集合、简易逻辑

第1章 集合、简易逻辑 1.1 集合及其运算
集合是数学最重要的基础知识之一，高考对集合的考查基本上体现在概念、运算以及简单的运用上．但是集合又是数学解题的一种重要工具，它与函数、方程、不等式、三角函数、向量、数列、解析几何等知识密切联系，因此在高中数学中占有非常重要的地位，
题型1 考查集合中元素的性质
例1已知某集合含有三个元素，可以表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，也可以表示为{}
0,,2
b a a +，则
=+20152015b a
【知识、方法储备】 （1）集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性；（2）“0”的任何次方（除0外）等于0；（3） -1的偶次方为1，奇次方为-1．
题型2 考查集合中元素的一般形式
例2（山东卷理科） 设集合{}
21<-=x x A ，[]{}
2,0,2∈==x y y B x
，则=B A
（ ）
A ．[]2,0
B ．()3,1
C ．[)3,1
D ．()4,1
【知识、方法储备】 在运用描述法表示集合时，基本形式为(){}
x f y x =，其中x x 为元素的一般形式，()x f y =为元素的公共属性．
例3 设集合()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=+=134,2
2y x y x A ，{}x y y B 3log ==，则B A 的子集个数为
（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 知识、方法储备】（1）集合运算中充分考虑集合中元素的一般形式；（2）一个集合如果含有n
个元素，那么其子集个数为n
2个；（3）空集是任何集合的子集（包括空集）．
题型3 考查空集是任何集合的子集
例4 设集合{}45≤≤-=x x P ，{}
1312+≤≤-=m x m x Q ，且P Q ⊆，则实数小的取值范围是 ．
【知识、方法储备】 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 例
5 已知三个集合{}
232=+-=x x x A ，{}
1-2=-+=a ax x x B ，
{}
022=+-=bx x x C ，
问同时满足A B ≠
⊂，A C A = 的实数是否存在？若存在a ，b 求出a ，b ；若不存在，请说明理由．
【知识、方法储备】（1）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（2）在集合运算中，A C A C A ⊆⇔= .（3）对于一元二次方程，当0>∆时，方程有两个不相等的实数根；当
0=∆时，方程有两个相等的实数根；当0<∆时，方程没有实数根.
题型4 考查集合与充要条件等的结合
例6(年湖北卷理科)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，C U B C ⊆”是“A B =∅”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【知识、方法储备】(1)若P Q ⇒，则P 是Q 存在的充分条件；同样P Q ⇒，则Q 是P 存在的必要条件；P Q ⇔，则P 和Q 互为充要条件．(2)充分理解集合各种运算的意义．
题型5 考查向量集合的运算
例7(湖北卷理科) 已知()(){}1,00,1,P a a m m R ==+∈，()(){}1,11,1,Q b b n n R ==+-∈是两个向量集合，则P
Q =
( )
A ．(){}1,1
B ．(){}1,1-
C ．(){}1,0
D ．(){}0,1
【知识、方法储备】(1)两个向量集合的交集是这两个集合相等；(2)设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y ±=±±，()()1111,,a x y x y λλλλ==．
题型6 考查集合的基本运算
（高考命题的热点）
1．考查整数集合的运算
例8(全国新课标卷Ⅱ理科) 已知集合{}2,1,0,1,2A =--，()(){}120B x x x =-+<，则A B =
( )
A ．{}1,0-
B ．{}0,1
C ．{}1,0,1-
D ．{}0,1,2
【知识、方法储备】 这类题是全国卷在集合运算中命题的热点，主要是解一元二次不等式以及集合的交运算．
例9(年浙江卷理科)设全集{}
2U x N x =∈≥，集合{}
25A x N x =∈≥，则C U A =
( )
A ．∅
B ．{}2
C ．{}5
D ．{}2,5
【知识、方法储备】(1){}C U A x U x A =∈∉且；(2)一元二次不等式的基本解法． 2．考查解方程与集合运算的结合
例10 设集合{}
220,M x x x x R =+=∈，{}
220,N x x x x R =-=∈，则M N = ( )
【知识、方法储备】 {}M
N x x M x N =∈∈或.
