安徽省铜陵市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析

安徽省铜陵市2021届新高考数学第四次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线2
214
x y -=的渐近线方程是（ ）
A
．2
y x =±
B
．3
y x =±
C ．2
x y =±
D ．2y x =±
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】
由题意可知，双曲线2
214
x y -=的渐近线方程是2x y =±.
故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．
2．过抛物线()2
20y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r ，抛物线的准线
l 与x 轴交于C ，ACF ∆
的面积为AB =（ ）
A ．6
B ．9
C
．
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2
p
x my =+
，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB . 【详解】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，
将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px
⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，
由韦达定理得122y y pm +=，2
12y y p =-，
11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，22,2p FB x y ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
u u u r ，2AF FB =uu u r uu r Q ，122y y ∴-=，122y y ∴=-，
2
21222y y y p ∴=-=-，可得22
2
y p =
，1222y y p ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫-
⎪⎝⎭
， ACF ∆的面积为2122822
p p p ⨯⨯=
=，解得4p =，则抛物线的方程为2
8y x =， 所以，2221
2
12524988
p
y y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．已知复数552i
z i i
=+-，则||z =（ ） A ．5 B ．52
C ．32
D ．25
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 【详解】
55(2)
551725
i i i z i i i i +=
+=+=-+-，故22||(1)752z =-+=. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
4．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）
A ．2
B ．5
C ．13
D ．22
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积. 【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥
P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.
【点睛】
本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.
5．若两个非零向量a r 、b r 满足()()
0a b a b +⋅-=r r r r ，且2a b a b +=-r r r r ，则a r 与b r
夹角的余弦值为（ ）
A ．
3
5
B ．35
±
C ．
12
D ．12
±
【答案】A 【解析】 【分析】
设平面向量a r 与b r
的夹角为θ，由已知条件得出a b =r r ，在等式2a b a b +=-r r r r 两边平方，利用平面向
量数量积的运算律可求得cos θ的值，即为所求. 【详解】
设平面向量a r 与b r
的夹角为θ，()()
22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r Q ，可得a b =r r ，
在等式2a b a b +=-r r r r 两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，化简得3
cos 5
θ=.
故选：A. 【点睛】
本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
6．ABC V 是边长为23E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE
-
的体积为（ ） A ．
53
4
B ．
33
4
C ．
64
D ．
36
4
【答案】D 【解析】 【分析】
首先由题意得，当梯形BCFE 的外接圆圆心为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，BC 的中点即为梯形BCFE 的外接圆圆心，也即四棱锥P BCFE -的外接球球心，则可得到3PO OC ==，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积. 【详解】
如图，四边形BCFE 为等腰梯形，则其必有外接圆，设O 为梯形BCFE 的外接圆圆心，
当O 也为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A 作
BC 的垂线交BC 于点M ，交EF 于点N ，连接,PM PN ，点O 必在AM 上，
E 、
F 分别为AB 、AC 的中点，则必有AN PN MN ==，
90APM ∴∠=o ，即APM △为直角三角形.
对于等腰梯形BCFE ，如图：
因为ABC V 是等边三角形，E 、F 、M 分别为AB 、AC 、BC 的中点， 必有MB MC MF ME ===，
所以点M 为等腰梯形BCFE 的外接圆圆心，即点O 与点M 重合，如图
1
32
PO OC BC ∴==
=222336PA AO PO =-=-= 所以四棱锥P BCFE -底面BCFE 的高为
36
2PO PA AM ⋅⨯== 11313136
23323343424
P BCFE BCFE ABC V S h S h -==⨯=⨯⨯⨯=
V . 故选：D. 【点睛】
本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
7．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4
x π
=
对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A ．
32
B ．22
-
C ．
12 D ．12
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数()f x 为R 上的奇函数可得ϕ，由函数()f x 的对称轴及单调性即可确定ω的值，进而确定函数
()f x 的解析式，即可求得12f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值.
【详解】
函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数， 则ϕπ=，所以
()sin f x x ω=-.
