高中数学判断函数奇偶性应注意的问题学法指导

判断函数奇偶性应注意的问题
代红芳
一般地，如果对于函数()x f 的定义域内的任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为这一定义域内的偶函数，一般地，如果对于函数()x f 的定义域内的任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为这一定义域内的奇函数。

为理解定义，在学习时应注意以下两点：
1. 定义中要求“对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-或()()x f x f -=-”成立，可见()x f -必有意义，即x -也必属于()x f 的定义域，于是奇偶函数的定义域应是一个在数轴上表示为关于原点对称的点集，也就是说，若一个函数的定义域不关于原点对称，则此函数一定不是奇函数也不是偶函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇偶函数的必要不充分条件。

2. 定义中的等式()()x f x f -=-（或()()x f x f =-）是定义域上的恒等式，即对定义域内
所有的x 成立而不是仅对部分x 成立。

如函数()()()⎩
⎨⎧>+≤=,1|x |1x ,1|x |1x f 当1|x |≤时，都有()x f -()x f =，但它并不是偶函数，显然2x =时，()3x f =，而当2x -=时，()1x f -=，两者并不相等。

由上可知利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，关键看两点：（1）定义域是否关于原点对称；（2）关系式()()x f x f =-，()()x f x f -=-哪个成立。

判断函数奇偶性具体步骤如下：先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，则有成为奇偶函数的可能，此时，若()()x f x f =-成立，则为偶函数；若()()x f x f -=-成立，则为奇函数；若()()x f x f ±=-成立，则既是奇函数也是偶函数；若()()x f x f =-和()()x f x f -=-都不成立，则为非奇非偶函数。

下面就判断函数奇偶性应注意的问题，列举几个方面。

一、忽视定义域出错。

例1. 判断下列各函数是否具有奇偶性。

（1）()2
x x f =，]2,2(x -∈；（2）()1
x x x x f 2--=；（3）()22x 11x x f -+-=。

错解：（1）为偶函数。

（2）因为()x x f =，所以为奇函数。

（3）为偶函数。

正解：（1）显然该函数的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数。

（2）可求得定义域为{}1x R x |x ≠∈且，其定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数。

（3）函数的定义域为{}1,1-，()01f =，()01f =-，即()0x f =，所以既是奇函数也是偶函数。

二、若()x f 的定义域关于原点对称，当表达式较复杂时，化简后再按定义进行判断。

例2. 判断函数()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x 1x lg x 1x lg x f 22的奇偶性。

错解：()x f 的定义域是R ，当R x ∈时，有R x ∈-。

()()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=-x 1x lg x 1x lg x f 22
=()x f x 1x lg x 1x lg 22=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+。

∴()x f 是偶函数。

正解：()x f 的定义域是R ，当R x ∈时，有R x ∈-。

()01lg x 1x lg x 1x lg x 1x lg x f 22222==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=。

由()()x f 0x f ==-且()()x f 0x f -=-=-，知()x f 既是奇函数也是偶函数。

三、若()x f 的定义域关于原点对称，当()x f 的表达式较为复杂且不易化简时，直接判断()()x f x f ±=-不容易，这时可等价地验证()()0x f x f =±-，或当()0x f ≠时，验证()()
1x f x f ±=-是否成立。

例3. 判断函数()⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=1x x lg x f 2的奇偶性。

错解：易知()x f 的定义域是R ，当R x ∈时，有R x ∈-。

()⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=1x x lg x f 2。

① ()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+-=-1x x lg 1x x lg x f 22② ∴()()x f x f ≠-且()()x f x f -≠-，知()x f 为非奇非偶函数。

正解：()x f 的定义域是R ，当R x ∈时，有R x ∈-。

由()()x f x 1x lg 1x x lg x f 22-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-，知()x f 为奇函数。

或者，()x f 的定义域是R ，当R x ∈时，有R x ∈-。

由()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+x 1x lg x 1x lg x f x f 22 01lg x 1x x 1x lg 22==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=，知()x f 为奇函数。

四、函数为分段函数，若定义域关于原点对称，再分段判断是否成立。

例4. 判断函数()()()
⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0x x ,0x x x f 22的奇偶性。

解：()()0f 00f 2-==。

当>x 0，即0x <-时，有()()()x f x x x f 22
-=-=--=-； 当0x <，即0x >-时，有()()()
()x f x x x f 22-=--=-=-。

∴总有()()x f x f -=-，知()x f 为奇函数。

感悟与提高
1. 设()x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[∞+上递减，则使函数()2x 1f -为增函数的区间是（ ）
A. []1,1-
B. ()1,-∞-或),1[∞+
C. ]1,(--∞或[]1,0
D. []0,1-或),1[∞+ 2. 设()x f 是R 上的奇函数，且满足()()x f 2x f -=+，下面是关于()x f 的判断：①()x f 的图象成中心对称，原点是它的对称中心，②()x f 的图象成轴对称，直线1x =是它的对称轴，
③()x f 是周期函数，4是它的一个周期，④当1x 0≤≤时，()x x f =，则()88f =，其中正确判断的个数有（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 答案提示：1. 取特殊函数()|x |x f -=，则()|x 1|x 1f 22--=-，由图象知()
2x 1f -的递增区间为]1,(--∞或[]1,0，选C 。

2. ①②③正确，选C 。