2019年高中三年级数学下期末试卷及答案(2)

数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基 础题.
4．B
解析：B 【解析】
【分析】
通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是 3 的倍数，由此可求得 x
的值. 【详解】
因为数列的前几项为 2,5,11, 20, x, 47 ，
其中 5 2 13,11 5 23, 20 11 33 ，
那么当 n=k+1
时, (k 1)2 k 1 k2 3k 2 k2 3k 2 k 2 (k 2)2 =(k+1)+1,
所以当 n=k+1 时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知对于任何 n∈N*,不等式均成立.
则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n=1 验得不正确
C．归纳假设不正确
y2 2 px( p 0) 经过点 M ，则双曲线 C1 的离心率为_______．
19．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了
乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙
的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的
在（2）中假设 n k 时有 k2 k k 1 成立，即 (k 1)2 (k 1) (k 1) 1成 立，即 n k 1时成立，故选 D．
点睛：数学归纳法证明中需注意的事项 (1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从 k 到 k＋1 时命题中的项与项数的变化， 防止对项数估算错误． (3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象 的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象 的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图 象的循环往复．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 题目中当 n=k+1 时不等式的证明没有用到 n=k 时的不等式，正确的证明过程如下：
，
2
2
，5π 4
，曲线
C
的方程为

r
（
r
0
）．
（1）求直线 AB 的直角坐标方程； （2）若直线 AB 和曲线 C 有且只有一个公共点，求 r 的值．
25．为评估设备 生产某种零件的性能，从设备 生产该零件的流水线上随机抽取 100 个
零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值
，标准差
等级.
（Ⅱ）将直径尺寸在
之外的零件认定为是“次品”.
①从设备 的生产流水线上随机抽取 2 个零件，求其中次品个数 的数学期望 ；
②从样本中随意抽取 2 个零件，求其中次品个数 的数学期望 .
26．如图，在几何体 ABC A1B1C1 中，平面 A1ACC1 底面 ABC，四边形 A1ACC1 是正方
14．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年
级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取
_______名学生．
15．设
a
R
，直线
ax
y
2
0
和圆
x
可得 x 20 43 ，解得 x 32 ，故选 B.
【点睛】
本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是
解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
5．D
解析：D 【解析】 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 ( π , π) 上的符号，即可判断选择.
数字是________．
20．从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人，组成 4 人服务
队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）
三、解答题
21．已知 f (x) ex a ln x ax . x
（1）若 a 0 ，讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）当 a 1时，若不等式 f (x) (bx b 1)ex x 0 在[1,)上恒成立，求 b 的取 x
值范围．
22．如图在三棱锥 P-ABC 中， D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点，已知 PA AC, PA 6, BC 8, DF 5 .
求证：（1）直线 PA / / 平面 DEF ； （2）平面 BDE 平面 ABC .
试题分析：根据不等式的基本性质知命题 p 正确，对于命题 q ，当 x, y 为负数时 x2 y2 不成立，即命题 q 不正确，所以根据真值表可得 p q, p ( q ) 为真命题，故选 C.
考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平方运算可求得 a b
为（ ）
A． 2 2
B． 2 3
C． 2 8
D． 2 4
12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角
三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ( )
A． 4 3
二、填空题
B． 8 3
C． 16 3
D． 20 3
13．设 2a 5b m ,且 1 1 2 ,则 m ______. ab
7．D
解析：D 【解析】 解：利用展开图可知，线段 AB 与 CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所 成的角为 600，因此选 D
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
由已知新运算 a b 的意义就是取得 a, b 中的最小值，
因此函数
f
x
1 2x
1, x 0 2x , x 0 ，
，以频率值作为概率的估计值.
（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 ，并根
据以下不等式进行判定（ 表示相应事件的概率）：
①
；
②
；
③
.
