中考数学一轮复习提高题专题复习平行四边形练习题附解析

中考数学一轮复习提高题专题复习平行四边形练习题附解析
一、选择题
1．已知点A （4，0），B （0，﹣4），C （a ，2a ）及点D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD 的长的最小值为（ ）
A ．655
B ．1255
C ．32
D ．42
2．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若50BCD ∠=︒，则OED ∠的度数是（ ）
A ．35°
B ．30°
C ．25°
D ．20°
3．如图，已知直线l //AB ，l 与AB 之间的距离为2．C 、D 是直线l 上两个动点（点C 在D 点的左侧），且AB =CD =5．连接AC 、BC 、BD ，将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ．下列说法：①四边形ABDC 的面积始终为10；②当A ′与D 重合时，四边形ABDC 是菱形；③当A ′与D 不重合时，连接A ′、D ，则∠CA ′D +∠BC A′=180°；④若以A ′、C 、B 、D 为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为35或7．其中正确的是( )
A ．①②③④
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③
4．如图，四边形ABCD 中，,,,AC a BD b AC BD ==⊥顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222A B C D ...如此进行下去，得到四边形.n n n n A B C D 则下列结论正确的个数有（ ） ①四边形1111D C B A 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长为
4a b +； ④四边形n n n n A B C D 的面积是12
n ab +．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，
AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H 、G ，则( )
A ．AHE BGE ∠>∠
B ．AHE BGE ∠=∠
C ．AHE BGE ∠<∠
D ．AH
E ∠与BGE ∠的大小关系不确定
6．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 均在x 轴正半轴上，若已知正方形1111D C B A 的
边长为1，1160B C O ︒∠=，且112233////B C B C B C ，则点3A 的坐标是( )
A ．331(3,)++
B ．333(3,)2++
C ．331(3,)2++
D ．333(3,)++ 7．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线A
E 为边作第三个正方形AEGH ，依此下去，第n 个正方形的面积为（ ）
A ．2n ﹣1
B ．2n ﹣1
C ．2）n
D ．2n
8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝4，点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的左上方作正方形AEFG ，同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当点F 落在直线MN 上，设运动的时间为t ，则t 的值为( )
A ．1
B ．103
C ．4
D ．143
9．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是CD 的中点，将BCE 沿BE 翻折至BFE ，连接DF ，则DF 的长度是（ ）
A ．55
B ．255
C ．355
D ．455
10．如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E 为BC 边的中点，沿AP 折叠使D 点落在AE 上的点H 处，连接PH 并延长交BC 于点F ，则EF 的长为( )
A ．525-
B ．55-
C ．353-
D ．14
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．
12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．
13．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交
于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．
14．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．
15．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒
∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________
16．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．
17．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．
18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________
19．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，5
3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．
（1）若1n =，
①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；
②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN
的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；
（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则
CF BF
的值为_______（结果用含n 的式子表示）．
22．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．
（1）求证：AE ＝DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．
23．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．
（1）若点F 在边CD 上，如图1，
①求证：CH CG ⊥．
②求证：GFC 是等腰三角形．
（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．
24．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．
（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；
（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）
25．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．
（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；
（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；
（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ：
①M 点的坐标为 ．
②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）．
26．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .
(1)求出直线BC 的解析式；
(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟
10个单位的速度运动,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.
(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.
27．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．
(1)如图1，求证：CF ⊥EF;
(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;
(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.
28．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ，
(1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ；
(2)如图1，若3，求AE 的长；
(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索
1
AG AF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.
29．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：
（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =
①求证：EF 与BD 互相平分；
②求证：222()2BE DF EF AB ++=；
（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成
立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.
（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.
30．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长
→→→路径以每秒3个度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D
单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t秒，问：
（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形
（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42，对比两种情况即可求得CD最小值.
