多面体与球的内切和外接常见类型归纳

多面体与球的内切和外接常见类型归纳
在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生
的立体感，空间想象能力的好教材。

可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。

针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：
一．正四面体与球
如图所示，设正四面体的棱长为a ，r 为内切球的半径，R 为外接球的半径。

则高SE=3
2a,斜
高SD=4
3
a ，OE=r=SE-SO ，又SD=BD,BD=SE-OE,
则在 r=
a 126。

R=SO=OB=a 4
6 特征分析：
1． 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的
球心为同一个。

2． R=3r. r=
a 126 R=a 4
6。

此结论可以记忆。

例题一。

1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，
则此球的表面积为（ ） 分析：借助结论，R=
a 46=4
6
2=
2
3
,所以S=42R π=3π。

2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ）
C
分析：借助R=3r ，答案为9：1。

二、特殊三棱锥与球
四个面都是直角三角形的三棱锥。

SA AB BC ABC ABC ⊥⊥为直角三角形，面, 因为SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，球心落在SC 的中点处。

所以R=2
SC 。

三．正方体与球。

1．正方体的外接球
即正方体的8个定点都在球面上。

关键找出截面图:ABCD 为正方体的体对角
面。

设正方体的边长为a ，则AB=2a ，
BD=2R ，AD=a ， R=
2
3
a 。

C
2． 正方体的内切
球。

（1）与正方体的各面相 切。

如图：ABCD 为正方 体的平行侧面的正方形。

R=2
a
（2）与正方体的各棱相切。

如图：大圆是正方形ABCD
的外接圆。

C
B
D
B
A
AB=CD=a ， R=
2
2a 。

3． 在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三
棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。

例题：1。

正方体的全面积是24，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积是
解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则R=
322
3
=，S=12π。

2．一个球与棱长为1 的正方体的12条棱都相切，则球的体积 解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。

R==2
21==
2
2
V=
π3
2
3．将棱长为1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为 解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。

R=21
，V=π3
4。

4．P 、A 、B 、C 、是球O 面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球的体积是
解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的外接球，所以R=
23，V=2
3
π。

四、正棱柱与球
1．正三棱柱外接球。

B
如图所示：过A 点作AD 垂直BC,D 为三角形ABC 的中心，D 1同样得到。

则球心O 必落在DD 1的中点上。

利用三角形OAD 为直角三角形，OA=R,可求出R.
2.正四棱柱外接球。

道理与上面相似。

主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。

例题：1。

已知一个半径为
21的球中有一个各条棱长都相等的内接正三
棱柱，则这一正三棱柱的体积是 解析：如上图，OA=21,OD=
2
a
，AD=a 33，可
求a ＝6，V=54
3.
2. 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在
半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为
解析：截面如图：ABCD 为正四棱柱的体对角面OD=R ，设AD=a ，底面正方形的边长为b ，则有DC=
2b ，则
R 2=（a/2）2
+（
2b/2）
2
，S=4ba ()2
222b a +≤
=224
R 。

五、长方体与球
1．长方体的外接球。

截面图如右图：实质构造直角三角形，联
系半径与长方体的长宽高。

半径为体对
角线的一半。

2．在长方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三
条
侧棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体的外接球，再求解。

例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是
解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长方体的
外接球，所以R=
22
5，S=50 。