判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为
乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备 的性能
y
2 2cos 1 2sin
,
（
为参数）相切，则
a
的值为
____.
16．已知点 A0,1，抛物线 C : y2 axa 0 的焦点为 F ，连接 FA ，与抛物线 C 相交
于点 M ，延长 FA ，与抛物线 C 的准线相交于点 N ，若 FM : MN 1: 3 ，则实数 a 的值
为__________．
2019 年高中三年级数学下期末试卷及答案(2)
一、选择题
1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）
A．
B．
C．
2．若 tan 3 ，则 cos2 2sin 2 （
）
4
A． 64
B． 48
C．1
25
25
3． 1 i2 i （ ）
i3
A． 3 i
B． 3 i
C． 3 i
4．数列 2,5,11,20，x，47...中的 x 等于（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
10．已知命题 p：若 x>y，则－x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；
③p∧( q)；④( p)∨q 中，真命题是( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
11．已知向量 a ， b 满足 a 2 ，| b | 1 ，且 b a 2 ，则向量 a 与 b 的夹角的余弦值
只有选项 A 中的图象符合要求，故选 A.
9．C
解析：C 【解析】
因为 f x x2 ax 是偶函数，所以 f (x) x2 ax f (x) x2 ax 2ax 0
所以 a 0 .所以“ a 0 ”是“ f x x2 ax 是偶函数”的充要条件.故选 C.
10．C
解析：C 【解析】
2．A
解析：A 【解析】
试题分析：由 tan 3 ，得 sin 3 , cos 4 或 sin 3 , cos 4 ，所以
4
5
5
5
5
cos2 2sin 2 16 4 12 64 ，故选 A． 25 25 25
【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消 去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间 的联系．
3．B
解析：B 【解析】
【分析】
先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最
后结果. 【详解】
由题意得，复数
1
i 2
i3
i
1 i
3i
1
i
3i i
i
3
i ．故应选
B
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住
i2 1.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实
17．记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，若 Sn 2an 1，则 S6 _____________．
18．已知双曲线 C1 ：
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，第一象限内的
点 M (x0 , y0 ) 在双曲线 C1 的渐近线上，且 MF1 MF2 ，若以 F2 为焦点的抛物线 C2 ：
23．已知函数 f (x) | x 1|
（1）求不等式 f (x) | 2x 1| 1的解集 M
（2）设 a,b M ，证明： f (ab) f (a) f (b) .
24．在直角坐标平面内，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点
A ， B 的极坐标分别为
4
，π 2
12．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据三视图知几何体是三棱锥，且一侧面与底面垂直，结合图中数据求出三棱锥外接球的 半径，从而求出球的表面积公式． 【详解】
由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，且三棱锥的侧面 SAC 底面 ABC，高为
SO 3 ；
形， B1Cl / / BC ，Q 是 A1B 的中点， AC BC 2B1C1,
ACB 2 3
（I）求证： QB1 / / 平面 A1ACC1 （Ⅱ）求二面角 A1 BB1 C 的余弦值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【解析】 【分析】 找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】 由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选 C. 【点睛】 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选 B，属于 基础题.
1 ，利用 cos a, b 2
a b ab
求得结果.
【详解】
由题意可知： b a 2 b 2 2a b a2 3 2a b 4 ，解得： a b 1 2
cos a,b a b 1 2 ab 2 2 4
本题正确选项： D
【点睛】 本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
2
详解：令 f (x) 2 x sin 2x ，
因为 x R, f (x) 2 x sin 2(x) 2 x sin 2x f (x) ，所以 f (x) 2 x sin 2x 为奇函
数，排除选项 A,B;
因为 x ( π , π) 时， f (x) 0 ，所以排除选项 C，选 D. 2
D．从 n=k 到 n=k+1 的证明过程不正确
7．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线 AB 与 CD 的位置关系为 ( )
A．相交 B．平行 C．异面而且垂直
D．异面但不垂直
8．定义运算
a
b
a(a b(a
b) b)
，则函数
f
(x)
1
2x
的图象是（
）．
A．
B．
C．
D．
9．已知 a R ，则“ a 0 ”是“ f (x) x2 ax 是偶函数”的（ ）
A．28
B．32
C．33
5．函数 y= 2 x sin2x 的图象可能是
D．
D． 16 25
D． 3 i
D．27
A．
B．
C．
D．
6．对于不等式 n2 n <n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12 1 <1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 k2 k <k+1.