2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中
数学试题
一、单选题
1．如果0,0a b <>,那么下列不等式中正确的是( )
A ．
11a b
< B <C ．22a b <
D ．a b >
【答案】A
【解析】根据已知条件分别对A 、B 、C 、D ，四个选项利用特殊值代入进行求解． 【详解】
A 、如果a ＜0，b ＞0，那么
1100a b ＜，＞，∴11
a b
＜，故A 正确；
B 、取a ＝﹣2，b ＝1，故B 错误；
C 、取a ＝﹣2，b ＝1，可得a 2＞b 2，故C 错误；
D 、取a 1
2
=-，b ＝1，可得|a |＜|b |，故D 错误； 故选A ． 【点睛】
此题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，此题是一道基础题． 2．下列说法正确的是（ ） A ．棱柱的底面一定是平行四边形
B ．底面是矩形的平行六面体是长方体
C ．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
D ．棱锥的底面一定是三角形 【答案】C
【解析】直接利用几何体的定义的应用求出结果． 【详解】
解：对于选项A ，棱柱的底面为任意的四边形即可，故错误． 对于选项B ，底面是矩形的直平行六面体才是长方体，故错误． 对于选项D ，三棱锥的底面一定是三角形，故错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识要点：几何体的定义的应用，主要考察学生的空间想象能力和转换能力，属于基础题型．
3．在ABC ∆中，a =b =45B ∠=︒，则A ∠为( )．
A ．30°或150︒
B ．60︒或120︒
C ．60︒
D ．30°
【答案】B
【解析】运用正弦定理解角的度数 【详解】 由正弦定理可得：
sin sin a b
A B =
sin sin a B
A b
∴=
==
0135A <<︒Q ， 60A ∴∠=︒或120A ∠=︒
故选B 【点睛】
本题主要考查了运用正弦定理求角的度数，较为简单，注意可以取到两个角。

4．已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++= ,则()28cos a a +的值为（ ） A ．-
12
B
．-
C ．
12
D
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d ，利用{a n }为等差数列，a 1+a 5+a 9=8π，可得3a 1+12d=8π，从而可求a 2+a 8，进而可求cos （a 2+a 8）的值． 【详解】
设等差数列的公差为d ， ∵{a n }为等差数列，a 1+a 5+a 9=8π，
∴3a 1+12d=8π，28118162824233
a a a d a d ππ
∴+=+=+=⋅=（
） ， ∴cos （a 2+a 8）=cos 163
π=cos 23π
=- 12．
故选A.． 【点睛】
本题考查等差数列的通项，考查特殊角的三角函数值，考查学生的计算能力，属于中档题．
5．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍
C
倍
D ．2倍
【答案】D
【解析】由题意，求出圆锥的底面面积，侧面面积，即可得到比值． 【详解】
圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r ，则它的底面积为πr 2； 圆锥的侧面积为：12
⨯2r π•2r ＝2πr 2； 圆锥的侧面积是底面积的2倍． 故选D ． 【点睛】
本题是基础题，考查圆锥的特征，底面面积，侧面积的求法，考查计算能力． 6．某组合体的三视图如下，则它的体积是（ ）
A ．
3
33
a π+ B ．
3
712a π C ．
3
31612
a π+ D ．
373
a π 【答案】A
【解析】试题分析：3
2
13
V a a a π=+=3
33
a π+，故选A ． 【考点】1、三视图；2、体积．
【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型．应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握锥体和柱体的体积公式． 7．若1x >，则有()4
1
f x x x =+-有（ ）. A ．最小值5 B ．最大值5
C ．最小值5-
D ．最大值5-
【答案】A
【解析】直接利用基本不等式求解函数的最值即可． 【详解】
解：1x >Q ，则444
()112(1)15111
f x x x x x x x =+
=-++-⋅=---…，当且仅当411
x x -=
-即3x =时取等号．
故函数有最小值()()min 35f x f == 故选：A ． 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 8．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
【答案】C
【解析】【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10．再利用对数的运算性质即可得出．
解：∵数列{a n }是等比数列，a 4=2，a 5=5， ∴a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5=10． ∴lga 1+lga 2+…+lga 8 =lg （a 1a 2…×a 8） =
=4lg10 =4． 故选C ．
【考点】等比数列的前n 项和．
9．在ABC V 中，若cos cos a B b A
=，则ABC V 是（ ）. A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰或直角三
角形 【答案】D
【解析】在ABC ∆中，利用正弦定理与二倍角的正弦可得sin 2sin 2A B =，再利用正弦函数的性质及诱导公式可得A B =或2
A B π
+=，从而可得答案．
【详解】
解：在ABC ∆中，Q
sin cos sin cos a A B
b B A
==， ∴
11
sin 2sin 222
A B =， 22A B ∴=或22A B π=-，
A B ∴=或2
A B π
+=
，
ABC ∆∴为等腰或直角三角形，
故选：D ． 【点睛】
本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦及诱导公式的应用，属于中档题．
10．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( ) A ．33个 B ．65个 C ．66个 D ．129个
【答案】B
【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数量为{}n a ，则11
2
21n n a a a +=⎧⎨=-⎩，
即
11
2,1
n n a a +-=∴-数列{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，
11112,21n n n n a a --∴-=⨯=+，故6小时后细胞的存活数是7172165a -=+=，故选
B.
