四川省成都外国语学校届高三数学11月月考【会员独享】

成都外国语学校第2012届高三第2次月考试卷数 学
试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。

满分150分，考试时间120 分钟。

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考号准确无误地填写、填涂在答题卡规定的位置上； 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

第Ⅰ卷
一、选择题
1．（理）满足关系2)1(=-i z 的复数z 的共轭复数是（ ） A.
i 2121+ B.i 2
1
21- C.i -1 D.i +1 （文）将抛物线1)2(2+-=x y 按向量平移，使顶点与原点重合，则向量的坐标是（ ） A.)1,2(-- B.)1,2( C.)1,2(- D.)1,2(-
2．某学生决定在高三第二轮复习阶段的某个星期（星期一~星期天）之内，将语文、数学、外语、综合各做一套模拟试卷（一套模拟试卷必须在一天内完成），若星期一和星期四是数学晚自习，不做数学模拟试卷，而综合模拟试题放在星期六做，那么该生一星期内不同的做试卷方法的总数为（ ）
A.60
B.70
C.80
D.90 3．给出下面的4个命题：
①若直线l ⊥平面α，直线l ∥平面β，则平面α⊥平面β； ②有两个侧面都是矩形的棱柱一定是直棱柱；
③过空间任意一点一定可以作一个平面和两条异面直线都平行； ④若平面α和平面β都垂直于平面γ，则平面α和平面β不一定平行。

其中，正确的命题是（ ）
A.①②
B.①③
C.①④
D.②③ 4．（理）设数列}{n a 的前n 项和为)2(3,1,1≥==n S a a S n n n ，则11
lim 1
+-++∞→n n n S S 的值是（ ）
A.2-
B.1-
C.2
1
-
D.1 （文）已知}{n a 是等差数列，55,1554==S a ，则过点P(3,3a )、Q ),4(4a 的直线的斜率为（ ） A.4 B.4
1
C.4-
D.14- 5．设函数)5
2
sin(2)(π
π+
=x
x f ，若对任意∈x R 都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的
最小值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
6．设有两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ，A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同，则事件A 发生的概率为（ ） A.2p B.
2
p
C.p -1
D.p 21- 7．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在]4,5[--上是减函数，若A 、B 是锐角三角形的两个内角，则（ ）
A.A)(sin f ＞B)(sin f
B.A)(cos f ＜B)(cos f
C.B)(sin f ＜A)(cos f
D.A)(sin f ＞B)(cos f
8．已知向量)sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===，则与夹角的范围是（ ）
A.]4
,0[π B.]125,4[ππ C.]125,12[ππ D.]2,125[ππ
9．等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且3
457-+=n n T S n n ，则使得n n b a
为整数的正
整数的n 的个数是（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6 10．设)]([)(,1
1
)()(11x f f x f x x x f x f n n =+-=
=+，记M 为22)(22012+-=x x x f 的实数解集，则M 为（ ）
A.空集
B. R
C.单元素集合
D.二元素集合 11．（理）幂指函数)()(x g x f y =在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得
)(ln )(ln x f x g y =，两边求导数得
)
()
(')()(ln )(''x f x f x g x f x g y y +=，于是)('[)(')(x g x f y x g = ])
()
(')()(ln x f x f x g x f +。

运用此法可以探求得知x x y 1
=的一个单调递增区间为（ ）
A.(0,2)
B.(2,3)
C.(e ,4)
D.(3,8) （文）若曲线4x y =的一条切线l 与直线020114=-+y x 垂直，则直线l 的方程为（ ）
A.034=--y x
B.034=+-y x
C.020114=--y x
D.020114=+-y x
12．定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数21,x x 均有|)()(|21x f x f -
≤||21x x k -成立，则称函数)(x f 在定义域D 上满足利普希茨条件，对于函数
)1()(≥=x x x f 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值应是（ ）
A.2
B. 1
C.3
1 D.21
第Ⅱ卷 （非选择题）
二、填空题。

本大题共四个小题，每小题4分，共16分
13．设点P ),(00y x 是函数x y t an =与0=+y x 图象的交点，则)12)(cos 1(02
++x x 的值是__________。

14．已知等比数列}{n a 中12=a ，则其前3项的和S 3的取值范围是 。

15．如图，将正方形ABCD 沿对角线AC 折成二面角D —AC —B ，使点B 、D 的距离等于AB 的长，
此时直线AB 与CD 所成的角的大小为 。

16．给出下列四个命题：
①若函数)()(3x x a x f -=在区间)3
3,33(-
上为减函数，则a ＞0； ②函数)1lg()(+=ax x f 的定义域是{x x |＞)1a -；③当x ＞0且1≠x 时,有x x ln 1
ln +≥2；
④若M 是圆34)2()5(22=++-y x 上的任意一点，则点M 关于直线25--=a ax y 的对称点M′也在该圆上。

