线性规划交点法及其适用范围

线性规划交点法及其适用范围
一、线性规划
对于标准的线性规划，我们知道可以用交点法来解决，会比画图来的简单，比如下面这个题目：
(2018 成外高新期中 7)设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤≤+21y x y y x ,则y x z +=3的最大值为( )
A ．5
B ．3
C ．7
D ．8-
【答案】C
【解析】我们将三个约束条件进行编号①②③，将其看成等式，①②交点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
②③交点为()2,2--，①③()3,2-，分别代入目标函数可得2,8,7-，故最大值为7
但是对于所有的线性规划，这样用交点法都没问题吗？比如我们来看一下2017年一道浙江高考题：
(2017 浙江 4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
，则y x z 2+=的取值范围是( )
A ．[]0,6
B ．[]0,4
C ．[]6,+∞
D ．[]4,+∞
【答案】D
【解析】
如果按照交点法来解，过程如下：
①②交点为()0,3，②③交点为()2,1，①③()0,0，分别代入目标函数可得6,4,0，故最大值为6，最小值为0，范围[]0,6，选A
和正确答案就有出入了，那么问题在哪儿呢？我们先来看一下常规解答：
如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．
所以问题是一般情况下，三个约束条件会导致可行域是封闭的，所以用交点法解决是没有问题的，但是如果三个约束条件画出的可行域不封闭，那么直接用交点法就会做错，这种情况虽然不多，但是相信同学们对于使用这种方法就有些顾虑了，毕竟我们不能为了节约时间而冒着做错的风险
事实上我们只需要在多做一步就能得到正确答案，接着本题交点法继续来看，取得最小值的最优解是()0,0，是由第①③两个方程解出的交点，故我们将其代入第②方程发现，30-≥并不成立，此时我们可以判断可行域并不封闭，那么该最小值取不到，次小值就变成了最小值候选，继续验证此时的最优解()2,1是由②③两个方程解得的，故代入方程①，发现满足，故4就是最小值，同时没有了最大值，故范围为[)4,+∞.
我们再来看一个天津的高考题：
(2015 天津 理2)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则目标函数6z x y =+的最大
值为( )
(A)3 (B)4 (C)18 (D)40
【答案】C
【解析】按顺序解出交点为：①②交点为()2,1-，②③交点为()0,3，①③()2,7-，分别代入目标函数可得4,18,40，故将候选最优解()2,7-代入第2个方程，发现不满足，候选最大值变为18，将候选最优解()0,3代入第1个方程，满足，故最大值为18
y
当然如果约束条件只有两条，可行域一定不封闭，可以直接采用画图方式来解决，对于约束条件有四条直线，则一定有交点不在可行域内，建议用画图法解决
简单总结一下，对于标准的线性规划，交点法适用于三条线的情况，并且最后一定要检验可行域是否封闭
二、线性规划含参
下面我们来看一下交点法能不能解决线性规划含参问题：
已知0,,a x y >满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，若2z x y =+的最小值为1，则a 等于( )
A ．14
B ．12
C ．1
D ．2 【解析】三个交点为()()()1,2,3,0,1,2a -，代入目标函数可得z 分别为4,6,22a -，则最小值只能是22a -，故12
a =故选B 已知实数x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩
，如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
【解析】三个交点为()()1211,1,,,1,133m m m +-⎛⎫- ⎪⎝⎭
，代入目标函数可得z 分别为20,,23m m -+-，从选项可判断2m >，故只能213
m -+=-，即5m =，故选C 在约束条件21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩
下，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值
范围( )
A
．( B
．0,
⎡⎣ C
．0⎡⎤⎣⎦ D
．⎡⎣ 【解析】三个交点为()()222111,1,,,1,022m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
，代入目标函数可得z 分别为22
311,,22m m ---，易知223112m m --<，故23142m -≤
，x ≤≤ D
已知z =2x +y ，其中实数x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )
A ．211
B ．14
C ．4
D ．112
【解析】三个交点为()()()1,1,,2,,a a a a -，代入目标函数可得z 分别为3,2,3a a +，
选项AD 代入不合题意，而选项C 代入约束条件易得没有可行域，故选B
设x ，y 满足约束条件13y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =( ) A ．32 B ．32- C ．14 D ．14
- 【解析】三个交点为()()()1,2,3,,1,m m m m --，代入目标函数可得z 分别为7,23,41m m +-，将四个选项代入，只有C 符合题意
已知实数x ，y 满足约束条件02422x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩
，如果目标函数z x ay =+的最大值为163，则实数a 的值为( )
A ．3
B ．143
C ．3或143
D ．3或113