又()f x 的图象关于直线4
x π
=
对称可得
4
2
k πω
π
π=
+，k Z ∈，即24k ω=+，k Z ∈，
由函数的单调区间知，
12114π
πω
≤⋅，
即 5.5ω≤，
综上2ω=，则()sin 2f x x =-，
1122f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
故选：D 【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题. 8．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足
22
3AG MB CA CB
⋅=+u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AG AC ⋅u u u v u u u v 等于（ ）
A ．2
B ．5
C ．
2
3
D ．83
【答案】D 【解析】 【分析】
选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】
由题意G 是ABC ∆的重心，
2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+u u u r u u u r 1
()()
2
BA BC BC BA =-⋅+221111
52222
BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅
222
22()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++u u u r u u u r 5211BA BC =-⋅++ ， ∴91
7222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅u u u r u u u r 22221213
()()()
332322
AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223
=-+=， 故选：D ． 【点睛】
本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．
9．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ） A ．若m ⊥α，n//α，则m ⊥n B ．若m//α，n//α，则m//n C ．若l ⊥α，l//β，则α⊥β D ．若α//β，l ⊄β，且l//α，则l//β
【答案】B 【解析】 【分析】
根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A 选项的正确性.由线面平行有关知识判断B 选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C 选项的正确性.根据面面平行的性质判断D 选项的正确性. 【详解】
A ．若//n α，则在α中存在一条直线l ，使得//,,l n m l αα⊥⊂，则m l ⊥，又//l n ，那么m n ⊥，
故正确； B ．若//,
//m n αα，则//m n 或相交或异面，故不正确；
C ．若l β//，则存在a β⊂，使//l α，又,l a αα⊥∴⊥，则αβ⊥，故正确．
D ．若//αβ，且//l α，则l β⊂或l β//，又由,//l l ββ⊄∴，故正确． 故选：B 【点睛】
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.
10．己知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C 上，且
30MF NF +=u u u r u u u r r
，直线MN 交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '∆的面积为F 到l 的
距离为（ ） A ．12 B ．10
C ．8
D ．6
【答案】D 【解析】 【分析】
作MM l '⊥，垂足为M '，过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，设(0)NF m m =>，则3MF m =，结合图形可得2MG m =，||4MN m =，从而可求出60NMG ∠=︒，进而可求得6MP m =，
N P '=，由MN P '∆的面积1
2
△MN P S MM N P '''=⋅⋅=即可求出m ，再结合F 为线段MP 的
中点，即可求出F 到l 的距离． 【详解】 如图所示，
作MM l '⊥，垂足为M '，设(0)NF m m =>，由30MF NF +=u u u r u u u r
，得3MF m =，则3MM m '=，
NN m '=.
过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，则M G m '
=，2MG m =， 所以在Rt MNG ∆中，2MG m =，||4MN m =，所以||1
cos ||2
MG GMN MN ∠==， 所以60NMG ∠=︒，在Rt PMM '∆中，||3MM m '=，所以6cos60
MM MP m '
==o
， 所以2NP m =，3N P m '=， 所以 11
3324322
MN P S MM N P m m '''=
⋅⋅=⋅=△4=m ， 因为||||||3||FP FN NP m FM =+==，所以F 为线段MP 的中点， 所以F 到l 的距离为||3622
MM m
p '===． 故选：D 【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题． 11．已知集合{}
A m =，{}1,
B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．03B ．0或3
C ．13
D ．1或3
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m m =
.
若3m =，则{3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.
若m =
0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，
{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.
12．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2 B ．-1
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】
f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）1
1
x =
-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a r
与b r
的夹角为3
π，|a r |＝|b r |＝1，且a r ⊥（a r
-λb r ），则实数λ=_____. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据条件即可得出2
112
a b a ⋅==r r r ，，由()
a a
b r r r λ⊥-即可得出()
0a a b λ⋅-=r r r ，进行数量积的运算即可
求出λ． 【详解】
∵向量a r 与b r 的夹角为3
π，|a r
|＝|b r |＝1，且()
a a
b r r r λ⊥-；
∴()
2102
a a
b a a b r r
r r r r λλλ⋅-=-⋅=-=；
∴λ＝1． 故答案为：1． 【点睛】
考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．
14．如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分
再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______.
