深圳市宝安中学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．若对(0,)t ∀∈+∞，都有22
(1)3x t x t
+<
+成立，则x 的取值范围是（ ） A ．()2,6-
B ．(,3)(2,6)-∞--
C ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞
D ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞
2．下列函数中，最大值为1
2
的是（ ）
A ．2
2
116y x x
=+
B ．y
C ．2
41
x y x =+
D ．()4
22
y x x x =+
>-+ 3．若正数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最大值12
B ．224a b +有最小值12
C ．ab 有最小值
18 D ．224a b +有最大值
14
4．已知0,0,23x y x y >>+=，则14
21x y
++的最小值是（ ） A ．3
B ．
94 C ．
4615
D ．9
5．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy
z
取得最大值时，212x y z +-
的最大值为（ ） A ．0
B ．3
C ．
9
4
D ．1
6．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的
成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙
7．已知1x >，0y >，且12
11x y
+=-，则2x y +的最小值为（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．7+8．已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则
11
tan tan B C
+的最小值为（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．1
9．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
，则a b -=（ ） A ．4-
B ．14
C ．10-
D ．10
10．若不等式()(
)2
||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
11．已知AB AC ⊥，1
AB t
=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且
4AB AC AP AB
AC
=
+
，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
12．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2
134m m a b
+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3-
B ．[]2,6-
C ．[]6,2-
D ．[]
3,4-
二、填空题
13．设函数4
()f x x x
=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.
14．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式中恒成立的是_______.①112
ab >；
②228a b +≥；2≥；④
11
1a b
+≥. 15．设0b >，2
1a b -=，则2
42a a b
+的最小值为_________.
16．已知函数2
()f x x ax b =++，对任意的[0,4]x ∈，都有()2f x ，则
=a b +________.
17．已知方程210(0)x kx k ++=>有实根，则1
k k
+
的最小值是______．
18．已知0a >，0b >，若不等式
212m a b a b
+≥+恒成立，则m 的最大值为______． 19．已知不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，则a c +=________.
20．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料
ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为
____（单位：2cm ）.
三、解答题
21．已知函数2()(,)f x x bx c b c =++∈R ，且()0f x ≤的解集为[1,2]-． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）设函数()f x 在[,1]x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．
22．选修4-5：不等式选讲
已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；
（2）若,,a b c ∈R ， 22
22
a c
b k ++=，求()b a
c +的最大值.
23．已知关于x 的不等式()2
2600kx x k k -+<≠.
（1）若不等式的解集是{
3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．
24．已知正实数x ，y 满足等式2520x y +=. （1）求lg lg u x y =+的最大值； （2）若不等式
2101
4m m x y
+≥+恒成立，求实数m 的取值范围.
25．已知函数2()1()f x ax ax a R =--∈.
(1)若对任意实数x ，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()23f x x <-.
26．设0x >，0y >，4xy x y a =++，其中a 为参数. （1）当0a =时，求x y +的最小值； （2）当5a =时，求xy 的最小值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
首先利用基本不等式得到2(1)4t t +≥，再根据题意得到2
43
x x <+，解不等式即可.
【详解】
令()2
(1)t t t f +=，()0,t ∈+∞，
()2)2(11t t f t t t
==+++，
因为()0,t ∈+∞，所以()1
224f t t t
=++≥=， 当1t t
=即1t =时取等号，
又因为(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t +<+，所以2
43x x <+即可.
由243x x <+得()243033x x x x +-<++，即2412
03
x x x --<+， ()()2
41230x
x x --+<，所以()()()6230x x x -++<，
解得3x <-或26x -<<. 故选：B. 【点睛】
易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．C
解析：C 【分析】 用排除法求解． 【详解】
由于20x >，因此2
2
1
16y x x =+
无最大值，A 错；
[0,1]y =，最小值为0，最大值为1，B 错； 2x >-，20x +>，4
2
y x x =+
+无最大值，D 错， 只有C 正确、 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查求函数的最大值．对于单选题可以从简单入手，利用排除法确定正确选项．实际上C 可以用基本不等式求解：
2
4
()1
x f x x =+，0x =时，(0)0f =，0x ≠时，221
()1f x x x
=+， 而2
21
2x x +
≥，当且仅当1x =±时等号成立，∴10()2
f x <≤， 综上有()f x 的值域是1
[0,]2
，最大值为
12
． 3．B
解析：B 【分析】
利用基本不等式分析2
2
,4ab a b +的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果. 【详解】
因为21a b +=
，所以12a b =+≥18ab ≤，取等号时11,24
a b ==， 所以ab 有最大值
1
8
，所以A ，C 错误； 又因为()2
2
2
11241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+，取等号时11,24
a b ==， 所以224a b +有最小值1
2
，所以B 正确，D 错误， 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．B
解析：B 【分析】
由已知条件代入后凑出积为定值，再由基本不等式得最小值． 【详解】
∵0,0,23x y x y >>+=，所以(2x+1)+y=4 则
()()421141141549
=2152142142144
x y
x y x y x y x y ++++++=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
++=+++ 当且仅当
()42121x y x y +=+且214x y ++=即18
,63
x y ==时取等号， 则1421x y ++的最小值是9
4
. 故选：B ． 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
5．D
解析：D 【分析】
利用22
340x xy y z -+-=可得1
43xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212
x y z
++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.
