数列通项的求法(有详解)(20201103182533)

10. 数列 { an } 满足 an 2an 1 2n 1 (n 2) 且 a4 81 。求 (1) a1 、 a2 、 a3 ( 2 )是否存在一个实数
，
使此数列
{
a
n
2
n
} 为等差数列？若存在求出
的值及 an ；若不存在，说明理由。
6. 数列 { a n } 满足 a 1 =1， 3an 1 an 7 0 ,求数列 { a n } 的通项公式。 7. 数列 a n 满足 a1 2, a 2 5, an 2 3an 1 2 a n =0，求数列 {a n } 的通项公式。
an
(
1)n
2n 2n
3
．
题型 2.定义法求通项
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例 2．等差数列 a n 是递增数列，前 n 项和为 Sn ，且 a1 ,a 3, a 9成等比数列， S5
a
2 5
．求数列
an 的通项
公式 .
解析 ：设数列 a n 公差为 d (d 0) ∵ a1, a3 , a9 成等比数列，∴ a32 a1a 9 ， 即 (a1 2d ) 2 a1 (a1 8d ) d 2 a1d
2 [
2n
2
( 1)n 1].
3
经验证 a1 1 也满足上式，所以 an
2 [ 2n 2 ( 1) n 1] 3
an
点评 ：利用公式
Sn Sn Sn 1
n1 n 2 求解时，要注意对
n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．
题型 4.利用递推公式求通项
类型 1 递推公式为 an 1 a n f ( n)
1
得：
2n
1
an 1
2(2n an) 1 3
解法：只需构造数列 bn ，消去 f n 带来的差异．
令 bn
2 n a n ，则 bn 1
2
bn 1
bn
3
,应用例 7 解法得：
2n 3 2( )
3
例 6． 设数列 a n ： a1 4, an 3an 1 2n 1, (n 2) ，求 a n .
an
所以
an
，利用累乘法 (逐商相乘法 )求解。
例 5. 已知数列
an
a1
满足
2 an 1
3，
n n 1 an ，求 a n 。
an 1 解析 ：由条件知 an
n n 1，分别令 n 1,2,3,
, (n 1) ，代入上式得 ( n 1) 个等式累乘之，即
a2 a3 a4 a1 a2 a3
an 1 2 3 an 1 2 3 4
题型 2.定义法求通项
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例 2．等差数列 a n 是递增数列，前 n 项和为 Sn ，且 a1 ,a 3, a 9成等比数列， S5
a
2 5
．求数列
an 的通项
公式 .
题型 3.应用 Sn 与 an 的关系求通项 例 3. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn 2an ( 1) n , n 1 ．求数列 a n 的通项公式 .
类型 5 递推公式为 an 2 pan 1 qa n （其中 p， q 均为常数） 。
解法：先把原递推公式转化为 a n 2 san 1 t (an 1 san )
st p 其中 s， t 满足 st q ，再应用前面类型 3 的方法求解。
例 8. 已知数列 a n 中， a1 1 , a2
2, an 2
n1 n
an 1 a1 n
a1 2
an 2
又
3，
3n
点评 ：由 an 1 f (n )an 和 a1 确定的递推数列 a n 的通项可如下求得：
由已知递推式有 an f (n 1)a n 1 ， a n 1 f (n 2) an 2 ，
， a2 f (1)a1 依次向前代入，得
an f (n 1) f (n 2) f (1)a1 ，
∵ d 0，
∴ a1 d ………………………………①
∵ S5 a52
5a1
54 d
( a1
4d) 2
∴
2
…………②
3
3
3
33
a1
d
an
( n 1)