【答案】1 【解析】 【分析】
由题意得正三棱柱底面边长6，高为3，由此能求出所得正三棱柱的体积． 【详解】
如图，作AO BC ⊥，交BC 于O ，2212663AO =-=， 由题意得正三棱柱底面边长6EF =，高为3h =
，
∴所得正三棱柱的体积为：
1
66sin 603272
DEF V S h ∆=⋅=⨯⨯⨯︒⨯=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量．
15．已知函数2()8x f x ae x x =+-的图象在(0,(0))f 处的切线斜率为4-，则a =______． 【答案】4 【解析】 【分析】
先对函数f （x ）求导，再根据图象在（0，f （0））处切线的斜率为﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a 的值. 【详解】
由函数()2
8x
f x ae x x =+-得()'28x
f x ae x =+-，∵函数f （x ）的图象在（0，f （0））处切线的斜率
为﹣4，()'084f a ∴=-=-，4a ∴=. 故答案为4 【点睛】
本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题．
16．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{A =抽到一等品}，事件{B =抽到二等品}，事件{C =抽到三等品}，且已知()0.65P A =，()0.2P B =， ()0.1P C =，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________ 【答案】0.35 【解析】 【分析】
根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来． 【详解】
解：由题意知本题是一个对立事件的概率，
Q 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
()0.65P A =Q ，
∴抽到不是一等品的概率是()110.650.35P P A =-=-=，
故答案为：0.35． 【点睛】
本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1
*
2n a n b n N +=∈.
（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若1
2
n n n c a b =
，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =-，2n
n b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯
【解析】 【分析】
(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3
328b ==再根据等比数列的基本量求解即可. (2)由(1)可得1
(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.
【详解】 解：
（1）依题意12b =,3
328b ==,
设数列{}n b 的公比为q,由1
2
0n a n b +=>,可知0q >,
由223128b b q q =⋅=⨯=,得2
4q =,又0q >,则2q =, 故111222n n n
n b b q --==⨯=,
又由122n a n +=,得1n a n =-.
（2）依题意1
(1)2n n c n -=-⨯.
01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①
则12312021222(2)2(1)2n n
n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②
①-②得121
22222
(1)2(1)212
n
n n
n n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,
即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2n
n S n =+-⨯.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题. 18．设a R ∈，函数21()(1)x f x x e a x -=--. （1）当1a =时，求()f x 在3(,2)4
内的极值； （2）设函数1()()(1)x
g x f x a x e
-=+--，当()g x 有两个极值点1212,()x x x x <时，总有
211()()x g x f x λ≤'，求实数λ的值.
【答案】（1）极大值是(1)1f =，无极小值；（2）21
e
e λ=+ 【解析】 【分析】
（1）当1a =时，可求得21
1
(2)()x x x x e f x e
----'=，令21()(2)x h x x x e -=--，利用导数可判断()h x 的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；
（2）表示出()g x ，并求得21()(2)x g x x x a e -'=-++，由题意，得方程220x x a -++=有两个不同的实根1x ，212()x x x <，从而可得△440a =+>及122x x +=，由12x x <，得11<x ．则211()()x g x f x λ'„可化为
11111[2(1)]0x x x e e λ---+„对任意的1(,1)x ∈-∞恒成立，按照10x =、1(0,1)x ∈、1(,0)x -∞∈三种情况分类讨论，分离参数λ后转化为求函数的最值可解决； 【详解】
（1）当1a =时，21
1
(2)()x x x x e f x e
----'=. 令21()2x h x x x e -=--，则1
()22x h x x e
-=--'，显然()h x '在上3(,2)4
单调递减，
又因为
31()042h =-<'，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<，所以()h x 在3(,2)4
上单调递减. 由于(1)0h =，所以当3
(,1)4
x ∈时，()0h x >；当(1,2)x ∈时，()0h x <. 当x 变化时，()()f x f x '、的变化情况如下表：
所以()f x 在(,2)4
上的极大值是(1)1f =，无极小值. （2）由于2
1()()x
g x x a e
-=-，则21()(2)x g x x x a e -'=-++.由题意，方程220x x a -++=有两个不等实根
12,x x ，则440a ∆=+>，解得1a >-，且2112
221220202x x a x x a x x ⎧-++=⎪-++=⎨⎪+=⎩
，又12x x <，所以11<x .
由211()()x g x f x λ≤'，2
1()(2)x
f x x x e
a -=--'，可得1111222111()[(2)]x x x x a e x x e a λ---≤--
又221112,2x x a x x =-=-.将其代入上式得：111122
1111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-.