所有正确命题的序号是_______________。

三、解答题。

(共76分)
17．已知12sin cos 2)(2-++=b x a x x f （a ＞0）的最大值比最小值大4。

（1）求a 的值；
（2）当]2,0[π
∈x 时，3|)(|≤x f 恒成立，求实数b 的取值范围。

18．已知甲盒有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球。

现从甲、乙两个盒内各任取2个球。

（1）求取出的4个球均为黑球的概率； （2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望。

（理科全做，文科只做（1）（2）题）
19．如图，在底面是直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB=90
PA=AB=BC=1，AD=2，M 是PD 的中点。

（1）求证：MC ∥平面PAB ；
（2）在棱PD 上求一点Q ，使二面角Q —AC —D 的正切值为2
2。

20．已知二次函数bx ax x f +=2)(的图象过点)0,4(n -，且)(2)0('*N n n f ∈=。

（1）求)(x f 的解析式； （2）若数列}{n a 满足
)1
(
'11
n
n a f a =+，且41=a ，求数列}{n a 的通项公式； （3）对于（2）中的数列}{n a ，求证：∑=++++=n k n k a a a a a 1
321 ＜5。

21．（理）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=。

（1）求)(x f 的单调增区间和单调减区间；
（2）若当]1,11
[--∈e e
x 时（其中 71828.2=e ），不等式)(x f ＜m 恒成立，求实数m 的取值
范围；
（3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间[0,2]上恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范
围。

（文）已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0，1]上是增函数，在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数，
又2
3)21('=f 。

（1）求)(x f 的解析式；
（2）若在区间],0[m (m ＞0)上恒有)(x f ≤x 成立，求m 的取值范围。

22．集合A 是由适合以下性质的函数)(x f 构成的：对于任意的)1,1(-∈υ、u ，且υ≠u ，都有||3|)()(|υυ-≤-u f u f 。

（1）判断函数211)(x x f +=是否在集合A 中？并说明理由； （2）设函数bx ax x f +=2)(，且A x f ∈)(，试求b a +2的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若6)2(=f ，且对于满足（2）的每个实数a ，存在最小的实数m ，
使得当]2,[m x ∈时，6|)(|≤x f 恒成立，试求用a 表示m 的表达式。

（理科全做，文科只做（1）（2）题）
成都外国语学校高2012级11月月考参考答案
一、填空题。

题号
1 2 3 4 5 6 7 8
9
10
11
1
2 答案
理C 文
A C C
理
B
文A
B C D C C
C 理
A 文
A
D
二、填空题。

13． 2 14．),3[]1,(+∞--∞ 15．60º 16．①④ 三、解答题。

17．（1）b x a x x f ++=2sin 2cos )( =b x a +++)2sin(12ϕ ∴4122=+a ，则a ＞0得3=a 。

（2）由（1）知12sin 3cos 2)(2-++=b x x x f ，即b x x f ++=)6
2sin(2)(π。

当]2,0[π∈x 时，]6
7,6[62π
ππ∈+x ，
∴]2,1[)(+-∈b b x f ，
∴13-≤-b 且32≤+b ，得12≤≤-b 。

18．解：（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为
黑球”为事件B 。

由于事件A 、B 相互独立，且P(A)=2124
23=C C ，P (B)=52
2624=C C ，
故取出的4个球均为黑球的概率为P(A ·B)=P(A)·P(B)=5
1
5221=⨯。

（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是
黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出
的2个球均为黑球”为事件D 。

由于事件C 、D 互斥，且P(C)=154
2
61
4122423=⋅⋅C C C C C ， P(D)=5
1
262
42413=⋅C C C C 。

故出取的4个球中恰有1个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=15
751154=+。

（3）ξ可能的取值为0，1，2，3。

由（1）、（2）得P(ξ=0)=51，P(ξ=1)=15
7
，P(ξ=3)=3011262413=⋅C C C 。

从而P 10
33)P(1)P(0)P(1)2(==-=-=-==ξξξξ。

ξ的分布列为
ξ
0 1 2 3
P
5
1
15
7
10
3
30
1
ξ的数学期望E ξ=0×
51+1×157+2×103+3×301=6
7。

19．（1）过M 作MN ∥PA 交AD 于N ，连接CN ，
∵PA ⊥平面ABCD 且MP=MD ，∴MN ⊥平面ABCD 且NA=ND ，
∴AB=BC=AN=CN=1，
又∠NAB=90º，DA ∥BC ，∴四边形ABCN 为正方形， ∴AB ∥NC ，∴平面PAB ∥平面MNC 。

∴MC ∥平面PAB 。

（2）在（1）中连接NB 交AC 于O ，则NO ⊥AC ，连接MO ，∵MN ∥平面ABCD ，
MO ⊥AC ，∴∠MON 就是二面角M —AC —D 的平面角，∵tan ∠MON=2
2， ∴点M 就是所求的Q 点。

