北大附中高三数学提高练习9

北大附中2010届高三数学提高练习（9）
班级______姓名___________
1．从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为（ ）
A ．42
B ．30
C ．72
D ．60
2．若函数()'()()y f x f x f x =>满足，则当0,()(0)a a f a e f >时与之间大小关系为（ ）
A ．()(0)a f a e f <
B ．()(0)a f a e f >
C ．()(0)a f a e f =
D ．与()f x 或a 有关，不能确定
3．已知圆Γ：22(4)(3)25x y -+-=，过圆Γ内定点P （2，1）作两条相互垂直的弦AC 和
BD ，那么四边形ABCD 面积最大值为（ ）
A ．21
B ．
C ．212
D ．42 4．在ABC ∆中，||3,||4,||5AB AC BC ===，O 为ABC ∆的内心，且,AO AB BC λμ=+则
λμ+ = .
5．已知ABC ∆内接于椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，且ABC ∆的重心G 落在坐标原点O ，则ABC ∆的面积等于 .
6．已知椭圆C 的两个焦点分别为12F F 和，且点(A B 在椭圆C 上，又1(F .
（1）求焦点F 2的轨迹Γ的方程；
（2）若直线(0)y kx b k =+>与曲线Γ交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆经过原点，
求实数b 的取值范围.
7．设函数1()(01)ln f x x x x x
=>≠且 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。

8.在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同时
满足①0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB = ||MC ③GM ∥AB
（1）求顶点C 的轨迹E 的方程
（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F 0） ，已知PF ∥FQ , RF ∥FN 且PF ·RF = 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.
体会与反思
参考答案：
1．A 2．B 3．D 4．
56 5
6．解：（1）1212AF AF BF BF +=+ 2211642AF BF BF AF ∴-=-=-=
故轨迹F 为以A 、B 为焦点的双曲线的右支. 设其方程为：22
221(0,0,0)x y a b x a b
-=>>> 22222,1,4a a b c a =∴==-=. 故轨迹方程为2
21(0)4
y x x -=>. （2）由2
21(0)4y x x y y kx b ⎧-=>⎪⎨⎪=+⎩消去整理得 方程222(4)2(4)0k x kbx b ---+=有两个正根12,x x .
2222221212244(4)(4)0 (1)40 (2)420 (3)4k b k b b x x k kb x x k ⎧∆=+-+>⎪⎪+⎪∴=>⎨-⎪-⎪+=>⎪-⎩
设1122(,),(,)M x y N x y ，由条件知12120x x y y +=.
而2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++
221212(1)()0k x x kb x x b ∴++++= 即2222
222(1)(4)2044
k b k b b k k ++-+=-- 整理得2234(1)b k =+，即224(1) (4)3
b k =+ 由（1）知2240b k -+>，即224(1)403
k k +-+>显然成立. 由（2）、（3）知240k kb ⎧>⎨<⎩
而0,0k b >∴<. 224420(1)(41)333b k ∴=+>+
=3
b ∴<=-. 故b
的取值范围为,⎛-∞ ⎝
⎭ 7． (1) '22ln 1(),ln x f x x x +=-若 '()0,f x = 则 1x e
= 列表如下
(2) 在 1
2a x x > 两边取对数, 得 1ln 2ln a x x
>,由于01,x <<所以 1ln 2ln a x x
> (1) 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时,
1()()f x f e e
≤=-, 为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2
a e >-,即ln 2a e >- 8.解：（1）设C ( x , y )， 2GA GB GO +=,由①知2GC GO =-,∴G 为△ABC 的重心 ， ∴ G(
3x ,3y
) 由②知M 是△ABC 的外心，∴M 在x 轴上。

由③知M （3
x ，0）， 由|| ||MC MA =
=化简整理得：2213
x y +=（x ≠0 ） （2
）F （
0 ）恰为2
213
x y +=的右焦点 设PQ 的斜率为k ≠0且k ≠±2
，则直线PQ 的方程为y = k ( x 由222222((31)63033
0y k x k x x k x y ⎧=⎪⇒+-+-=⎨+-=⎪⎩ 设P(x 1 , y 1) ，Q (x 2 ,y 2 ) 则
x 1 + x 2 = 2
2
31
k + , x 1·x 2 =22
6331k k -+ 则
·
=
221)31k k ++ RN ⊥PQ,把k 换成1k -得 | RN | = ∴S =12| PQ | · | RN | =22226(1)(31)(3)k k k +++ =228213()10k k
-++) 22183()102k k S ∴++=- 221k k +≥2 ， 82S
∴-≥16， 32
∴≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号) 又当k 不存在或k = 0时S = 2 综上可得 32 ≤ S ≤ 2， ∴S max = 2 ， S min = 32 -7-。