3．考查解不等式与集合运算的结合
例11 (全国新课标卷工理科) 已知集合{}
2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B =
( )
A ．[]2,1--
B ．[]1,1-
C ．[)1,2-
D ．[)1,2
【知识、方法储备】 {}A
B x x A x B =∈∈且.
4．考查求函数的定义域、值域与集合运算的结合 例12 图1.1所示的Venn 图中，M ，N 是非空集合，定义M N *表示阴影部分集合．若,x y R ∈，{}
22M x y x x ==-，{}
3,0x N y y x ==>，则M N *=
( )
图1.1
A ．()2,+∞
B ．[)
()0,12,+∞
C ．[]
()0,12,+∞ D ．[][)0,12,+∞
【知识、方法储备】 (1)解答问题时充分考虑集合中元素的一般形式；(2)准确理解新定义的实质是：M N M N M N *=-.
题型7 考查集合的新概念运算
例13 若x A ∈，且
11A x ∈-，
则称集合A 为“和谐集”．已知集合1122,1,,0,1,,,2,3223M ⎧⎫
=---⎨⎬⎩⎭
，则集合M 的子集中“和谐集”的个数为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【知识、方法储备】 新概念运算属于“高起点，低落点”命题，解答这类命题的关键是准确
理解概念的含义，本题中的解答要点是“若x A ∈，且
1
1A x
∈-”及其循环运算．
题型8 考查集合的运算性质
——容斥原理
例14 某实验班有21个学生参加数学竞赛，17个学生参加物理竞赛，10个学生参加化学竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，问需要预订多少张火车票？
【知识、方法储备】运用容斥原理．
(1)()()()()card A B card A card B card A B =+-（其中()card A 表示有限集A 中所含元素的
个数）；
(2)
()()()()()()()()
card A
B
C card A card B card C card A
B card A
C card B
C card A
B C =++---+；
(3)在解答这类问题时，一般将容斥原理与Venn 图结合运用
题型9 考查集合的综合运算
【知识、方法储备】(1)解答这类命题需要理解三个集合都是平面内的点集；(2)解决问题的关键是将三个集合都要进行合理转化，即都转化到以坐标原点为中心．
1.2 命题及简易逻辑
命题及简易逻辑包含四种命题及其关系、充 分条件与必要条件、简单的逻辑连接词、全称命题与特称命题几部分，在高考试卷中除充分条件与 必要条件的判断外，其他知识点命题的频率不是很高，但是不可能排除不出命题，所以还是必须认真准备，做到有备无患．命题的形式大多以小题出现，有时也会涉及解答题，
题型1 命题的构成形式以及命题
真假的判断
例1 设有两个命题，命题p ：函数()21f x x ax =-++在[)1,+∞上是单调递减函数；命题q ：已知函数()32g x mx nx =+的图像在点()1,2-处的切线恰好与直线21x y +=平行，且()g x 在
[],1a a +上单调递减．若命题p 或q 为真，p 且q 为假，则实数a 的取值范围是 ．
【知识、方法储备】(1)二次函数单调性的判 断方法是既要看开口方向，又要讨论对称轴与区 间的位置；(2)函数在一点处导数的几何意义是函 数在该点处切线的斜率；(3)“命题p 或q 为真，
p 且q 为假”就是p 和q 一真一假．
题型2 四种命题及其相互关系
例2 有下列四个命题：①命题“若1x ≠-，则2230x x --≠”；②命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；③命题“若4
π
θ=
，则tan 1θ=”的否命题；④命题“若0m >，则关于x 的方
程2x x m +-有实根”的逆否命题．其中是真命题的有 （填上你认为正确的命题序号）． 【知识、方法储备】 (1)原命题等价于它的逆否命题，即原命题与它的逆否命题同真假，因此常常采用“正难则反”的解题方法；(2)原命题的真假与它的逆命题、否命题的真假无关．
题型3 充分条件、必要条件的判断
例3（安徽卷理科） “0x <”是“()ln 10x +<”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【知识、方法储备】 对数函数的图像和性质以及充分条件、必要条件的判断方法与技巧．
例4 已知等比数列{}n a ，则p ：123a a a <<是q ：45a a <的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【知识、方法储备】(1)等比数列的定义：如果一个数列从第二项起每一项和它前面一项的比值都等于同一个常数，那么这个数列叫等比数到，这个常数(q)叫等比数列的公比；(2)若p ⇒q ，则p 是q 存在的充分条件，同样可得q 是p 存在的必要条件，
例5(陕西卷理科) “sin cos αα=”是“cos20α=”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【知识、方法储备】 这类题目主要考查余弦 的二倍角公式．
