高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-平面向量的概念及线性运算(含解析)

一、单项选择题
1．(2023·广州模拟)如图，在正六边形ABCDEF 中，AF →－ED →＋EF →＋2AB →
等于(
)
A ．0 B.A
B →C.AD
→ D.CF
→2.如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ＋b ＋c 可表示为(
)
A ．2e 1－3e 2
B ．3e 1－2e 2
C ．2e 1＋3e 2
D ．3e 1＋2e 2
3．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b
|b |”是“a ，b 共线”的(
)
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．(2024·银川模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝x a ＋b ，d ＝a ＋(2x －1)b ，若c 与d 方向相反，则实数x 的值为()
A ．1
B ．－
12
C ．1或－
12
D ．－1或－
12
5．已知O ，A ，B 三点不共线，点P 为该平面内一点，且OP →＝OA →
＋AB →|AB →|，则(
)
A ．点P 在线段A
B 上B ．点P 在线段AB 的延长线上
C ．点P 在线段AB 的反向延长线上
D ．点P 在射线AB 上
6.如图所示，△ABC 内有一点G 满足GA →＋GB →＋GC →
＝0，过点G 作一直线分别交AB ，AC 于点D ，E .若AD →＝xAB →，AE →＝yAC →(xy ≠0)，则1x ＋1
y 等于
(
)
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、多项选择题
7．下列各式中能化简为AD →
的是()
A ．－(C
B →＋M
C →)－(DA →＋BM →
)B ．－BM →－DA →＋MB →C ．(AB →－DC →)－CB →D.AD →－(CD →＋DC →)
8.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，且BC →
＝3EC →
，F 为AE 的中点，则(
)
A.BC →＝－12AB →＋AD
→B.AF →＝13AB →＋13AD
→C.BF →＝－23AB →＋13AD
→
D.CF →＝16AB →－23
AD
→
三、填空题
9．已知在四边形ABCD 中，AB →＝12DC →，且|AD →|＝|BC →
|，则四边形ABCD 的形状是________．
10．(2023·徐州模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2024，则|e 1＋e 2＋…＋e 2024|的最大值是________，最小值是________．
11．(2023·佛山模拟)等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 上一点，若AP →
＝4AB →|AB →|＋AC →
|AC →|，则△ABC
的面积为________．
12.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BE →＝EC →，CD →＝2CF →，则|AE →＋AF →
|＝________.
四、解答题
13．(2023·青岛模拟)如图，在矩形ABCD 中，DE →＝2EC →，BF →＝2FC →
，AC 与EF 交于点N .
(1)若CN →＝λAB →＋μAD →
，求λ＋μ的值；(2)设AE →＝a ，AF →＝b ，试用a ，b 表示AC →.
14.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23
AD →，AB →＝a ，AC →
＝b .
(1)用a ，b 表示AE →，BE →
；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．
15．(2023·扬州模拟)设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有OA→＋3OB→＋4OC→＝0，则△BOC 的面积为()
A．1 B.3
4C.1
2
D.1
4
16.如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，CO与AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
§5.1
平面向量的概念及线性运算
1．A
2.D
3.B
4.B
5.D
6.B 7．ACD
8．ABC
[∵AB ∥CD ，AB ＝2DC ，
∴BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →
，故A 正确；
∵BC →＝3EC →
，
∴BE →＝23BC →＝－13AB →＋23
AD →，
∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →
－13AB →＋23
AD ＝23AB →＋23AD →，又F 为AE 的中点，∴AF →＝12AE →＝13AB →＋13AD →
，故B 正确；
∴BF →＝BA →＋AF →＝－AB →＋13AB →＋13AD →＝－23AB →＋13
AD →
，故C 正确；
∴CF →＝CB →＋BF →＝BF →－BC →＝－23AB →＋13AD →－12AB →＋＝－16AB →－23AD →
，故D 错误．]
9．等腰梯形10.2024
11.25
2解析
如图，过点P 作AB ，AC 的垂线交AB ，AC 分别于点E ，F ，
由于AP →
＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，
所以AE →＝4AB →|AB →|，AF →
＝AC →|AC →|，
则|AE →|＝4，|AF →
|＝1，
所以在等腰直角△ABC 中，PE ＝1，BE ＝1，所以AB ＝5，故△ABC 的面积S ＝12×5×5＝25
2.
12．3解析
因为BE →＝EC →
，
所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，
又因为CD →＝2CF →
，
所以AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋AD →，
所以|AE →＋AF →|＝32|AB →＋AD →|＝32|AC →|，
又因为∠BAD ＝120°，所以∠ADC ＝60°，所以△ADC 为等边三角形，所以AC ＝AD ＝2，所以|AE →＋AF →|＝32|AC →
|
＝3
2×2＝3.13．解
(1)依题意，设EN →＝tEF →
，
CN →＝CE →＋EN →＝CE →＋tEF →＝CE →＋t (CF →－CE →)＝(1－t )CE →＋tCF →
＝－
(1－t )3
AB →－t 3AD →
，
又CN →＝λAB →＋μAD →
，
＝－1－t
3
，＝－t 3
，
解得λ＋μ＝－1
3
.
(2)因为AC →＝AB →＋AD →，AE →＝23AB →＋AD →，AF →＝AB →＋23AD →
，
所以AE →＋AF →＝53(AB →＋AD →)＝53AC →
，
所以AC →＝35a ＋3
5b .
14．(1)解
在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，
则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →＋12AC →＝12a ＋1
2b ，
故AE →＝23AD →＝13a ＋13b ，BE →＝AE →－AB →＝13a ＋13b －a ＝13b －2
3
a .
(2)证明
因为BE →＝13b －23a ＝1
3
(b －2a )，
BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝1
2(b －2a )，
所以BE →＝23
BF →，所以BE →∥BF →
，
又BE →，BF →
有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．15．C
[如图，∵OA →＋3OB →＋4OC →
＝0，
∴－17OA →＝37OB →＋47OC →，
设－17OA →＝OD →，
则OD →＝37OB →＋47OC →，
即B ，C ，D 三点共线，∴|OD →
||AD →|＝S △BOC S △ABC ＝18，∴S △BOC ＝4×18＝1
2.]
16．(1，＋∞)解析
因为CO 与AB 交于点D ，
所以O ，C ，D 三点共线，所以OC →与OD →
共线，设OC →＝mOD →
，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →
，可得OD →＝λm OA →＋μm OB →，
因为A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μ
m ＝1，可得λ＋μ＝m >1，
所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．。