2018年河南省信阳市淮滨中学高二数学文期末试题含解析

2018年河南省信阳市淮滨中学高二数学文期末试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个物体作直线运动，设运动距离S（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系可用函数表示，那么物体在t=3时瞬时速度为（）A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/
秒 D．8米/秒
参考答案：
C
略
2. 三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为△的（）
A 内心
B 外心
C 垂心
D 重心
参考答案：
C
略
3. 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
参考答案：
D
略
4. 函数的导数
A. B. C. D.
参考答案：
A
5. 已知中，角A、B的对边为、,，，B=120°，则A等于
A．30°或150° B．60°或
120° C．30° D．60°
参考答案：
C
6. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是--------------（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
7. 直线在平面内，可以记
作
（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
8. 函数的图像在处的切线过点（）
A.（0，-2）B．（0，2） C．（0，-14）D．（0，14）
参考答案：
A
略
9. 若，则下列不等式成立的是
（）
A-
. B. C. D.
参考答案：
C
略
10. 下列求导数运算正确的是（）Ks5u
A. B.
C. D．
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．
参考答案：
12. 对任意实数x，若不等式恒成立，则k的取值范围是_______．
参考答案：
【分析】
构造函数y＝|x+1|﹣|x﹣2|，根据绝对值的几何意义，得函数的值域，根据不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞k 恒成立，则y min＞k，构造关于k的不等式，进而得到k的取值范围．
【详解】对任意实数，若不等式恒成立，而表示数轴上的对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，
其最小值为-3，故有，
故答案为．
【点睛】本题考查的知识点是绝对值不等式，其中熟练掌握绝对值的几何意义，并分析出绝对值函数的值域是解答此类问题的关系，本题也可以用零点分段法，将构造的函数表示为分段函数，然后求出值域，但过程较为复杂．
13. 已知，且在区间有最小值，无最大值，则__________．
参考答案：
略
14. 已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7=．
参考答案：
﹣2
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案．
【解答】解：令x=1代入二项式（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7得，（1﹣2）7=a0+a1+…+a7=﹣1，
令x=0得a0=1∴1+a1+a2+…+a7=﹣1
∴a1+a2+…+a7=﹣2
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是﹣1进行求解．本题属于基础题型．
15. 定义在上的可导函数，其导函数为满足恒成立，则不等式
的解集为．
参考答案：
(2,+∞)
16. 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，当x＞2时k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为．
参考答案：
5
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等价于k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：因为当x＞2时，不等式k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，
即k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，
亦即k＜=+2对一切x∈（2，+∞）恒成立，
所以不等式转化为k＜+2对任意x＞2恒成立．
设p（x）=+2，则p′（x）=，
令r（x）=x﹣2lnx﹣5（x＞2），则r′（x）=1﹣=＞0，
所以r（x）在（2，+∞）上单调递增．
因为r（9）=4（1﹣ln3）＜0，r（10）=5﹣2ln10＞0，
所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（9，10），
当2＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；
当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函数p（x）在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
又r（x0）=x0﹣2lnx0﹣5=0，所以2lnx0=x0﹣5．
所以[p（x）]min=p（x0）=+2=+2∈（5，6），
所以k＜[p（x）]min∈（5，6），
故整数k的最大值是5．
故答案为：5．
17. 某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学、物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为______.
参考答案：
1200
【分析】
分两类：①一天2科，另一天4科，第一步，安排数学、物理两科作业，第二步，安排另4科一组1科，一组3科，第三步，完成各科作业.②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组分2科，第一步，安排数学、物理两科作业，第二步，安排另4科每组2科，第三步，完成各科作业.
【详解】分两类：一天2科，另一天4科或每天各3科.
①第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；
第二步，安排另4科一组1科，一组3科，有种方法；
第三步，完成各科作业，有种方法.
所以共有种.
②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组分2科，
第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；
第二步，安排另4科每组2科，有种方法；
第三步，完成各科作业，有种方法.
所以共有种.
综上，共有种.
故答案为：1200
【点睛】本题主要考查排列组合在实际问题中的应用，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在如图所示的几何体中，，平面，，，
，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
参考答案：
(1)证明见解析；(2).
分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，据此可得.利用线面垂直的判断定理可得平面.
(2)(方法一)延长，相交于，连接，由题意可知二面角就是平面
与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.
(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取
平面的法向量为.利用空间向量计算可得.
详解：(1)在中，.
所以，所以为直角三角形，.
又因为平面，所以.
而，所以平面.
(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，
则平面平面.
二面角就是平面与平面所成二面角.
因为，所以是的中位线.
，这样是等边三角形.
取的中点为，连接，因为平面.
所以就是二面角的平面角.
在，所以.
(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得
.
.
设是平面的法向量，则
令得.
取平面的法向量为.
设平面与平面所成二面角的平面角为，
则，从而.
点睛：本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义，线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19. 已知椭圆的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案：
（1)由题意知，又，所以，
，所以椭圆的方程为：.
（2）当时，，不合题意
设直线的方程为：，代入，
得：，故，则
设，线段的中点为，
则，
由得: ，
所以直线为直线的垂直平分线，
直线的方程为:，
令得：点的横坐标，
因为，所以，所以.
所以线段上存在点，使得，其中.
20. （本小题满分12分）已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A,上顶点为B,若成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设为直线上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P，Q，且，
求的最小值．
参考答案：
解：（1）易知，，
而又，得，
故椭圆的标准方程为........................5分
（2）由（1）知，∵，故，设，
∴，直线的斜率为，
当时，直线的斜率为，直线的方程为；
当时，直线的方程为，也符合方程．.....................8分
设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得
消去，得：，，，
当且仅当，即时，等号成立．
∴的最小值为．........................12分
21. （本小题满分12分）已知命题，满足；
命题，方程都表示焦点在y轴上的椭圆，若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围。

参考答案：
22. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=4，AB=2．（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若F为PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出PA⊥CD，AD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．
（2）以A为原点AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
【解答】（本小题12分）
证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥AB，AB∥DC，∴AD⊥DC，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．…
解：（2）由已知以A为原点AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
得P（0，0，4），B（2，0，0），C（4，4，0）…（6分）
∵F为PC上一点，∴设=λ，∵BF⊥AC，
∴=（）?=﹣=0，①
=（4，4，4），=（4，4，0），=（2，0，﹣4），
代入（1）得．…（8分）
∴==（1，1，﹣1），==（1，1，3），=（2，0，0），
设平面ABF的法向量=（x，y，z），
则，取z=1，得=（0，﹣3，1），
平面ABP的法向量=（0，1，0），
∴cos＜＞==﹣，
∴二面角F﹣AB﹣P的余弦值为﹣．…（12分）
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。