例6(2015年四川卷理科)设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b
>>”是
“log 3log 3a b <<1ogb3”的
( )
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【知识、方法储备】解答这类命题的关键是：首先必须熟练掌握指数函数与对数函数的图像和性质；其次掌握充要条件的各类判断．
题型4 充要条件的证明
例7设以a ，b ，c 为ABC △的三边，求证：方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有公共根的充要条件是么90A ∠=︒．
【知识、方法储备】(1)证明命题充要条件的常用方法有两种：一是一般先证必要性（充分条件），再证充分性（必要条件）；二是直接运用等价关系进行推理．(2)合理运用一元二次方程的解的特性．
题型5 充要条件命题的求解
例8 已知数列{}n a 的前n 项和()0,1n n S p q p p =+≠≠，求数列{}n a 为等比数列的充要条件． 【知识、方法储备】(1)求解命题充要条件的方法一般为：先求出充分条件，再求出必要条件．(2)
数列定义常用()
()
1
1
12n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨
-≥⎪⎩．
题型6 全称命题与特祢命题互为否定
例9(重庆卷理科) 命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为 ( )
A ．对任意x R ∈，都有20x <
B ．不存在x R ∈，使得20x <
C ．存在0x R ∈，使得2
0x ≥
D ．存在0x R ∈，使得2
0x < 【知识、方法储备】 理解“存在”与“任意”的含义以及全称命题与特称命题互为否定的关
系．
例10(全国新课标卷工理科) 设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝是
( )
A ．n N ∀∈，22n n >
B ．n N ∃∈，22n n ≤
C ．n N ∀∈，22n n ≤
D ．n N ∃∈，22n n =
【知识、方法储备】这类命题比较简单，主要考察全称命题与特称命题互为否定．
例11下列四个命题： 1p ：()00,x ∃∈+∞，00
1123x x
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
2p ：()00,1x ∃∈，1012
3
lpg x lpg x >；
3p ：()0,x ∀∈+∞，12
1log 2x
x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭；
4p ：10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，13
1log 2x
x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭．
其中的真命题是 ( )
A ．1p ，3p
B ．1p ，4p
C ．3p ，p4
D ．2p ，4p
【知识、方法储备】(1)全称命题与特称命题互为否定；(2)指数函数与对数函数的图像与性质；
(3)特别需要理解“存在”与“任意”的含义：
例12（辽宁卷理科） 已知命题p ：12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x x x --≥，则p ⌝是( ) A ．12,x x R ∃∈，()()()()21210f x f x x x --≤ B ．12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x x x --≤ C ．12,x x R ∃∈，()()()()21210f x f x x x --<
D ．12,x x R ∀∈，()()()()21210f x f x x x --<
【知识、方法储备】(1)全称命题的否定是特称命题；(2)“()0f x ≥"的对立面是“()0f x <”．
提升训练1
选择题
1．已知集合{}2,1,0,1,2M =--，11244x N x +⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，则M
N = ( )
A ．{}2,1,0,1,2--
B ．{}1,0,1-
C ．{}0,1,2
D ．{}2,1,0--
2．（陕西卷理科）设集合{}0,M x x x R =≥∈，{}
21,N x x x R =<∈，则M N = ( )
A ．[]0,1
B ． [0，1)
C ．(]0,1
D ．()0,1
3．(2013年福建卷理科)已知集合{}1,A a =，{}1,2,3B =，则“3a =”是“A B ⊆”的 ( ) A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．(2014年湖南卷理科)已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在
命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨ 中，真命题是
( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