【详解】
解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，
如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，
易知直线AB为y＝x﹣4，
∵AF＝FB，
∴点F坐标为（2，﹣2），
∵CF⊥直线y＝2x，
设直线CF 为y ＝﹣
12x +b ′F （2，﹣2）代入得b ′＝﹣1 ∴直线CF 为y ＝﹣12
x ﹣1， 由2112y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩ 解得2545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴点C 坐标（25-，45
-）． ∴CD ＝2CF ＝2
． 如果CD 是平行四边形的边，则CD ＝AB
＝
， ∴CD
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD 最短. 2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据直角三角形的斜边中线性质可得OE BE OD ==，根据菱形性质可得
1652
DBE ABC ︒∠=
∠=，从而得到OEB ∠度数，再依据90OED OEB ︒∠=-∠即可． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是菱形，50BCD ︒∠=，
∵O 为BD 中点，1652
DBE ABC ︒∠=∠=． DE BC ⊥，
∴在 Rt BDE ∆中，OE BE OD ==，
65OEB OBE ︒∴∠=∠=．
906525OED ︒︒︒∴∠=-=．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；
②根据折叠的性质得到AC=CD ，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC 是菱形； ③连结A′D ，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD ，AB=CD=A′B ，
∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD ≌△A′BD ，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D ∥BC ；
④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S △A1CB =S △ABC =5，则S 矩形A′CBD =10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．
【详解】
①∵AB=CD=5，AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∴四边形ABDC 的面积=2×5=10；故①正确；
②∵四边形ABDC 是平行四边形，
∵A′与D 重合时，
∴AC=CD ，
∵四边形ABDC 是平行四边形，
∴四边形ABDC 是菱形；故②正确；
③连结A′D ，如图，
∵△ABC 沿BC 折叠得到△A′BC ，
∴CA′=CA=BD ，AB=CD=A′B ，
在△A′CD 和△A′BD 中
CA BD CD BA A D A D ＝＝＝'⎧⎪'⎨⎪''⎩
，
∴△A′CD ≌△A′BD （SSS ），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠CBA=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠1=∠4，
∴A′D ∥BC ，
∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；
④设矩形的边长分别为a，b，
当∠CBD=90°，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠BCA=90°，
∴S△A′CB=S△ABC=1
2
×2×5=5，
∴S矩形A′CBD=10，即ab=10，
而BA′=BA=5，
∴a2+b2=25，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45，
∴
当∠BCD=90°时，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=3，
而CD=5，
∴（a+b）2=（2+5）2=49，
∴a+b=7，
∴此矩形相邻两边之和为或7．故④正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．
4．A
解析：A
【分析】
首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形A n B n C n D n的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
【详解】
解：如下图，连接连接A1C1，B1D1，
∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1， ∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ；
∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1，
∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形，
∵AC 丄BD ，
∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，故①正确；
∴B 1D 1=A 1C 1（矩形的两条对角线相等）；
∴A 2D 2=C 2D 2=C 2B 2=B 2A 2（中位线定理），
∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；
依次类推，可知当n 为奇数时四边形A n B n C n D n 是矩形，当n 为偶数时四边形A n B n C n D n 是菱形，故②正确； 根据中位线的性质可知，
553311553311111111,248248
A B A B A B AC B C B C B C BD ======， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是12()84
a b a b +⨯+=
， 故③正确； ∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，
∴S 四边形ABCD =ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形A n B n C n D n 的面积是
1
2n ab +， 故④正确；
综上所述，①②③④正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查中点四边形，中位线定理，菱形的性质和判定，矩形的性质和判定．理解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键． 5．B
解析：B
连接BD，取中点I，连接IE，IF，根据三角形中位线定理得IE＝1
2
2AD，且平行AD，IF＝
1
2
BC且平行BC，再利用 AD＞BC和 IE∥AD，求证∠AHE＝∠IEF，同理可证∠BGE＝∠IFE，再利用IE＞IF和∠AHE＝∠IEF，∠BGE＝∠IFE即可得出结论．