11．在ABC ∆中，若角A B C ，，所对的三边a b c ，，成等差数列，给出下列结论：
①2
b a
c ≥；②222
2
a c
b +≥；③112a
c b +<；④03B π<≤.
其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③
C ．③④
D ．①④
【答案】D
【解析】
试题分析：因为2b a c =+≥，所以①正确；当2,3,4a b c ===时可验证②③均不成立；
222222()232321
cos 22222a c b a c b ac b ac ac ac B ac ac ac ac +-+----===≥=，所以
03
B π
<≤
，所以④正确；故选D.
【考点】等差数列性质、基本不等式、余弦定理.
12．设△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，则sin sin B
A
的取值范围是（ ）
A ．(0,)+∞
B ．510,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．5151,22⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．51,2⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】【详解】试题分析： 根据,,a b c 成等比数列,有,
根据正弦定理有,
根据三角形三边关系
,有.
所以,即
.消掉得2
22230b c b c ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
p .
化简得：
，同时除以
，可得
，
所以解得.则
【考点】等比中项,正弦定理,三角形三边关系
二、填空题 13．不等式
1
12
x x ->+的解集是 ． 【答案】{}|2x x <- 【解析】113
1100202222
x x x x x x x --->⇒->⇒>∴+<⇒<-+++Q ．
14．数列{}n a 满足12a =，111n
n n
a a a ++=-，则2019a =______. 【答案】12
-
【解析】由首项，利用递推公式求出第二、三、四、五项，可得{}n a 是周期为4的数列，从而可得结论. 【详解】
由12a =，1
11n
n n
a a
a ++=
-， 得23a =-，312
a =-
，41
3a =，52a =，
∴{}n a 是周期为4的数列， 因为201950443=⨯+， 所以201931
2
a a ==-. 故答案为：12
-. 【点睛】
本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
15．已知水平放置的ABC V 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中
1B O C O ''''==，3
2
A O ''=
，则原ABC V 的面积为______.
【答案】3
【解析】根据直观图画出原图，再根据三角形面积公式计算可得. 【详解】
解：依题意得到直观图的原图如下：
且1BO CO ==
，2
22A O AO '='⨯==
所以11
222
ABC S BC AO ∆=
⋅=⨯=
【点睛】
本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属于基础题． 16．给出下列五个结论:
①已知ABC V 中，三边a ，b ，c 满足()()3a b c a b c ab +++-=，则C ∠等于120︒.
②若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则三点1010,10S ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，100100,100S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，110110,110S ⎛⎫ ⎪⎝
⎭共
线.
