再用把图摆到适当的位置，点选【档案-输出-绘图区到剪贴簿】，然后打开Ｗord，按Ctrl+V即可将所画好的图贴上去。

在课堂上发给同学们，在同心圆纸上描点钩勒出圆锥曲线轨迹点。

二．根据定义来画
甲．拋物线
定义: d(P，L)=d(P，F) 依据拋物线的定义作图，点P到焦点F与到准线Ｌ等距，i.e. d(P，L)=d(P，F)──以y2=4x为例，准线为L:x+1=0，焦点F为(1，0）──
绘图步骤
1.先画出准线L及焦点F
2.在准线L上任选一点A，和焦点F连起来，画出一条线段AF
3.画出线段AF的中垂线M
4.画出和过A点且和准线L垂直的直线N
5.标出M，N两条线的交点P
6.要看P点的轨迹可以
(1)在P上按鼠标右键，点选显示移动痕迹
(2)或是用，在Ｐ点及Ａ点各点选一下
7.
(-动画教学-)
乙．椭圆
定义 :a PF PF 221=+ 椭圆上的点到两焦点的距离和为定值
──以116252
2
=+y x 为例⎪⎩
⎪
⎨⎧===3
45
c b a 即画 1021=+PF PF 的图形──
绘图步骤
1. 画出名称为F 1，F 2的两焦点(-3，0)， (3，0)
2. 以F 1为圆心，半径为2a=10画一圆
3. 圆周上任选一点，标示为A
4. 连接21,
5. 作2的中垂线 L
6. 作1，L 两线的交点，标示为P
7. 要看P 点的轨迹可以
(1)在P 上按鼠标右键， 点选 显示移动痕迹 (2)或是用
，在Ｐ点及Ａ点各点选一下
8.
(-动画教学-)
丙．双曲线
定义 : a PF PF 2||21=- 双曲线上的点到两焦点的距离差为定值
以
11692
2
=-y x 为例⎪⎩
⎪⎨⎧===5
43
c b a 即画 6||21=-PF PF 绘图步骤
1. 画出名称为F 1，F 2的两焦点(-5，0)，(5，0)
2. 以F 1为圆心， 半径为2a=6画一圆
3. 圆周上任选一点， 标示为A
4. 画出直线1AF 及线段2AF
5. 作2的中垂线 L (线段才有中垂线)
6. 作1及L 两线的交点，标示为P
7. 要看P 点的轨迹可以
(1)在P 上按鼠标右键， 点选 显示移动痕迹 (2)或是用
，在Ｐ点及Ａ点各点选一下
8.
(-动画教学-)
(-动画教学-)
四、数学题目中的图形
甲、拋物线
(-动画教学-) 依据大考中心的研究结果显示，当年的考生对此题的应答情形是惨不忍睹，究其原因是目前的高中数学教学偏重于代数计算，对于圆锥曲线的作图法，课本虽有提及，但实际教学时也是匆匆带过。

若是纯粹用代数方法较难解出本题，理应结合代数计算及几何绘图知识，才能很快画出符合题目条件的拋物线。

乙、椭圆
(-动画教学-) 拉动数值滑杆可改变Ｃ点的位置，第一种是Ｃ在PQ之间，Ｃ为Ｐ、Ｑ的内分点，另一种为Ｃ在PQ的延长线上，Ｃ为外分点。

再拉动圆周上的点，可观察Ｃ点的轨迹。

(-动画教学-) Franciscus Van Schooten(1615-1660 年)是荷兰数学家，于1657年论述这个有趣的问题。

他巧妙的构建出两条互相垂直的线，把问题转换为Produs的形式，可真令人拍案叫绝。

丙、双曲线
(-动画教学-) 有了GeoGebra这个好用的数学软件，今后学数学也可如同物理、化学一般，可以有实验课，如上所画出来的图看起来是双曲线，那到底是否真的是双曲线，可就要靠纸笔好好的计算验证一下。

五、延伸阅读：
1.利用标尺作图找圆锥曲线的焦点师范大学陈创义教授
2.圆锥曲线１师范大学陈创义教授
3.圆锥曲线_(宏2)师范大学陈创义教授
4.圆锥曲线作图法举例师范大学赵文敏教授
5.用同心圆来描绘圆锥曲线及切线的标尺作图竹南高中吴明宗老师
6.圆锥曲线切线的标尺作图科学教育月刊272期内湖高中刘绍正老师
六、相关书籍及文章：
1.公切圆之圆心轨迹-用动态几何软件探讨几何性质台北市立师范学院林保平教授
2.100个著名初等数学问题历史和解答海因里希.德里着凡异出版社
若是在书店或图书馆找不到这本书的话，可以上网 以英文书名100 Great Problems of Elementary Mathematics为关键词可找到此书的在线英文版，第２１４页即为Van Schooten 轨迹问题
3.94 年大学入学指定考科數学甲多选题第9 题參考解法之回响
成功高中游经祥杜云华老师
4.龙腾新天地第12期数学问题集XI 11-4。