【详解】
由正实数x ，y ，z 满足2
2
340x xy y z -+-=，
2234z x xy y ∴=-+．
∴2211
434432?xy xy x y z
x xy y x y y x
==
=-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．
∴
222122121(1)1122x y z y y y y
+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即
212
x y z
+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】
本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 【详解】
若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B 【点睛】
真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证
7．B
解析：B 【分析】
利用“乘1法”将问题转化为求[]12(1)211x y x y ⎛⎫
-+++ ⎪-⎝⎭
的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】
1x >，10x ->，又0y >，且
12
11x y
+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++
[]12(1)211x y x y ⎛⎫
=-+++ ⎪-⎝⎭
22(1)
61y x x y
-=+
+-
262
x +-10=， 当且仅当22(1)
1y x x y
-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最和的最值，考查“1”的巧妙运用，难度一般，灵活转化是关键.
8．C
解析：C 【分析】
将
11tan tan B C +化为关于tan A 的式子，然后利用基本不等式可以求出最小值. 【详解】
在ABC 中，()tan tan C A B =-+，
111111tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B
B C B A B B A B
，
tan 2tan B A =，
211tan tan 112tan 12tan tan tan tan 2tan 3tan 6tan 3
A B A
A
B A B A A
A ,
角A 为锐角,tan 0A ∴>，
12tan 12tan 2
2
6tan 3
6tan 3
3
A A
A A ， 当且仅当
12tan 6tan 3
A A ，即1
tan 2A =时，等号成立，
∴11tan tan B C +的最小值为23. 故选：C. 【点睛】
本题考查三角形中角的互化，和的正切公式的应用，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.
9．C
解析：C 【分析】
由题意可知方程220ax bx ++=的根为11
,23
-
，结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-，从而得出-a b 的值.
【详解】
由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23
- 由根与系数的关系可知，11112
,2323b a a
-+=--⨯=
解得12,2a b =-=-
即12210a b -=-+=- 故选：C 【点睛】
本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题.
10．D
解析：D 【分析】
可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解. 【详解】
当220x x -≥时，即[]02x ,∈
时，||0x a b --≤恒成立，
所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立
所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，
综上，2a b += 故选：D 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题
11．A
解析：A 【详解】
以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t
，(0,)C t ，
1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P
（，4)，所以1
14)PB t
=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅
11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅的最大值等于
13，当1
4t t =，即12
t =时取等号．
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
12．C
解析：C 【分析】
由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得1
12ab
，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：
两个正实数a ，b 满足3a ，
1
2
，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab
∴，∴
1
12ab
． ∴不等式21
34m m a b +
+恒成立，即234a b m m ab
++恒成立， 即
21
4m m ab
+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意；当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为： 解析：(,1)-∞-
【分析】
由题意可得212ax a a
<+在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围．
【详解】 函数4()f x x x =-
，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x
-+-<， 即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝
⎭在[2，)+∞恒成立， 当0a >时，22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭
，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意； 当0a <时，22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭
， 解得1a >或1a <-，即有1a <-成立．
则a 的取值范围是(,1)-∞-．
故答案为：(,1)-∞-．
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
14．②④【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可【详解】解：且即当且仅当时取等号故选项①错误；当且仅当时取等号选项②正确；即选项③错误；当且仅当时取等号选项④正确故答案为：②④【点睛】利用基本不等式求最