20．（1）由⎩⎨⎧=-=∴+=,0416,2,2)('2nb a n n b b ax x f 解之得n b a 2,21
==，
即)(22
1)(*2
N n nx x x f ∈+=
； （2）由
n a a n a a n n n n 211,21111
=-∴+=
++，由累加得n n a n +=-+214
11， ∴)()
12(4
*2
N n n a n ∈-=； （3）4
1)1(1+
-=
k k a k ＜
)2(1
11)1(1≥--=-k k
k k k ，当1=n 时，显然成立；
当n ≥2时，n n n a n k k 1
5)111()3121()211(41
-=--++-+-+≤∑= ＜5。

21．（理）（1）函数的定义域为,1
)
2(2]11)1[(2)('),,1(++=+-
+=+∞-x x x x x x f 由)('x f ＞0得x ＞0，由)('x f ＜0得1-＜x ＜0，∴)(x f 的增区间为),0(+∞，
减区间为)0,1(-。

（2）由0)('=x f 得0=x ，由题意当]1,11
[--∈e e
x 时，
x
)0,11
(-e )
1,0(-e )
('x f － ＋ )
(x f
↘
↗
,2)1(,21)11(
22-=-+=-e e f e e f 且22-e ＞21
2+e ， ]1,11
[--∈∴e e
x 时，2)1()(2max -=-=e e f x f ，
m ∴＞22-e 时，)(x f ＜m 恒成立。

（3）0)1ln(
21)(2=+-+-⇔++=x a x a x x x f ，令),1ln(21)(x a x x g +-+-= 1
1
121)('+-=
+-
=x x x x g ，由)('x g ＞0得x ＞1，由)('x g ＜0得1-＜x ＜1，)(x g 在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，故若a x x x f ++=2)(在[0,2]上恰有两相
异实根(0)0,(1)0,22ln 2(2)0,g g g ≥⎧⎪
⇔∠⇒-⎨⎪≥⎩
＜3ln 23-≤a 。

（文）（1）c bx ax x f ++=23)('2，由已知,0)1(')0('==f f 即⎩
⎨⎧=++=.023,
0c b a c
解得⎪⎩
⎪⎨⎧-==.23,
0a b c ∴,2,232343)21(',33)('2
-=∴=-=
∴-=a a a f ax ax x f .32)(23x x x f +-=∴
（2）令x x f ≤)(，即03223≤-+-x x x ，
∴2
1
0,0)1)(12(≤≤∴≥--x x x x 或1≥x 。

又x x f ≤)(在区间],0[m 上恒成立，
∴0＜m ≤21。

22．（1）∈)(1x f A ，任取)1,1(-∈υ、u ，且υ≠u ，则
|
11||||||
11||||11||)()(|2
2
2
2
222
2
11υυυυυυυ+++-⨯+=
+++-=
+-+=-u u u u u u f u f
因为||u ＜21u +，||υ＜21υ+，且||||||υυ+≤+u u
所以|
11||
|2
2υυ++++u u ＜1
所以|)()(|11υf u f -＜||υ-u ＜3||υ-u ，亦即∈)(1x f A
（2）因为bx ax x f +=2)(属于集合A ，所以，任取)1,1(-∈υ、u 且υ≠u ，则3||υ-u ≥
|))((||)()(|b a au u f u f ++-=-υυυ，也即||b a au ++υ≤3 ①
设υ+=u t ，则上式化为3||≤+b at ②
因为)1,1(,-∈υu ，所以2-＜t ＜2
①式对任意的)1,1(,-∈υu 恒成立，即②式对t )2,2(-∈恒成立可以证明3|||2|≤+b a ,所以3|2|≤+b a ， 即]3,3[2-∈+b a
（3）由6)2(=f 可知32=+b a
又由（2）可知323≤+≤-b a ，所以2
3
0≤≤a ，
当0=a 时，x x f 3)(=为单调递增函数 令6)(-=x f ，得2-=x ，所以2-=m
当a ＞0时，a
a a a x a x a ax x f 4)23()223()23()(2
22
--
-+=-+=. 此时，0231223≤-=--a a a ，且当R x ∈时)(x f 的最小值为a
a a a f 4)23()223(2
--
=-- 若64)23(2
-≥--a
a ，
即232269≤≤-a 时，m 为方程6)(=x f 的较小根，所以a m 3-= 若a
a 4)23(2--＜6-，即0＜a ＜2269-时，由于)(x f 在),223[+∞--a a
上单调递增，
所以m 为方程6)(-=x f 的较大根，所以a
a a a m 29
364322+-+-=，综上可知，
)23
226-9( 3)2269(0＜ 29
36432)0( 22⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
≤≤--+-+-=-=a a
＜a a a a a a m。