5．下列有关命题的说法正确的是 ( )
A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题
B ．函数()tan f x x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈
C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”
D ．“2a =”是“直线2y ax =-+与14
a
y x =-垂直”的必要而不充分条件
6．下列叙述中，正确的个教是 ( ) ①命题p ：“x R ∃∈，220x -≥”的否定形式为p ⌝：“x R ∀∈，220x -<”；
②O 是ABC △所在平面上的一点，若⋅=⋅=⋅OA OB OB OC OC OA ，则点O 是ABC △的垂
心；
③“M N >”是“2233M
N
⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的充分而不必要条件；
④命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”．
A.1
B.2
C.3
D.4 填空题
7．(重庆卷理科)设全集{}110U n N n =∈≤≤，{}1,2,3,5,8A =，{}1,3,5,7,9B =，则
()
C U A B = ．
8．（江苏卷理科）集合{}1,0,1-共有 个子集．
9．设集合{},P y y k k R ==∈，{}
1,01,x Q y y a a a x R ==+>≠∈且，若集合P Q 只有一个子
集，则k 的取值范围是 ． 解答题
10．记关于x 的不等式
01
x a
x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q . (1)若3a =，求不等式
01
x a
x -<+的解集；
(2)若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．
11．已知集合()(){}
2lg A x f x x ax b ==++，(){B x g x ==， {}C 23R A x x =-≤≤，且()
C R A B B =，求实数a ，b 的值及实数k 的取值范围．
12．若全称命题：“[)1,x ∀∈-+∞，222x ax a -+≥恒成立”是真命题，求实数a 的取值范围．
第2章 基本初等函数 2.1 函数的概念及表示
函数的概念及表示是学习函数的最基本的知 识之一．主要表现为映射、函数的概念、求函数的定义域及值域、函数的几种表示方法、函数的图像、函数的解析式、分段函数、抽象函数以及一些特殊函数等，在高考试卷中常常以小题的形式出现，注重体现概念性、思辨性，命题形式常考常新，尤其注意函数思想方法的运用．
题型1 映射概念的理解与运用
例1 给出下列四个对应：
(1)A R =，B R =，:f 1
1x y x →=
+； (2)12A a a N *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，1,B b b n N n *⎧⎫
+=∈⎨⎬⎩⎭；
(3){}0A x x =≥，B R =，:f x y →，2y x =；
(4){}A α=平面内的矩形，{}B α=平面内的圆，f ：作矩形的外接圆．
其中是映射的序号为 ．
【知识、方法储备】(1)映射的概念：设A ，B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任何一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，这样的对应叫作从A 到B 的一个映射，记作f ：A B →. (2)为了加深对概念的理解，需要说明：①A 中不同的元素在B 中可以有相同的像（即可以多对一）；②A 中的元素不能剩；③B 中的元索可以剩，
题型2 求函数的函数值
例2(江西卷理科)．已知函数()5x
f x =，()()2
g x ax x a R =-∈，若()()11f g =，则a = ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．1-
【知识、方法储备】 函数的定义：设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称()f x 为集合A 到集合B 的一个函数，记作()y f x =．其中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函
数的定义域；与x 的值对应的y 值叫作因变量，函数值的集合(){}
f x x A ∈叫作函数的值域，显然，值域是集合B 的子集．
题型3 判断两个函数是否为同一函数
例3 下列各组函数表示同一函数的是
( )
A ．y =y =
B ．ln x y e =与ln x y e =
C
．2
y x
=
与y =
D ．0y x =与0
1y x =
【知识、方法储备】 判断两个函数是否为同一函数，首先看它们的定义域是否相同，如果定义域相同再看对应法则是否相同，如果对应法则也相同，才为同一函数，否则都不为同一函数．
题型4 求函数的定义域
1．求基本初等函数的定义域 例4（年山东卷理科） 函数()
f x =
的定义域为 ( )
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()2,+∞
C ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
D ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥
⎝⎦
【知识、方法储备】 求初等函数定义域的原则：(1)分式函数的分母不能为零；(2)偶次根式函数的根号下非负；(3)指数函数的底数大于零且不等于1；(4)对数函数的底数大于零且不等于1，真数大于零；(5)0y x =中0x ≠；(6)正切函数角的终边不落在y 轴上．
例5 函数()f x 的定义域为 ．
【知识、方法储备】 确定三角函数取值时自变量的范围一般采用单位圆中的有向线段或根据三角函数的图像或数轴判断．
例6函数
(
)2f x 的定义域为 ． 【知识、方法储备】 函数由几部分组成时定义域为各部分的交集．
2．求抽象型复合函数的定义域
例7 已知函数()2log f x 的定义域是[]4,8，则函数()21f x -的定义域为 ． 【知识、方法储备】 求解抽象型复合函数的定义域的基本方法为： ⇒⇒定义域值域=值域定义域．
例8 已知函数()32f x +的定义域是()2,1-，求()223f x f x ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭的定义域．
【知识、方法储备】 除了运用基本方法外，还要对两部分求交集，
题型5 求函数值域的常用方法
求函数的值域没有统一的方法，对于不同的题型，采用不同的方法． 1．分析观察法
有些函数结构并不复杂，一般可以通过基本函数的值域以及不等式的性质直接观察得到值域．
例9 函数21
3
y x =
+的值域为 ． 【知识、方法储备】对于x R ∈，恒有20x ≥．
2．一次函数在给定区间上的值域
例10 求函数()6f x ax =+在区间[],m n 上的值域． 【知识、方法储备】分类讨论思想运用．
3．二次函数在给定区间上的值域
例11求二次函数()2f x ax bx c =++在区间[],m n 上的值域．
【知识、方法储备】 求二次函数在给定区间上的值域的方法：(1)首先考虑二次函数的开口方向；(2)其次考虑其对称轴与给定区间的位置关系．
例12(辽宁卷理科) 已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =（{}max ,p q 表示p ，q 中较大的值，{}
min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=
( )
A. 16
B ．16-
C ．2216a a --
D ．2216a a +-
【知识、方法储备】解答这类题目的技巧是：在同一坐标系内作出两个函数的图像，然后根据要求描出所需要的最大或最小函数图像，最后根据图像确定最值．
4．分式型函数的值域
(1)求函数()cx d
f x ax b
+=+的值域型（a ，b ，c ，d 均为常数） 例13函数36
2
x y x +=
-的值域为 ． 【知识、方法储备】 这类函数求值域的方法主要有分离常数法和反函数法．
例14函数32sin 2sin x
y x
-=
+的值域为 ．
【知识、方法储备】这类函数求值域的方法是运用正、余弦函数的有界性，即sin 1x ≤或cos 1x ≤．
例15 函数3cos 2sin y θ
θ
-=
+的值域为 ．
【知识、方法储备】 这类函数求值域的方法有辅助角公式法、万能公式法以及数形结合法．
例16 已知函数2328log 1
mx x n
y x ++=+的定义域为R ，且max 2y =，min 0y =，求实数m ，n 的值．
【知识、方法储备】 这类函数求值域的方法是判别式法．
例17 221
23
x y x x -=--的值域为 ．
【知识、方法储备】 这类函数求值域的关键是看看是否同解变形．
例18 ()22117
013
x x y x x ++=<<+的值域为 ．
【知识、方法储备】这类函数求值域的方法一般是分离常数法．
5．根式型函数的值域
(1)求函数()f x ax b =+±a ，b ，c ，d 均为常数，且0ac ≠）
例19 31y x =+的值域为 ，31y x =++的值域为 ． 【知识、方法储备】 这类函数求值域运用函数的单调性法或换元法（换元法的实质是升幂）．
例20 函数y =的值域为 ；函数y =-的值
域为 ；y 的值域 ；
【知识、方法储备】 这类函数求值域的方法有单调性法、平方后运用二次函数的性质、三角换元法以及求导法．
例21 函数y =
的最小值为 ．
【知识、方法储备】(1)两点间距离公式：设()111,P x y ，()222,P x y ，则12PP =(2)运用光学原理求对称问题的方法．
例22 函数4y x =++的值域为 ．
【知识、方法储备】(1)解答这类题目一般先运用三角换元法；(2)然后运用辅助角公式；(3)辅助角公式：
题型6 求函数解析式的常用方法
1．代入法
例23 已知函数()21cos sin f x x -=，则()f x 的表达式为 ．
【知识、方法储备】 由已知条件()()()f g x F x =，可将()F x 改写成()g x 的表达式，然后以x 替代()g x ，便得()f x 的不等式，也叫“拼凑法”．
2．待定系数法
例24 已知()221f x x x =-+，()g x 是一次函数，且()()24f g x x =，则()g x 的解析式为 .