整理得1
1111[2(1)]0x x x e
e λ---+≤，即111111[2(1)]0,(,1)x x x e e x λ---+≤∀∈-∞
当10x =时，不等式11111[2(1)]0x x
x e e λ---+≤恒成立，即R λ∈.
当1(0,1)x ∈时，1
1
112(1)0x x e
e
λ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--≥+，令1
1
112()1
x x e k x e --=+，易证()k x 是R 上
的减函数.因此，当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，故21
e
e λ≥
+. 当1(,0)x -∞∈时，1
1
112(1)0x x e
e
λ---+≥恒成立，即1
1
1121
x x e e λ--≤+，
因此，当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+所以21
e
e λ≤
+. 综上所述，21
e
e λ=+. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合
运用知识分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高．
19．某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，,A B 两点为喷泉，圆心O 为AB 的中点，其中OA OB a ==米，半径10OC =米，市民可位于水池边缘任意一点C 处观赏． （1）若当23
OBC π∠=
时，1
sin 3BCO ∠=，求此时a 的值；
（2）设2
2
y CA CB =+，且22232CA CB +≤． （i ）试将y 表示为a 的函数，并求出a 的取值范围；
（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点C 处观赏喷泉时，观赏角度ACB ∠的最大值不小于6
π
，试求,A B 两处喷泉间距离的最小值．
【答案】 (1)2039
a =；(2)(i)2
2002y a =+，(0,4]a ∈；(ii)40203-【解析】 【分析】
（1）在OBC ∆中，由正弦定理可得所求；
（2）（i ）由余弦定理得2
2
2
2
10020cos ,10020cos AC a a AOC BC a a BOC =+-∠=+-∠，两式相加可得所求解析式．（ii ）在ABC ∆中，由余弦定理可得
2222222
222442cos 12100CA CB a CA CB a a ACB CA CB CA CB a
+-+-∠=≥=-⋅++，根据ACB ∠的最大值不小于6π可得关于a 的不等式，解不等式可得所求． 【详解】
（1）在OBC ∆中，由正弦定理得sin sin OC OB
OBC BCO =∠∠，
所以110203323
OC sin BCO OB sin OBC sin π⨯
⋅∠=
==∠， 即203
9
a =
． （2）（i ）在AOC ∆中，由余弦定理得2210020cos AC a a AOC =+-∠，
在BOC ∆中，由余弦定理得2210020cos BC a a BOC =+-∠， 又AOC BOC π∠=-∠ 所以2222002CA CB a +=+， 即2
2002y a =+．
又2222002232CA CB a +=+≤，解得04a <≤，
所以所求关系式为2
2002y a =+，(]
0,4a ∈．
（ii ）当观赏角度ACB ∠的最大时，cos ACB ∠取得最小值． 在ABC ∆中，由余弦定理可得
2222222
222
442cos 12100CA CB a CA CB a a ACB CA CB CA CB a
+-+-∠=≥=-⋅++， 因为ACB ∠的最大值不小于
6
π
， 所以22
23
1100a a -≤+，解得20103a ≥-， 经验证知(]201030,4-∈， 所以240203a ≥-．
即,A B 两处喷泉间距离的最小值为40203-． 【点睛】
本题考查解三角形在实际中的应用，解题时要注意把条件转化为三角形的边或角，然后借助正余弦定理进行求解．解题时要注意三角形边角关系的运用，同时还要注意所得结果要符合实际意义．
20．如图，在ABC V 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足 sin cos a B b A c +=，线段BC 的中点为D .
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）已知10
sin 10
C =
，求ADB ∠的大小. 【答案】（Ⅰ）4
B π
=
；（Ⅱ）4
ADB π
∠=
.
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理边化角，再结合()sin sin C A B =+转化即可求解；
（Ⅱ）可设1AC =，由
sin sin c b
b C B
=⇒=2222cos a c ac B b +-=解得
2
a
a BD ===
=，对ABD △中，由余弦定理有1AD =，通过勾股定理逆
定理可得222AB AD BD +=，进而得解 【详解】
（Ⅰ）由正弦定理得sin sin sin cos sin A B B A C +=.