③等差数列{}n a 中，若1030S =，20100S =，则30210S =. ④设(
)f x =
，则()()()()()87089f f f f f -+-+++++L L
的值为2
.其中，结论正确的是______.(将所有正确结论的序号都写上) 【答案】②③④
【解析】利用余弦定理可判断①；根据斜率公式及等差数列前n 项和公式可判断②；根据等差数列片段和的性质可判断③
；可证()(1)f x f x +-④. 【详解】
解：①由()()3a b c a b c ab +++-=，得到22
()3a b c ab +-=，化简得：
222a b c ab +-=，
则2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，根据(0,180)C ∈︒，得到60C ∠=°，所以此选项
错误； ②因为1101109
109210
102
a d
S a d ⨯+
=
=+，同理1001991002S a d =+，11011091102
S a d =+， 则100101
1999221001010010902
S S a d a d d ⎛⎫⎛⎫
+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-，
110100111099922110100110100102
S S a d a d d ⎛⎫⎛⎫
+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==- 所以三点1010,
10S ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，100100,100S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，110110,110S ⎛⎫
⎪⎝⎭
共线．此选项正确；
③根据等差数列的性质可知，10S ，1200S S -，3020S S -成等差数列，
得到：20101030202()()S S S S S -=+-，将1030S =，20100S =， 代入得：302(10030)30(100)S -=+-，解得：30210S =．此选项正确； ④
因为()(1)f x f x +-
x x ==
2
x x ==
=
则()()()()(
)87092892
f f f f f +=+-+-+++=
L L 所以，正确的结论序号有：②③④． 故答案为：②③④ 【点睛】
此题考查学生灵活运用等差数列的性质及余弦定理化简求值，灵活运用等差数列的前n 项和的公式化简求值，利用归纳总结找规律的方法求函数的值，属于中档题．
三、解答题
17．若不等式()2
1460a x x --+>的解集是{}
31x x -<<.
（1）解不等式()2
220x a x a +-->；
（2）当230ax bx ++≥的解集为R 时，求b 的取值范围. 【答案】（1）3
12x x x ⎧⎫>
<-⎨⎬⎩⎭
或（2）[]6,6- 【解析】（1）由不等式2
(1)460a x x --+>的解集是{|31}x x -<<，利用根与系数关系列式求出a 的值，把a 代入不等式2
2(2)0x a x a +-->后直接利用因式分解法求
解；
（2）代入a 得值后，由不等式对应的方程的判别式小于等于0列式求解b 的取值范围．
【详解】
解：（1）因为不等式()2
1460a x x --+>的解集是{}
31x x -<<
，
所以10a -<，且3-和1是方程()2
1460a x x --+=的两根，
由根与系数关系得43116311a
a ⎧
-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=⎪-⎩
，解得3a =，
则不等式()2
220x a x a +-->，即为2230x x -->，所以()()2310x x -+>，解
得32x >
或1x <-，所以不等式()2
220x a x a +-->的解集为3{|2
x x >或1}x <-. （2）由（1）知3a =，不等式230ax bx ++≥，即为2330x bx ++≥，因为不等式
2330x bx ++≥的解集为R ，则不等式2330x bx ++≥恒成立，
所以24330b ∆=-⨯⨯≤，解得66b -≤≤，所以b 的取值范围为[]
6,6-. 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．
18．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°．开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？ 【答案】15千米
【解析】画出示意图如图，设汽车前进20千米后到达B 处．在△ABC 中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理的推论得，
，则，
，所以sin ∠MAC=sin （120°−C ）=sin120°cosC –cos120°sinC=．
在△MAC 中，由正弦定理得
，从而有MB=MC−BC=15．
所以汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站．
【考点】利用正、余弦定理求距离．
19．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和为n S .
【答案】（1）12n n a -=，21n b n =-（2）证明见解析
【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）有1(21)2n n
c n -=-，利用错位相减法即可得出． 【详解】
解：（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，等差数列{}n b 的公差为d ；
则111n n n a a q q --==，()()1111n b b n d n d =+-=+-，
则()24222317
d d q q d ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得22q d =⎧⎨=⎩或22q d =-⎧⎨=⎩， 因为等比数列各项均为正数，所以2q =-要舍去，
所以22
q d =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=，21n b n =-. （2）由（1）知()1221n n c n -=-，
()0121212325221n n S n -∴=⨯+⨯+⨯++-L ①，
()1232212325221n n S n =⨯+⨯+⨯++-L ②，
①减②得
()()
()
1234122122222112211n n n n n n S S n n -⨯--=++++--=+---L ()3223n n =-⋅-，
所以()2323n
n S n =-+. 【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
cos cos )cos 0(C A A B +=.