解析：②④
【分析】
利用基本不等式和题设得到答案即可．
【详解】
解：0a >，0b >，且4a b +=，
42a b ab ∴+=，即4ab ，当且仅当2a b ==时取等号，∴
1
14ab ，故选项①错误； 2
22()82
a b a b ++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项②正确；
42a b ab +=，即2，∴选项③错误；
1111111()()(2)(221
444
b a a b a b a b a b +=++=+++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项④正确，
故答案为：②④．
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15．4【分析】两次应用基本不等式验证等号能同时成立即得【详解】由题意当且仅当即时上述不等式中等号同时成立故答案为：4【点睛】本题考查了基本不等式求最值考查了运算求解能力逻辑推理能力在连续运用基本不等式求 解析：4
【分析】
两次应用基本不等式，242a a b +≥12b b +≥，验证等号能同时成立即得． 【详解】
由题意211a b =+≥，
2442a a b +≥===≥， 当且仅当2142b b a a b
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩时上述不等式中等号同时成立． 故答案为：4．
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，在连续运用基本不等式求最值时，要注意等号能否同时成立．
16．；【分析】的最大值为由题意可得且且运用绝对值的解法和不等式的性质结合两边夹法则可得然后求出【详解】解：函数可得的最大值为而对任意的都有可得且且由可得可得则即有①由可得解得②由①②可得则即有又可得则故 解析：2-；
【分析】
()f x 的最大值为()()0,4,()2a max f f f ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭，由题意可得||2b ，且|164|2a b ++，且2|4|8a b -，运用绝对值的解法和不等式的性质，结合两边夹法则可得4a =-，2b =，然后求出+a b ．
【详解】
解：函数2()||f x x ax b =++，[0x ∈，4]，
可得()f x 的最大值为()()0,4,()2a max f f f ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭， 而(0)||f b =， ()4|164|f a b =++，2
()||24
a a f
b -=-， 对任意的[0x ∈，4]，都有()2f x ，
可得||2b ，且|164|2a b ++，且2|4|8a b -，
由284818414a b a b ⎧--⎨-+-⎩可得28487216456
a b a b ⎧--⎨-+-⎩， 可得2801648a a -+-，则216(8)16a -+，
即有124a --，①
由2848848
b a b -⎧⎨--⎩可得21616a -，解得44a -，② 由①②可得4a =-，
则|164|8b -，即有26b ，
又22b -，可得2b =，
则2a b +=-，
故答案为：2-．
【点睛】
本题考查含绝对值的函数的最值求法，以及函数恒成立问题解法，注意运用对称轴与区间的关系，以及绝对值的解法和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 17．【分析】先根据一元二次方程有解得再根据函数的单调性求解即可【详解】解：方程有实根解得又在上单调递增 的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题根据条件求出k 的范围利用对勾函 解析：52
【分析】
先根据一元二次方程有解得2k ≥，再根据函数1y k k
=+
的单调性求解即可. 【详解】 解：方程210(0)x kx k ++=>有实根， 240k ∴-≥，解得2k ≥， 又1y k k
=+
在[)2+∞，上单调递增， ∴ 1k k +的最小值是15222
+=， 故答案为：52．
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题，根据条件求出k 的范围，利用对勾函数在区间内的最值即可求出结果．
18．9【分析】将题目所给不等式分离常数利用基本不等式求得的最大值【详解】由得恒成立而故所以的最大值为【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略考查利用基本不等式求最值考查化归与转化的数学思想方法属于 解析：9.
【分析】
将题目所给不等式分离常数m ，利用基本不等式求得m 的最大值.
【详解】 由212m a b a b +≥+得()212m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，而()212225a b a b a b b a ⎛⎫++=++ ⎪⎝
⎭5549≥+=+=，故9m ≤，所以m 的最大值为9.
【点睛】
本小题主要考查不等式恒成立问题求解策略，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19．-7【分析】结合一元二次不等式和一元二次方程的性质列出方程组求得的值即可得到答案【详解】由不等式的解集为可得解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程的性质其中解答 解析：-7
【分析】
结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得,a c 的值，即可得到答案.
【详解】
由不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，可得052323a a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩
，解得1,6a c =-=-， 所以167a c +=--=-.
故答案为：7-.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．【分析】设BC=x 连结OC 求出OB 得到矩形面积表达式然后利用基本不等式求出函数的最值即可【详解】设BC=x 连结OC 得OB=所以AB ＝2所以矩形面
积S ＝2x ∈（04）S ＝2即x2＝16﹣x2即x ＝2时
解析：16
【分析】
设BC=x,连结OC ，求出OB ，得到矩形ABCD 面积表达式，然后利用基本不等式求出函数的最值即可．
【详解】
设BC=x,连结OC ，得OB=216x -，所以AB ＝2216x -，
所以矩形ABCD 面积S ＝22x 16x -，x ∈（0，4）,
S ＝2()
22222x 162161616x x x x x -=-≤+-= ．
即x 2＝16﹣x 2，即x ＝22时取等号，此时y max ＝16
故答案为16
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，考查利用基本不等式求函数最值问题，考查计算能力．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无。