【详解】
连接BD，取中点I，连接IE，IF
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴IE，IF分别是△ABD，△BDC的中位线，
∴IE＝1
2
2AD，且平行AD，IF＝
1
2
BC且平行BC，
∵AD＞BC，
∴IE＞IF，
∵IE∥AD，
∴∠AHE＝∠IEF，
同理∠BGE＝∠IFE，
∵在△IEF中，IE＞IF，
∴∠IFE＞∠IEF，
∵∠AHE＝∠IEF，∠BGE＝∠IFE，
∴∠BGE＞∠AHE．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，有一定的拔高难度，属于难题．
6．C
解析：C
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得∠B3C3O=∠B2C2O=∠B1C1O=60°，然后利用三角形全等可得B2E2=E1E2=D1E1=E3C2，E2C2=E3E4=B3E4，解直角三角形求出OC1、C1E、E1E2、
E2C2、C2E3、E3E4、E4C3，再求出B3C3，过点A3延长正方形的边交x轴于M，过点A3作A3N⊥x轴于N，先求出A3M，再解直角三角形求出A3N、C3N，然后求出ON，再根据点A3在第一象限写出坐标即可．
解∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，
∴∠B 3C 3O =∠B 2C 2O =∠B 1C 1O =60°，
∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，B 1C 1=C 1D 1，∠B 1C 1D 1=90°，
∴∠C 1B 1O=∠D 1C 1E 1=30°，
∴△C 1B 1O ≌△D 1C 1E 1；
∴B 1O=C 1E 1，OC 1=D 1E 1，
同理可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2；E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4；
111122223111111222OC D E E E B E C E B C ∴=====
=⨯= 11113331222C E D C ==⨯= 2234342231332E C E E B E B E ====⨯= 433433316
E C B E ==⨯= 3343112263
B C E C ∴==⨯= 过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ,过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，
则332323333331133333A M A D D B C B C +=+=+=+= 333333312926A N A M =
== 3313313322C M A M ++=== 343133331233186C N E M C M ⎛⎫∴=-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
111122223343ON OC C E E E E C C E E E C N =++++++
13131313133222626662
'-=+++++++=+ ∵点A 3在第一象限，
∴点A 3的坐标是3313,2⎛
⎫++ ⎪ ⎪⎭
. 故选C.
【点睛】
本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，30°角的直角三角形.熟练掌握有30°角的直角三角形各边之间的数量关系是解决本题的关键.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律后，即可解决问题．
【详解】第一个正方形的面积为1=20，
第二个正方形的面积为（2）2=2=21，
第三个正方形的边长为22，
…
第n 个正方形的面积为2n ﹣1，
故选B ．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，根据前后正方形边长之间的关系找到S n 的规律是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
过点F 作FH ⊥CD ，交直线CD 于点Q ，则∠EHF=90°，易证∠ADE=∠EHF ，由正方形的性质得出∠AEF=90°，AE=EF ，证得∠AED=∠EFH ，由AAS 证得△ADE ≌△EHF 得出AD=EH=4，则t+2t=4+10，即可得出结果．
【详解】
过点F 作FH ⊥CD ，交直线CD 于点Q ，则∠EHF=90°，如图所示：
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠EHF ，
∵在正方形AEFG 中，∠AEF=90°，AE=EF ，
∴∠AED+∠HEF=90°，
∵∠HEF+∠EFH=90°，
∴∠AED=∠EFH ，
在△ADE 和△EHF 中，
ADE EHF AED EFH AE EF ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADE ≌△EHF （AAS ），
∴AD=EH=4，
由题意得：t+2t=4+10，
解得：t=143，
故选D ．
【点睛】 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形与矩形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
由勾股定理可求BE 的长，由折叠的性质可得CE ＝EF ＝2，BE ⊥CF ，FH ＝CH ，由面积法可求CH ＝455，由勾股定理可求EH 的长，由三角形中位线定理可求DF ＝2EH ＝455
． 【详解】
解：如图，连接CF ，交BE 于H ，
∵在正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是CD 的中点，
∴BC ＝CD ＝4，CE ＝DE ＝2，∠BCD ＝90°，
∴BE 2216425BC CE +=+=
∵将△BCE 沿BE 翻折至△BFE ，
∴CE ＝EF ＝2，BE ⊥CF ，FH ＝CH ，
∵S △BCE ＝12×BE×CH ＝12×BC×CE ， ∴CH ＝455
， ∴EH=221625455CE CH -=
-=， ∵CE ＝DE ，FH ＝CH ，
∴DF ＝2EH ＝
455
， 故选：D ．
【点睛】 本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
首先证明Rt △AFB ≌Rt △AFH ，推出BF=FH ，设EF=x ，则BF=FH=
12
x -，在Rt △FEH 中，根据222,EF EH FH =+构建方程即可解决问题；
【详解】
解：连接AF ．
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=BC=1，∠B=90°，
∵BE=EC=
12， ∴2252
AB BE += 由翻折不变性可知：AD=AH=AB=1，
∴EH=512
-， ∵∠B=∠AHF=90°，AF=AF ，AH=AB ，
∴Rt △AFB ≌Rt △AFH ，
∴BF=FH ，设EF=x ，则BF=FH=12
x -，
在Rt △FEH 中，∵222,EF EH FH =+ ∴22215()(1),22x x =-+- ∴525.2
x -= 故选：A ．
【点睛】
本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，
二、填空题