(1)求角B 的大小；
(2)若1a c +=，求b 的取值范围．
【答案】（1）3
π；（2）1[,1)2 【解析】（1）用诱导公式化cos C 为cos()A B -+，然后展开即易求解B ；
（2）用余弦定理把b 表示为,a c 关系式，然后应用基本不等式求出b 的一个范围，最后还要注意三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这个性质．
【详解】
（1）∵cos cos )cos 0(C A A B +=，
∴cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，
即cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B A B A B -++=，
∵sin 0A ≠，∴tan B =∴3B π
=．
（2）222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-22()313()2
a c a c ac +=+-≥-⨯ 21113()24
=-⨯=， ∴12
b ≥，又1b a
c <+=， ∴b 的取值范围是1[,1)2
． 【点睛】
本题考查余弦定理，考查两角和的余弦公式、诱导公式，同角间的三角函数关系等．本题解题关键是用诱导公式化cos cos()C A B =-+，然后用两角和的余弦公式展开后可求得B 角，如果不这样变形，解题将无法进行．这就要求我们如何去确定使用哪个公式，本题中由于条件只有一个，而有三个角，因此可想到用诱导公式减少一个角，把已知式变为两个角的关系，从而才能求解．
n （2）求数列{}n a 的通项公式。

【答案】（1）1；（2）21n n a =-（*n N ∈）
【解析】分析：（1）由2n n S n a +=
可得121n n a a -=+，∴a 2=3，a 3=7，依题意，得（3+t ）2=（1+t ）（7+t ），解得t=1；
（2）由（1），知当n≥2时，()1121n n a a -+=+，即数列{a n +1}是以2为首项，2为公
比的等比数列，得11222n n n a -+=⨯=，即可求通项．
详解：（1）当1n =时，由1111122
S a a ++==，得11a =． 当2n ≥时，()11221n n n n n a S S a n a n --=-=--+-，
即121n n a a -=+，
∴23a =，37a =．
依题意，得()()()2
317t t t +=++，解得1t =，
当1t =时，()1121n n a a -+=+，2n ≥，
即{}1n a +为等比数列成立，
故实数t 的值为1；
（2）由（1），知当2n ≥时，()1121n n a a -+=+，
又因为112a +=，
所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以11222n n n a -+=⨯=，
∴21n n a =-（*n N ∈）. 点睛：（1）证明数列为等比数列时，常运用等比数列的定义去证明，在证明过程中，容易忽视验证首项不为零这一步骤。

（2）数列通项的求法方法多样，解题时要根据数列通项公式的特点去选择。

常用的方法有：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、取倒数等。

n （2）设()()1
2927n n n c a a =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式2019
n k T >对一切n *∈N 都成立的正整数k 的最大值.
（3）设()()()
21,313,2,n n a n k k f n a n k k **⎧=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩N N ，是否存在m *∈N ，使得()()155f m f m +=成立?若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）()4n a n n *=+∈N （2）672（3）不存在，理由见解析
【解析】（1）由数列的递推式，计算可得所求通项公式；
（2）求得11111(29)(27)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭
，运用裂项相消求和可得n T ，判断n T 的单调性，可得最小值，即可得到k 的最大值；
（3）讨论m 为奇数或偶数，假设存在m ，计算可判断是否存在．
【详解】
解：（1）因为()21922
n S n n n *=+∈N ，所以()142n n n a S S n n -=-=+≥，又因为115a S ==满足上式，所以()4n a n n *=+∈N .
（2）由（1）可知()()1111212122121n c n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111123352121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭
⎝⎭L ，显然n T 随着n 的增大而增大，故n T 的最小值为113
T =，由120193k <可得max 672k =. （3）结论：不存在满足条件的m .
理由如下:①当m 为奇数时15m +为偶数，则()()155f m f m +=，即
153135m m a a +-=，所以()()31541344m m ++-=+，解得12m =，矛盾. ②当m 为偶数时15m +为奇数，则()()155f m f m +=，即()155313m m a a +=-，所以()15453413m m ++=+-⎡⎤⎣⎦，解得127
m =，矛盾.综上所述，不存在满足条件的m .
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，以及数列的裂项相消求和，考查分类讨论思想和不等式恒成立思想的解法，考查化简变形能力，属于中档题．。