n
由①②得：
5， 5∴
5
55
题型 3.应用 Sn 与 an 的关系求通项
有些数列给出 { an } 的前 n 项和 Sn 与 an 的关系式 Sn = f (an ) ，利用该式写出 Sn 1 f (an 1) ，两式做差，再
s1 1
t 3 （也可选用
1 s
3
t1
an 2
），则
an 1
1 ( an 1 an )
3
a n 1 an 是以首项为
a 2 a1 1 ， 公 比 为
1
an 1 an ( 1)n 1
3 的 等比数 列,所以
3 ,应用类 型 1 的 方法，分别 令
n 1,2,3, , (n 1) ， 代 入 上 式 得 ( n 1) 个 等 式 累 加 之 ， 即
例 8. 已知数列 a n 中， a1 1 , a2
2, an 2
2
1
an 1 3
3 an ，求 a n 。
an 2
解析 ：由
2 an 1
3
1
an 3 可转化为
an 2
san 1
t(an 1
san )
即 a n 2 (s t )a n 1 stan
2 st
3 1 st 3
s1
1
s
t
1
3
3或 t 1
这里不妨选用
an qn
），得：
bn 1
p1
bn
q
q 再应用类型 3 的方法解决。
类型 5 递推公式为 an 2 pan 1 qa n （其中 p， q 均为常数） 。
解法：先把原递推公式转化为 a n 2 san 1 t (an 1 san )
st p 其中 s， t 满足 st q ，再应用前面类型 3 的方法求解。
题型 1.观察法求通项
数列通项的求法
1 1 5 13 29 61 例 1. 已知数列 2 ， 4 ， 8 ， 16 ， 32 ， 64 ，…．写出数列的一个通项公式． ．
类型 3.递推式： an 1 pan f n
解法：
例 6． 设数列 a n ： a1 4,a n 3an 1 2n 1,(n 2) ，求 a n .
bn 2n
3( 1 )n 2(1) n
2
3
解析 ：设 bn a n An B， 则 a n bn An B ，将 a n , a n 1代入递推式，得
bn An B 3 bn 1 A(n 1) B 2n 1 3bn 1 (3A 2)n (3B 3A 1)
A 3A 2 B 3B 3 A 1
A1 B1
取 bn an n 1 …（１）则 bn 3bn 1 ,又 b1 6 ，故 bn 6 3 n 1 2 3 n 代入（１）得 an 2 3n n 1
(a2 a1) (a3 a2 ) (a4 a3 )
(a n an 1 )
(1 1 ) ( 1 1) (1 1) 2 23 34
( 1 1) n1 n
1
an a1 1
所以
n
1
1
1 31
a1
an
1
2，
2
n 2n
类型 2 递推公式为 an 1 f (n )an
an 1 f ( n)
解法：把原递推公式转化为
并且 (n
1)a
2 n
1
nan2
an 1an
0( n 1,2,3,
) ，则它的通项公式 an
＝
．
4. 若 { an} 中 , a1
3, 且 an 1
a
2 n
(
n 是正整数
),
则数列的通项公式
an ＝
．
三、解答题
5. 已知数列 a n 前 n 项和 Sn
4 an
1 2 n 2 .（1）求 an 1 与 an 的关系；（ 2）求通项公式 an .
利用 an 1 Sn 1 Sn 导出 an 1 与 an 的递推式，从而求出 an 。
例 3. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn 2an ( 1) n , n 1 ．求数列 a n 的通项公式 .
解析 ：由 a1 S1 2 a1 1 a1 1
当 n 2 时，有 a n S n Sn 1 2( an a n 1 )
a n a1 ( 1 )0 ( 1 )1
3
3
( 1)n 2 3
1 ( 1)n 1 3 1
1 3
又
a1 1 ，所以 a n
7 4
3 (
1)n 1
43 .
点评： 已知数列的递推公式求其通项公式，应用到的方法非常多，关键是要分析清楚所给出的递推公式形
式，然后选择合理的变形 .