【知识、方法储备】 (1)如果已知函数的模型，则常常采用待定系数法；(2)根据已知函数的模型，恰当地设出解析式，然后根据已知条件寻求恒等式．
3．换元法
例25 已知2
2
1111x x
f x x
--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式可取为 ( ) A ．21x
x + B ．221x
x -+ C ．
2
21x
x
+
D ．2
1x
x
-
+ 【知识、方法储备】 由已知条件()()()f g x F x =，可令()t g x =，然后反解求出()1x g t -=，代人()F x 可得()f t 的表达式．
4．函数方程法
例26 已知函数()1ln 1f x f x x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，则()f x = ．
【知识、方法储备】这类题目的关键是1
x x ⨯=1．所以在解答时只要将式中的x 换成1x
，然后解方程组即得．
例27 已知函数f ()()3x
f x f x x e --=，则()f x = ．
【知识、方法储备】 这类题目的关键是()0x x +-=，所以在解答时只要将式中的x 换成
()x -，然后解方程组即得．
5．一类与函数周期性、对称性、奇偶性有关的求解析式命题
例28(山东卷理科改编) 已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()2
1
f x x x
=+
，则0x <时的解析式为 ．
【知识、方法储备】(1)与函数奇偶性有关的 结论：①对于函数()f x ，若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数，若函数()f x 为奇函数，其图像关于原点成中心对称图形，在对称的区间上具有相同的单调性，特别地，若函数在0x =处有定义，则()0f x =；②对于函数()f x ，若
()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，若函数()f x 为偶函数，其图像关于y 轴成轴对称图形，在对
称的区间上具有相反的单调性；③函数()f x a +为奇函数，则()()f x a f x a -+=-+，函数()f x 的图像关于点(),0a 对称；④函数()f x a +为偶函数，则()()f x a f x a -+=+，函数()f x 的图像关于直线x a =对称．
(2)求解这类命题的方法与步骤：①将变量设在要求的区间；②根据已知条件（函数周期性、对称性、奇偶性）推出已知区间的变量；③根据已知条件（函数周期性、对称性、奇偶性）寻求两个变量之间的抽象函数表达式，从而得到要求的解析式．
例29设()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图像关于直线2x =对称，已知[]2,2x ∈-时，
()21f x x =-+，求[]6,2x ∈--时()f x 的解析式．
【知识、方法储备】(1)函数对称性的有关结论：①互对称，点对称：若函数()f x 和函数()g x 的图像关于点(),a b 对称，则()()2f a x g a x b -++=；线对称：若函数()f x 和函数()g x 的图像关于直线x a =对称，则()()f a x g a x +=-．②自对称．点对称：对于函数()f x ，若()()()()2f a x f a x f a x f x +--⇔+=-，则函数()f x 的图像关于点(),0a 对称；对于函数()f x 若()()2f a x g a x b -++=，则函数()f x 的图像关于点(),a b 对称，线对称：对于函数()f x ，若()()()()2f a x f a x f a x f x +--⇔+=，则函数()f x 的图像关于直线x a =对称；对于函数()f x ，
若()()f a x f b x +=-，则函数()f x 的图像关于直线2
a b
x +=笋对称．(2)求解命题的方法与步骤同例27.
