第一章 1.2.3 第二课时 直线与平面垂直

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在三棱锥A－BCD中，BC＝AC，BD＝AD， BE⊥CD于E.
求证：CD⊥平面ABE. [思路点拨] 欲证线面垂直，可考虑利用线面垂直的 判定定理，将问题转化为证明CD与平面ABE内两相交直线 都垂直，由条件知△ABC与△ABD是等腰三角形，于是由 等腰三角形“三线合一”，启发我们取AB中点M，然后进行 求解．
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7．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在 的平面，M、N分别 是AB、 PC的中点．求证：MN⊥AB. 证明：如图，连结AC，取AC中点E，连结ME、NE， 则NE∥PA，
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∵PA⊥矩形ABCD， ∴NE⊥平面ABCD. ∴NE⊥AB. ∵ME∥BC，BC⊥AB， ∴ME⊥AB. 又ME∩NE＝E，∴AB⊥平面MNE. ∴MN⊥AB.
证明：∵m与n相交， ∴m与n确定一个平面，记为α. ∵l1⊥m，l1⊥n， ∴l1⊥α. 同理l2⊥α. ∴l1∥l2，∴∠1＝∠2.
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已知：α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O， OR⊥α于R，求证：QR⊥AB.
[思路点拨] 解答本题可先考虑QR在某一平面内， 证AB与其所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即 可判定QR⊥AB.
垂直，则该直线与此平面垂直．
符号语言：
l⊥m l⊥n m∩n＝A m⊂α，n⊂α
⇒l⊥α.
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当你在马路上散步时，会惊奇 地发觉身旁的树木、电线杆等物体， 它们之间的空间位置关系是相互平行的．
问题1：若将树木电线杆抽象成直线，它们与地面 所在平面有何位置关系？
提示：垂直．
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问题2：你能由上述问题得出垂直于同一平面的 直线平行吗？
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如图在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点E、F分别在A1D、AC上，且 EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
[思路点拨] 利用线面垂直的性质定理证明EF、 BD1垂直于面AB1C可得结论．
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[精解详析] 如图所示， 连结AB1、B1C、BD、B1D1， ∵DD1⊥平面ABCD， AC⊂平面ABCD， ∴DD1⊥AC.
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[精解详析]取AB中点M，连结MD、MC. ∵BC＝AC，BD＝AD， ∴CM⊥AB，DM⊥AB. 又CM∩DM＝M， ∴AB⊥平面CDM. ∵CD⊂平面CDM， ∴CD⊥AB. 又∵CD⊥BE，AB∩BE＝B， ∴CD⊥平面ABE.
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[一点通] 线面垂直的证明常见方法 (1)线面垂直的判定定理，在论证中要根据题设条 件，来寻找判定定理的条件． (2)利用平行转化：a∥b，a⊥α，则b⊥α.
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4．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线 m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是_____． 解析： ll⊥⊥AABC⇒l⊥α， mm⊥⊥BACC⇒m⊥α. 由线面垂直的性质定理得m∥l. 答案：平行
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5.如图，m、n是两条相交直线， l1，l2是与m，n都垂直的两条 直线，且直线l与l1，l2都相交， 求证：∠1＝∠2.
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1．判定定理的理解 (1)定理中“平面内两条相交直线”是关键性条件，若 没有此条件即使直线垂直于面内的无数条直线，也不能 判定直线垂直于平面． (2)要判定线面垂直，只需在平面内找到两相交直线 与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否与已知直线 有交点，无关紧要．
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2．对性质定理的理解 (1)定理给出了判定两直线平行的另一种方法． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系， 提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
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要测量某墙角直与不直，只需将
弯尺一边与墙角对齐，将另一边旋转，
看是否与地面平齐，若平齐，说明墙角直，否则墙角
不直．
问题1：用弯尺测量墙角直不直的原理是什么？
提示：直线与平面垂直的定义．
问题2：直线垂直于平面的条件是什么？
提示：必须垂直于平面内的所有直线．
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直线与平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都
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3．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC， AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.
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证明：∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC. 又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC. 又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC. ∵AD⊂平面SAC，∴BC⊥AD. 又SC⊥AD，SC∩BC＝C， ∴AD⊥平面SBC.