- 【解析】三个交点为()441,,3,,2,2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，代入目标函数可得z 分别为()()411,3,2132
a a a ++-+，将四个选项代入，只有D 符合题意 若实数x ，y 满足不等式组20240250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩
且()()321x a y -++的最大值为5，则a 等于( )
A ．2-
B ．1-
C ．2
D ．1
【解析】三个交点为()()()0,2,2,1,1,3，代入目标函数可得z 分别为63,103,113a a a ---，易知113a -最大，则2a =，故选C
已知实数x ，y 满足不等式组2435y x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩
，若目标函数z y mx =-取得最大值时有唯一的最优
解()1,3，则实数m 的取值范围是( )
A ．1m ≤-
B ．01m <<
C ．1m >
D ．1m ≥
【解析】三个交点为()977111,3,,,,4422⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，代入目标函数可得z 分别为791173,,42m m m ---，故需793411732
m m m m -⎧->⎪⎨-⎪->⎩，故选C x 、y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )
A ．12或1-
B ．2或12
C ．2或1
D ．2或1- 【解析】三个交点为()()()2,0,2,2,0,2--，代入目标函数可得z 分别为2,22,2a a --+，当222a a -=-+时，12
a =，此时为最小值不唯一故排除AB ，又目标函数斜率应与约束条件中某一条直线斜率相等，故选D
设x ，y 满足约束条件0204x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩
，当且仅当x =y =4时，z ax y =-取得最小值，则实数a
的取值范围是( )
A ．[]1,1-
B ．(),1-∞
C ．()0,1
D ．()(),11,-∞+∞
【解析】三个交点为()()()1,1,4,2,4,4-，代入目标函数可得z 分别为
1,42,44a a a -+-，故需1444244
a a a a ->-⎧⎨+>-⎩，故选B 从上面几个题可以看出，交点法依然可以适用于线性规划的含参问题，不过有时候需要进行一定的讨论，如果是选择题，也可以结合答案简化讨论
三、常见的非线性规划
前面两个部分我们发现交点法可以适用于线性规划三条直线问题，不管是不是含参的，从中我们发现，其实只要是在交点处取得最值就可以用交点法，那么常见的非线性规划(可
行域是线性的)中，目标函数为斜率型的依然可以用交点法来解决(需要注意定点是在可行域的下方还是两侧)，目标函数为距离型的，如果是求最大值，可以用交点法来解决；如果是求最小值，则不能用交点法来解决
设x ，y 满足约束条件2702020x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则y x 的最大值为( ) A ．32
B ．2
C ．13
D ．0 【解析】三个交点为()()()3,1,2,0,2,3，代入目标函数可得z 分别为13,0,32
，故选A 若实数x ，y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则221y x +的取值范围是( ) A ．4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．4,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．[]2,4
D ．(]2,4 【解析】由于0x >故交点只有一个()1,2，另外两个交点()()0,1,0,2取不到，代入目标
函数可得z 分别为4,2,43
，故选B
(2018 石室期末 14)若,x y 满足约束条件2040 2x y x y y -+⎧≥+-≤≥⎪⎨⎪⎩
，则1y x +的取值范围为__________． 【答案】2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
(交点法) (2015 全国1卷 理15)若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，则y x 的最大值为 . 【答案】3 (交点法)
若实数x ，y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则221y x +的取值范围是( ) A ．4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．4,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．[]2,4
D ．(]2,4 【答案】B (交点法) 注意边界
(2017 七中期末 2)已知(),P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
，则22x y +的最大值为( )
B.8
C.10
D.16
【答案】C (交点法)
(2016 山东 文理)若变量x ，y 满足2,2390,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
，则22x y +的最大值是( ) A ．4 B ．9 C ．10 D ．12
【答案】C (交点法)
(2016 江苏)已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
，则22x y +的取值范围是________. 【答案】4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦
最小是到直线220x y +-=的距离的平方，最大是到直线1,3交点()2,3的距离的平方。