11．43或23
【分析】
分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：过D 作DE AB ⊥于E ，
在Rt ADE △中，
30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332
AE AD ==， 在Rt BDE △中，2BD =，
22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，
如图1，
4AB ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，
如图2，
2AB =，
∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ===，
如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，
在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =-， 30A ∠=︒，3BE x =
， 在Rt BDE △中，
2BD =， 22232()(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），
1BE ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，
如图4，
当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，
故答案为：323
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
12．4:9
【分析】
设DP ＝DN ＝m ，则PN 2m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=
12BC=32
m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】
根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN 22m m +2m ，
∴2m=MC ，22PM MC +，
∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，
∵四边形HMPN 是正方形，
∴GF ⊥BC
∵∠ACB ＝45︒，
∴△FGC 是等腰直角三角形，
∴FG=CF=1
2
BC=
3
2
m
，
∴S1＝
1
2
DN×DP=
1
2
m2，S2＝
1
2
FG×CF=
9
8
m2，
∴
12
:
S S=1
2
m2:
9
8
m2=4:9，
故答案为4：9．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
13．8
【分析】
通过作辅助线使得△CAO≌△GBO，证明△COG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC的长．
【详解】
如图，延长CB到点G，使BG=AC．
∵根据题意，四边形ABED为正方形，
∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，
∴∠1+∠2=90°
又∵三角形BCA为直角三角形，AB为斜边，
∴∠2+∠3=90°
∴∠1＝∠3
∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO＝∠GBO，
在△CAO和△GBO中，
CA GB
CAO GBO
AO BO
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
故△CAO ≌△GBO ，
∴CO ＝GO=7=∠6，
∵∠7+∠8=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴三角形COG 为等腰直角三角形，
∴， ∵CG=CB+BG ，
∴CB=CG －BG=12－4=8，
故答案为8．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
14．4
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．
【详解】
解：连接AP ，
∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，
∴AB 2+AC 2＝BC 2，
即∠BAC ＝90°．
又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，
∴四边形AEPF 是矩形，
∴EF ＝AP ，
∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，
设斜边上的高为h ，
则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422
h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，
∴EF 的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
15．①②④⑤
【分析】
根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；
利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；
利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，
∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；
根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；
过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，H是BF的中点，所以⑤正确；
【详解】
∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，
∴△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠AED=∠DEC，
又∵DC⊥BC，
∴∠DCE=∠DHE=90°
∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，
即：DE平分∠HDC，所以①正确；
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠HDC=45°，
由①有DE平分∠HDC，
∴∠HDO=1
2
∠HDC=
1
2
×45°=22.5°，
∵∠BAE=45°，AB=AH，
∴∠OHE=∠AHB=
1
2
(180°−∠BAE)=
1
2
×(180°−45°)=67.5°，
∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，∴OD=OH，
在△AED中，AE=AD，
∴∠AED=
1
2
(180°−∠EAD)=
1
2
×(180°−45°)=67.5°，
∴∠OHE=∠HEO=67.5°，
∴OE=OH，
∴OD=OE，所以②正确；
在△DHE和△DCE中，
DHE DCE
HDE CDE
DE DE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴ΔDHE≅ΔDCE(AAS)，
∴DH=DC，∠HDE=∠CDE=
1
