中考专题训练——阿氏圆问题

中考专题训练——线段的和最小问题（阿氏圆问题） 姓名____________
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPB PA +”的最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。

【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A 、B ，则所有满足)1(≠⋅=k PB k PA 的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学罗阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

这个证明有点复杂，有兴趣的同学可以上网查一下资料和看一下相关微课。

【模型解读】
如图，已知OP=2，OB=6，现需要把PB 31转化为一条单独的线段。

构造“母子型相似”是解决“阿氏圆问题”的核武器，如图，找一点C ， 使得POC ∆∽BOP ∆，由相似的性质可得3162===OB OP PB PC ，所以得PB PC 31=， 又因为PO OB OC PO =，即262=OC ，从而得到2
3=OC , 所以点C 的位置也可以确定。

例题：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，4=CB ，6=CA ，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求BP AP 21+
的最小值。

分析：因为点P 在圆上运动，且属于kPB PA +的形式，所以应该属于阿氏圆问题。

现在需要转化的是
BP 21，且观察可得2
142==BC PC ，所以可构造“母子型相似” 解决这个问题。

解：如图，连接PC ，在线段BC 上找一点D ，使BPC ∆∽PDC ∆ PB PD PC CD BC CP ==
，即242CD =，解得:1=CD 且PB PD =42，所以PB PD 2
1=， 所以BP AP 21+
的最小值可转化为PD AP +的值最小。

连结AD ，因为两点之间线段最短，所以AD 为PD AP +的最小值。

由勾股定理可得：3713622=+=+=CD AC AD
答：BP AP 2
1+的最小值为37。

练习1：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，4=CB ，6=CA ，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求AP BP 31+
的最小值。

练习2：在平面直角坐标系中，已知A （4，0），B （3，0），动点E 在以原点O 为圆心，半径为2的圆上运动，
（1）求
BE AE +21的最小值。

（2）求BE AE 3
2+
的最小值。

练习3：如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，12=BC ，9=AC ，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ，连接AD 、BD 、CD ，求BD AD 32+的最小值。

练习4：如图，四边形ABCD 的边长为4的正方形，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上一动点，
（1）求PC PD 2
1+
的最小值；
（2）求PC PD 42+的最小值。

练习5：如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，⊙C 的半径为4，点D 是⊙C 上的动点，连接AD 、BD ，求BD AD 2
1+的最小值。

练习6：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，
点D 为ABC ∆内一动点，且满足2=CD ，求BD AD 23+的最小值。