例30已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x =对称． (1)求()f x 的值；
(2)证明：()f x 是周期函数；
(3)若()f x x =(0<x ≤1)，求x R ∈时，函数()f x 的解析式．
【知识、方法储备】(1)函数周期性的有关结论：①对于函数()f x ，若存在一个非零常数T ，使
得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 为周期函数，T 为函数()f x 的一个周期，如果T 为函数()f x 的一个周期，那么T 的整数倍都是函数()f x 的周期，若没有特别说明，周期一般指函数的最小正周期；②对于函数()f x ，若存在常数日，使得()()f a x f x +=-或()()1f a x f x +=
或()()
1
f a x f x +=-或()()()11f x f a x f x ++=-，则都有函数()f x 的一个周期为2a ；厂
③对于函数()()()12f x f x f x +=++，则6T =为函数的一个周期；④对于函数()()
1
11f x f x +=
-，
则3T =为函数的一个周期；⑤对于函数()f x ，若存在常数a ，b 使得()()f a x f b x +=+，则T a b =-为函数的一个周期．(2)求解解析式的方法与步骤同例27．
题型7 关于分段函数的命题类型
1．分段函数的求值运算
例31（福建卷理科） 设()()()()100010x f x x x >⎧⎪==⎨⎪
-<⎩
，()1(0()x g x x ⎧=⎨⎩为有理数)
为无理数，则()()f g π的值为
( )
A ．1
B ．0
C ．1- D.π
【知识、方法储备】分段函数：在不同的定义域区间有不同的函数表达式，这样的函数叫分段函数，分段函数的定义域是各个定义域区间的并集.
例32(全国新课标卷Ⅱ理科)设函数()()()()211log 121x x x f x x -+-<⎧⎪=⎨⎪⎩≥，则()()22log 12f f -+= ( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
【知识、方法储备】(1)分段函数的求值运算关键是看要求的自变量在哪段函数内；(2)熟练进行指数运算和对数运算；(3) log a N a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)．
2．分段函数的求范围运算
例33(全国新课标卷工理科) 已知函()()
()
()
220ln 10x x
x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨
+>⎪⎩，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是
( )
A ．(]0-∞
B ．(],1-∞
C ．[]2,1-
D ．[],0
【知识、方法储备】()y f x =的图像是将x 轴以下部分沿x 轴翻折上去，x 轴以上部分的图像不变．
3．分段函数的求值域运算
例34设函数()()2
2g x x x R =-∈，()()()()
()()(
)4
g x x x g x f x g x x
x g x ⎧++<⎪=⎨
-≥⎪⎩，则()f x 的值域是 ( )
A ．()9,01,4⎡⎤
-+∞⎢⎥
⎣⎦
B ．[]0,+∞
C ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．()9,02,4⎡⎤
-+∞⎢⎥⎣⎦
【知识、方法储备】(1)分段函数的值域也是各个定义域区间值域的并集；(2)解决这类问题的关键是先将分段函数进行整理，变为具体的函数，然后按照“分开运算，合在一起”的原则进行运算．
例35(2015年福建卷理科) 若函数()()()()6
2013log 2a x x f x a a x x ⎧-+≤⎪=>≠⎨+>⎪⎩且的值域为[4)+∞，
，则实数a 的取值范围是 ．
【知识、方法储备】 分段函数的值域是各个定义域区间值域的并集．
4．分段函数的一类R 上的单调性问题 例36已知
()()314(1)log (1)a
a x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是
( )
A ．()0,1
B ．10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．1,17⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【知识、方法储备】 解得这类问题的关键是“R 上的减函数”，因此1x <时的函数在1x =处的函数值不能小于1x >时的函数在1x =处的函数值．
5．分段函数的解不等式运算 例37已知函数
()()()
224040x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，则不等式()()20f a f a -+>的解集为 ( )
A
．(()
,113,-∞--+
+∞
B ．()1,+∞ C
．(()
,333,-∞+
+∞
D ．(),1-∞
【知识、方法储备】(1)理解分段函数的实质是说明函数在R 上是单调递减的奇函数；(2)解抽象不等式的方法是：添上“f ”，去掉“f ”．
6．分段函数的解方程运算
例38 定义域为R 的函数()()
()
lg 2
21
2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨
=⎪⎩．若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰
好有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则 ()12345f x x x x x ++++等于
( )
A ．lg2
B ．2lg2
C ．3lg 2
D ．4lg2
【知识、方法储备】 解答这类问题的关键是理解根的个数与函数的对称性．
7．与分段函数有关的零点问题
例39(北京卷理科) 设函数()()()()()
21421x a
x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩
(1)若1a =，则()f x 的最小值为 ；
(2)若()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．
【知识、方法储备】 由于所求问题为分段函数的零点问题，所以采用分类讨论思想，即分左
端有一个零点和没有零点两类．
8．与分段函数有关的解抽象不等式
例40 已知()f x 的定义域为()2,2-，且()()
()
222ln 2132245123x x x x
f x x x x -⎧+-<≤⎪⎪++=⎨
⎪--+<<⎪⎩
．如果
()()2
13
f x x +<
，那么x 的取值范围是
( )
A.．21x -<<-或01x << B ．1x <-或0x >
C ．-5
24
x -<<-
D ．10x -<<
【知识、方法储备】解抽象函数不等式的基本方法是：添上“f ”，去掉“f ’．
9．实际问题中的分段函数
例41某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图2.1所示的曲线．当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当(]14,40t ∈时，曲线是函数()log 583a y t =-+（0a >且1a ≠）图像的一部分．根据专家研究，当注意力指数80p ≥时，听课效果最佳．
(1)试求()p f t =的函数关系式．
(2)老师在什么时段内安排核心内容能够使得学生听课效果最佳？请说明理由．
图2.1
【知识、方法储备】 分段函数与实际问题的结合．关键是恰当分段，并合理运用“分开运算，合在一起”．
题型8 关于抽象函数的运算
例42定义在R 上的函数()f x 的图像既关于点()1,1对称，又关于点()3,2对称，则()()()()0244f f f f +++
+=
( )
A ．16
B ．24
C ．32
D ．48
【知识、方法储备】这类题目主要考查函数中的点对称，即对于函数()f x ，若()()2f a x f a x b ++-=，则函数()f x 的图像关于点(),a b 对称．
例43 定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()()120f x f x f x +=-≠，且在区间()2015,2016内单调递增，已知α，β是锐角三角形的两个内角，则()sin f α，()cos f β的大小关系是
( )
A ． ()sin f α＜()cos f β
B ．()sin f α＞()cos f β
C ．()sin f α=()cos f β
D ．以上情况均有可能
【知识、方法储备】 这类题型主要考查抽象函数与函数单调性、奇偶性的结合以及正、余弦函数的单调性．
例44已知定义域为()0,+∞的函数()f x 满足：①当1x >时，()0f x <；②112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭；③对任意
的,x y +∈R ，都有()()()f xy f x f y =+．
(1)求证：()1f f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
；
(2)求证：()f x 在定义域内为减函数； (3)求不等式()()52f x f x +-≥-的解集．
【知识、方法储备】 解决抽象函数问题常常采用赋值法．赋值法可以分为赋予特殊数字和赋予特殊字母两种；有时如果关于抽象函数的命题是小题，也可以运用寻找原型函数的方法．
例45已知函数()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且()11f =，当m ，n []1,1∈-，0m n +≠时，有
()()0f m f n m nd
+>+．
(1)判断()f x 的单调性．
(2)若不等式()221f x t at ≤-+对[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．
【知识、方法储备】 运用定义法证明函数的单调性，关键是恰当地运用已知条件进行“凑”．
题型9 关于三个二次式的密切联系 例46已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{},0x x αββα<<>>，求关于x 的不等式20cx bx a ++<的解集．
【知识、方法储备】(1)二次函数、二次方程、二次不等式在解题过程中密切联系，可以进行任意转换；(2)韦达定理在解决三个二次式密切联系中起相当重要的作用．
例47若不等式211ax bx c -<++<的解集为()1,3-，则实数a 的取值范围是 ． 【知识、方法储备】 解决这类题型除运用三个二次式的密切联系外，关键是进行分类讨论．
题型10 关于对勾函数的运算 例48函数2
y =
的值域是 ．
【知识、方法储备】 (1)对勾函数：一般将形如b
y ax x
=+
这样的函数叫作对勾函数（0ab >）．一。