2
×45°=22.5°，
∵OD=OH，
∴∠DHF=22.5°，
∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，
∴△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，
即有：CD≠HF，所以③不正确；
如图，过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，
∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，
∴JH=JE，
又∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，
∴2JH=CF ，2JC=BC ，JC=JE+CE ，
∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC ，
即有：BC−CF=2CE ，所以④正确；
∵AD//BC ，
∴IJ ⊥AD ，
又∵△AHD 是等腰直角三角形，
∴I 是AD 的中点，
∵四边形ABCD 是矩形，HJ ⊥BC ，
∴J 是BC 的中点，
∴H 是BF 的中点，所以⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 16．15.5
【分析】
先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得
6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得
1 4.52
EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】
由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠
AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥
90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒
B BDE ∴∠=∠
BE DE ∴=
1112622
DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ===
=⨯= 又,AE BE AF CF ==
∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点
EF ∴是ABC 的中位线
119 4.522
EF BC ∴==⨯=
则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=
故答案为：15.5．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．
17．83或4433- 【分析】 连接AC 交BD 于O ，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，可证四边形BEGF 是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B ，点G ，点D 三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
【详解】
如图，连接AC 交BD 于O ，
∵菱形ABCD 的边长是4，∠ABC=60°， ∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，
∵EG ∥BC ，FG ∥AB ，
∴四边形BEGF 是平行四边形，
又∵BE=BF ，
∴四边形BEGF 是菱形，
∴∠ABG=30°，
∴点B ，点G ，点D 三点共线，
∵AC ⊥BD ，∠ABD=30°，
∴AO=12
AB=2，22224223AB AO --= ∴BD=3AC=4，
同理可求3BE ，即3， 若AD=DG'=4时，
∴BG'=BD-DG'=434，
∴BE'4344343
-==； 若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，
∴AH=HD=2，
∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，
∴DG''=2HG''，
∵222HD HG''DG''+=，
解得：HG''23=，DG''=2HG''43=， ∴BG''=BD-DG''=43834333-
=， ∴BE''=83
， 综上所述：BE 为
83或434-． 【点睛】
本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
18．22
【分析】
由正方形ABCD 的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42，当P 与D 重合时，PC=ED=PA ，即G 与A 重合，则EG 的中点为D ，即F 与D 重合，当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的路径为DF ，由D 是AE 的中点，F 是EG 的中点，得出DF 是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F 为正方形ABCD 的对角线的交点，CF ⊥DF ，此时CF 最小，此时CF=
12
AG=22． 【详解】
解：连接FD
∵正方形ABCD 的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=2，
当P 与D 重合时，PC=ED=PA ，即G 与A 重合，
∴EG 的中点为D ，即F 与D 重合，
当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的轨迹为DF ，
∵D 是AE 的中点，F 是EG 的中点，
∴DF 是△EAG 的中位线，
∴DF ∥AG ，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F 为正方形ABCD 的对角线的交点，CF ⊥DF ，
此时CF 最小，
此时CF=12AG=
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
19．2
【分析】
分别延长AE ，BF 交于点H ，易证四边形EPFH 为平行四边形，得出点G 为PH 的中点，则G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ，再求出CD 的长度，运用中位线的性质求出MN 的长度即可．
【详解】
解：如图，分别延长AE ，BF 交于点H ，
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH ∥PF ，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH ∥PE
∴四边形EPFH 为平行四边形，
∴EF 与HP 互相平分，
∵点G 为EF 的中点，
∴点G 为PH 的中点，即在P 运动的过程中，G 始终为PH 的中点，
∴G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ，
∵CD=6-1-1=4，
∴MN=12
CD =2， ∴点G 移动路径的长是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ．
20．102
【分析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.