题型 5.待定系数法求通项
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求
存在？
通项公式的求法同步练习
1. 已知数列 { an} 满足 a1 1 ， an
an2 1 1 （ n N , ２≤ n ≤８），则它的通项公式 an ＝
．
2. 已知数列 { an} 满足 a1 1 ， an a1 2a2 3a3
(n 1)an 1（ n ≥ 2），则 an ＝
．
3. 已知 { an} 是首项为１的正项数列，
n1
0
an ( f (k ))a1 (n 1, f (k ) 1)
简记为
k1
k1
，这就是叠（迭）代法的基本模式。
例 7. 已知数列
an
a1
中，
5 an 1
6,
1 an
3
(1)n 2
1
，求
an 。
类型 3.递推式： an 1 pa n f n
an 1
解析： 在
1 an 3
(1)n 1 2 两边乘以
2n
2
1
an 1 3
3 an ，求 a n 。
题型 5.待定系数法求通项
例 9.已知数列 { an} 满足 an 1 2an 3 5 n， a1 6 ，求数列 an 的通项公式。
（ 1）若 a1 5, 求 an ; （ 2）若 a1 3, 求 a n; （ 3）若 a1 6, 求 an ;（ 4）当 a1 取哪些值时，无穷数列 { a n} 不
类型 4 递推公式为 an 1 pan
其中 p， q, r 均为常数）
q
n
（其中
p，q 均为常数， ( pq( p
1)( q
1)
0) ）。 （或 an 1
pan
rq n
,
解法：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以
an 1 p an 1
qn
1
，得：
qn
1
q qn
q
bn 引入辅助数列 bn （其中
类型 4 递推公式为 an 1 pan q n
（或 an 1 pan rq n ,其中 p， q, r 均为常数）
解法：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以
an 1 p an 1
n1
q ，得：
n
q
1
n
qq
q
bn 引入辅助数列 bn （其中
an
n
bn 1
q ），得：
p1
bn
解法：把原递推公式转化为 a n 1 a n f (n) ，利用累加法 ( 逐差相加法 ) 求解。
1
1
例 4. 已知数列
an
a1
满足
an 1 2，
an
n2
n ，求 a n 。
1
1
11
a n 1 an
解析： 由条件知：
n2 n
n(n 1)
n
n1
分 别 令 n 1,2,3, ,( n 1) ， 代 入 上 式 得 (n 1) 个 等 式 累 加 之 ， 即
an 2an 1 2 ( 1)n 1,
a n 1 2 an 2 2 ( 1) n 2 , ……， a2 2a1
an 2n 1a1 2n 1 ( 1) 2n 2 ( 1)2
2 ( 1)n 1
2n 1 ( 1)n[( 2)n 1 ( 2)n 2
( 2)]
2 ( 1) n, 2.
2n 1 ( 1)n 2[1 ( 2)n 1] 3
点评：（ 1）若 f (n) 为 n 的二次式，则可设 bn an An2 Bn C ;(2) 本题也可由
a n 3a n 1 2n 1 , a n 1 3a n 2 2( n 1) 1 （ n 3 ） 两 式 相 减 得
a n a n 1 3(a n 1 a n 2 ) 2 转化为 bn pbn 1 q 求之 .
8. 已知数列 a n 满足 a1 a, a 2 b,3an 2 5an 1 2an 0(n 0, n N ) ，求数列 a n 的通项公式。
9. 已知数列 { a n } 满足：对于 n
N , 都有 a n 1
13a n
25 .
an 3
题型 1.观察法求通项
数列通项的求法答案
1 1 5 13 29 61 例 1. 已知数列 2 ， 4 ， 8 ， 16 ， 32 ， 64 ，…．写出数列的一个通项公式．
q
q 再应用类型 3 的方法解决。
例 7. 已知数列
an
a1
中，
5 an 1
6,
1 an
3
(1)n 2
1
，求
an 。
题型 4.利用递推公式求通项 类型 1 递推公式为 a n 1 an f (n ) 解法：利用恒等式 an ( an a n 1) (a n 1 an 2 )
通项公式的方法称为累加法 . 累加相消法是求形如 a n an 1 f (n )
1
பைடு நூலகம்
1
例 4. 已知数列
an
a1
满足
an 1 2，
an
n 2 n ，求 a n 。
(a 2 a1 ) a1 求
类型 2 递推公式为 an 1
f (n) an
解法：利用恒等式 an
an an 1
an 1 an 2
相消法 .
例 5. 已知数列
an
a1
满足
2 an 1
3，
n
n
an 1 ，求
an 。
a 2 a1 求通项公式的方法称为累乘 a1