而()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=--=+=+. 由以上两式得 sin sin sin cos A B A B =，即()sin sin cos 0A B B -=. 由于sin 0A >，所以sin cos B B =， 又由于()0,B π∈，得4
B π
=
.
（Ⅱ）设1c =，在ABC V 中，由正弦定理有
sin sin c b
b C B
=⇒.
由余弦定理有2222cos a c ac B b +-=，整理得(0a a -=，
由于0a >，所以2
a
a BD ==
=.
在ABD △中，由余弦定理有1AD =.
所以222AB AD BD +=，所以2
4
BAD ADB π
π
∠=∠=
，.
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题
21．在ABC V 中，A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，已知2a =，c =，1
cos 2
C =-. （1）求A ；
（2）设M 为BC 中点，求AM 的长.
【答案】（1）30o ；（2. 【解析】 【分析】
（1）直接根据特殊角的三角函数值求出C ，结合正弦定理求出A ； （2）结合第一问的结论以及余弦定理即可求解．
解：（1）∵1cos 2C =-
，且0C π<<，∴120C =︒，由正弦定理
sin sin c a
A A
= 223
sin sin120A =
︒
，∴1sin 2A =， ∵120C =︒
∴A 锐角，∴30A =︒ （2）∵30A =︒，120C =︒ ∴30B =︒ ∴2b a ==
∴在AMC V 中，由余弦定理得2222cos AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅
1142212⎛⎫
=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭
7=
∴7AM =【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
22．已知椭圆：22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为15原点到直线1x y a b +=的距离为
30
4
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）22153x y +=；（2）存在，且方程为525y x =+或85
25
y x =+.
【解析】 【分析】
（1）依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到
(
)
22352050k x kx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C
的左顶点()
D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v
，
结合韦达定理可得到参数值. 【详解】 （1）直线
1x y
a b
+=的一般方程为0bx ay ab +-=.
依题意22224ab a b c ⎧=⎪
==+⎩
，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22
153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ，
当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.
由22
23515
y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()22
352050k x kx +++=. 由(
)
2
2
40020350k k
∆=-+>
，得,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-
+，122
5
35x x k
=+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2
121224k x x k x x =+++.
要使以AB 为直径的圆过椭圆C
的左顶点()
D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v
，
即(
1212y y x x + (
)(()2
1212
129k x x k x x =+++++ 0=， 所以(
)(2
22
5201293535k
k k k k
+-+++ 0=，
整理解得k =
k = 所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l
的方程为2y x =+
或2y =+. 【点睛】
本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直
接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
23．某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和210.1()5p p -≤<.
（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p . （2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值.
①已知A ，B 生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元．若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？
②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利10元、8元、
6元，现从A ，B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分
布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估算该厂产量2000件时利润的期望值.
【答案】 (1) 00.95p = (2) ①B 生产线上挽回的损失较多. ②见解析 【解析】 【分析】
(1)由题意得到关于p 的不等式，求解不等式得到p 的取值范围即可确定其最小值； (2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；
②.由题意首先确定X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值. 【详解】
（1）设从A ，B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C ，设从A ，B 生产线上抽到合格品分别为事件M ，N ，则M ，N 互为独立事件 由已知有()p M p =，()210.51()p N p p =-≤<
则()1()1p C p C =-=-()1()()p MN p M p N =-1(1)(22)0.995p p =---≥
解得0.95p ≥，则p 的最小值00.95p =
（2）由（1）知A ，B 生产线的合格率分别为0.95和0.9，即不合格率分别为0.05和0.1. ①设从A ，B 生产线上各抽检1000件产品，抽到不合格产品件数分别为1X ，2X ，
则有()1~1000,0.05X B ，()2~1000,0.1X B ，所以A ，B 生产线上挽回损失的平均数分别为：
()11555E X EX ==⨯10000.05250⨯=，()2233310000.1300E X EX ==⨯⨯=
所以B 生产线上挽回的损失较多.
②由已知得X 的可能取值为10，8，6，用样本估计总体，则有
203511(10)20040p X +==
=，60401(8)2002p X +===，20459
(6)20040
p X +=== 所以X 的分布列为
所以1040EX =⨯
+868.1240
⨯+⨯=（元） 故估算估算该厂产量2000件时利润的期望值为20008.116200⨯=（元） 【点睛】
本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。