【详解】
过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．
∵AE 是BAD ∠的平分线，
∴DAE BAE ∠=∠．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴5
3CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，
∴DAE DEA ∠=∠，
∴3DE AD ==，
∴2CE CD DE =-=．
∵BAD BEC ∠=∠，
∴BCE BEC ∠=∠，
∴BC=BE, ∴112CF EF CE ==
=， ∴22223122BF BC CF =-=-=
∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅==．
故答案为：2
【点睛】
此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.
三、解答题
21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -
【分析】
（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．
②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．
（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD 是矩形，n=1，
∴AD=AB ，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵AF ⊥DE ，
∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF ，
∴△ADE ≌△BAF （ASA ），
∴AE=BF ；
②结论：AG=BF+AE ．
理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，
由（1）可知AE=BK ，
∵AH=AD ，AK ⊥HD ，
∴∠HAK=∠DAK ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DAK=∠AKG ，
∴∠HAK=∠AKG ，
∴AG=GK ，
∵GK=GB+BK=BF+AE ，
∴AG=BF+AE ；
（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，
当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF
的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()222na 1a n +=+，
当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，
∴ME NF 的最大值21a n +⋅21n +， 21n +；
（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，
∵AD ∥BH ，
∴∠ADE=∠H ，
∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，
∴△AED ≌△BEH （ASA ），
∴AD=BH=2kn ，
∴CH=4kn ，
∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，
∴∠H=∠EDF ，
∴FD=FH ，设DF=FH=x ，
在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，
∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2， ∴2
142n x k n
+=⋅， ∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n
-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BF
n
-⋅==-， 故答案为：241n -．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
22．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）
152
，理由见解析； 【分析】
（1）利用题中所给的关系式，列出CD ，DF ，AE 的式子，即可证明．
（2）由题意知，四边形AEFD 是平行四边形，令AD=DF ，求解即可得出t 值．
（3）由题意可知，当DE ∥BC 时，△DEF 为直角三角形，利用AD+CD=AC 的等量关系，代入式子求值即可．
【详解】
（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形∵∠B＝90°，∠A＝60°
∴∠C=30°，CD=2DF，
又∵由题意知CD=4t，AE=2t，
∴CD=2AE
∴AE=DF．
（2）能，理由如下；
由（1）知AE=DF
又∵DF⊥BC，∠B＝90°
∴AE∥DF
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形
∵AC＝60cm，DF=1
2
CD，CD=4t，
∴AD=60-4t，DF=2t，∴60-4t=2t
∴t=10．
（3）当t为15
2
时，△DEF为直角三角形，理由如下；
由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF⊥BC，AE∥DF，∴当DE∥BC时，DF⊥DE
∴∠FDE=∠DEA=90°
在△AED中，
∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t
∴AD=4t，
又∵AC＝60cm，CD=4t，
∴AD+CD=AC，8t=60，
∴t=15
2
．
即t=15
2
时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．
23．（1）①见解析；②GFC是等腰三角形，证明见解析；（2）4+4﹣
【分析】
（1）①只要证明△DAH≌△DCH，即可解决问题；
②只要证明∠CFG=∠FCG，即可解决问题；。