人教新课标版数学高一B版必修1素材 预习学案 3.3幂函数

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1．幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数．
思考1 一次函数和二次函数都是幂函数吗？
提示：不一定，例如，y＝x＋1，y＝x2＋1分别为一次函数和二次函数，但它们都不是幂函数．
思考2 函数y＝1是幂函数吗？
提示：不是，虽然y＝x0与y＝1差别不大，但是其定义域不同，幂函数y＝x0需要x≠0，但y＝1的定义域为R.
2．函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
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x，y＝x－1的图象与性质
提示：对幂函数y＝xα而言，当x>0时，必有y>0，故幂函数的图象不过第四象限．思考4(1)在幂函数y＝xα中，如果α是正偶数(α＝2n，n为非零自然数)，如α＝2,4,6，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(2)在幂函数y＝xα中，如果α是正奇数(α＝2n－1，n为非零自然数)，如α＝1,3,5，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(3)幂函数y＝xα，x∈[0，＋∞)，α>1与0<α<1的图象有何不同？
提示：(1)重要性质：①定义域为R，图象都经过(－1,1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数；③函数在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数．
(2)重要性质：①定义域、值域为R，图象都过(－1，－1)，(0,0)，(1,1)三点；②函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数；③函数在R上是增函数．
(3)两者图象的区别和联系：无论α>1还是0<α<1，函数y＝xα在[0，＋∞)上都是增函数，但在[0,1]上前者比后者增得慢，在(1，＋∞)上前者比后者增得快．。