1.2
第
点
1.2.3
第
一、直二
章线线课
、与时
立面平直
体之面线
几间的与
何的位平
初位置面
步置关垂
关系 直
系
理解教材新知
把握热点考向 应用创新演练
知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五
考点一 考点二 考点三
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请你做一做：将书打开直立在桌面上，观察书脊 和各页与桌面的交线的位置关系．
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1．共点的三条直线OA、OB、OC两两互相垂直，则OA与 BC的关系是________． 解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O， ∴OA⊥平面BOC，又BC⊂平面BOC，∴OA⊥BC. 答案：OA⊥BC
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2.如图所示，在正方体AC1中， 求证：AC⊥平面BDD1B1. 证明：∵BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴BB1⊥平面AC， 又AC⊂平面AC，∴BB1⊥AC. 又四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC， 又BD⊂平面BDD1B1，BB1⊂平面BDD1B1，BB1∩BD＝B， ∴AC⊥平面BDD1B1.
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1．判定线面垂直的方法主要有三种 (1)利用定义；(2)利用判定定理；(3)与平行关系联 系运用，即若a∥b，b⊥α，则a⊥α. 2．线面垂直有以下性质： (1) la⊥⊂αα⇒l⊥a；(2) lm⊥⊥αα⇒l∥m；(3) ll⊥∥αm⇒m⊥α.
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3．线线、线面垂直的关系 由线线垂直可判断出线面垂直，由线面垂直又可判 断出线线垂直，这种“线线→线面→线线”之间的垂直关 系的相互转化，是线线、线面垂直关系判定的实质，也 是运用定理对垂直关系进行证明的关键所在．
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又AC⊥BD，BD∩DD1＝D， ∴AC⊥平面BDD1B1， 又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥AC，EF⊥A1D， 又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
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[一点通] 空间中证明两条直线平行的方法： (1)利用线线平行定义：证两线无公共点； (2)若a∥b，b∥c，则a∥c(公理4)； (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线 面平行； (4)若a⊥α，b⊥α，则a∥b(线面垂直的性质定理)．
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6．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题 正确的个数是________． ①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α ②若l⊥α，l∥m，则m⊥α ③若l∥α，m⊂α，则l∥m ④若l∥α，m∥α，则l∥m
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解析：对于①，若l⊥m，m⊂α，则l⊂α可能成立，l⊥α不一 定成立，∴①不正确；对于②，若l⊥α，l∥m，则m⊥α， 正确．对于③，l与m可能异面，不一定平行，故③不正确； 对于④，l与m可能相交，也可能异面，故④不正确． 答案：1
提示：可以．
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直线与平面垂直的性质定理 文字表述：如果两条直线垂直于 同一个 平面，那 么这两条直线平行． 符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
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1．点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线， 这个点和 垂足 间的距离，叫做这个点到这个平面的距 离．
2．直线和平面的距离：一条直线和一个平面 平行， 这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和 这个平面的距离.
问题1：书脊和各页与桌面的交线是什么位置关系？ 提示：垂直． 问题2：若一直线垂直于某一平面内的无数条直线， 此直线和平面垂直吗？ 提示：不一定．
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直线和平面垂直的概念 1．线面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的 任意 一条 直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直，直 线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线和平面的 交点叫垂做足 ． 2．结论：过一点有且只有一条直线与已知平面 垂直 ， 过一点 有且只有一个 平面与已知直线垂直.
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[精解详析] 如图，∵α∩β＝AB， PO⊥β于O， ∴PO⊥AB， ∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB， ∵PO∩PQ＝P， ∴AB⊥平面POQ. ∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR. ∴PQ与OR确定平面PQRO. 又∵QR⊂平面PQRO，∴QR⊥AB.
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[一点通] 要证线线垂直，只需证线面垂直，只需 考虑应用线面垂直的定义或判定进行证明，从而得出所 需结论．
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1．相关概念 平面的斜线：指与一平面相交，但 不垂直 的直线． 斜足：斜线与平面的交点． 斜线段：斜线上一点与斜足间的线段． 正投影：过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，过 斜足和垂足 的直线就是斜线在平面内的正投影)定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所 成的 锐角 ． (2)范围： 0°≤θ≤90° . (3)画法：如图所示，斜线PQ与平面α所成的角是 ∠PQP1.